【2023届必备】2023版高考一轮复习训练28　圆的方程、直线与圆的位置关系

训练28　圆的方程、直线与圆的位置关系

一、单选题

1．(2022·曲靖模拟)过原点且与曲线x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线方程是(　　)

A．y＝0   B．x＝0

C．xy＝0   D．x±y＝0

答案　C

解析　因为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，当斜率不存在时，过原点的直线方程为x＝0，

此时圆心(1,1)到它的距离为1，等于圆的半径，

当斜率存在时，设过原点的切线方程为kx－y＝0，

所以圆心(1,1)到切线的距离等于半径，

所以＝1，解得k＝0，

所以切线方程为x＝0或y＝0，即xy＝0.

2．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为(　　)

A．8  B．4  C．2  D．1

答案　B

解析　两圆方程作差得x＝2，

当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，设两圆交点为A，B，

即可令两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，

则其公共弦长AB＝2－(－2)＝4.

3．(2022·鹰潭模拟)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：x＋y－4＝0，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则∠ACB最小时，原点O到直线AB的距离为(　　)

A.   B.

C.   D．2

答案　A

解析　由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，

所以圆心C(1,1)，半径r＝1，

在Rt△CAM中，cos∠ACM＝＝，

当∠ACB最小时，∠ACM最小，cos∠ACM最大，MC最小，此时MC⊥l，

MC的最小值为圆心C到直线l的距离为＝，

此时cos∠ACM＝＝，∠ACM＝，

因为MC⊥AB，所以AB∥l，所以圆心C到直线AB的距离为，

所以两平行直线l与AB之间的距离为

－＝，

因为原点O到直线l的距离为＝2，

所以原点O到直线AB的距离为2－＝.

4．(2022·苏锡常镇四市调研)过抛物线y2＝2x上一点P作圆C：x2＋(y－6)2＝1的切线，切点为A，B，则当四边形PACB的面积最小时，P点的坐标是(　　)

A．(1，)   B.

C．(2,2)   D.

答案　C

解析　由题意可设P，当四边形PACB的面积最小时，点P到圆心C(0,6)的距离最小，即PC2＝2＋(6－a)2＝a4＋a2－12a＋36最小，令f(a)＝a4＋a2－12a＋36，则f′(a)＝a3＋2a－12＝(a－2)(a2＋2a＋6)，令f′(a)＝0，解得a＝2，当a<2时，f′(a)<0，f(a)单调递减；当a>2时，f′(a)>0，f(a)单调递增，故当a＝2时，f(a)取得最小值，即PC取得最小值，即四边形PACB的面积取得最小值，所以P(2,2)．

二、多选题

5．已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝9，则(　　)

A．直线l恒过定点(2,0)

B．存在k使得直线l与直线l0：x－2y＋2＝0垂直

C．直线l与圆O相交

D．若k＝－1，直线l被圆O截得的弦长为2

答案　BCD

解析　直线l：kx－y＋2k＝0，即y＝k(x＋2)，则直线恒过定点(－2,0)，故A错误；

当k＝－2 时，直线l：kx－y＋2k＝0与直线l0：x－2y＋2＝0垂直，故B正确；

∵定点(－2,0)在圆O：x2＋y2＝9的内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；

当k＝－1时，直线l化为－x－y－2＝0，即x＋y＋2＝0，圆心O到直线的距离d＝＝，直线l被圆O截得的弦长为2＝2，故D正确．

6．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC＝BC，顶点A(1,0)，B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(　　)

A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1

B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为

C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－

D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3]

答案　BD

解析　因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得△ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A(1,0)，B(－1,2)可得AB的中点坐标为，即(0,1)，kAB＝＝－1，所以kl＝1，故l的方程为y－1＝x，即y＝x＋1，选项A错误；

因为l与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，故r＝＝2，又圆心M到直线x－y－1＝0的距离d1＝＝，所以圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为，B选项正确；

点(x，y)在圆M上，表示圆上的点与(－1,0)的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时(如图所示)，此时k<0，最小，设直线m：y＝k(x＋1)，由＝2，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，即的最小值是－1，C选项错误；

圆x2＋(y－a)2＝2的圆心坐标为(0，a)，半径r1＝，则要想圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤3，解得a∈[－3,3]，故D选项正确．

三、填空题

7．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，直线3x＋4y＋3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

答案　2

解析　设圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为A，则A(2，－1)，该圆的半径为r＝2，

圆心A到直线3x＋4y＋3＝0的距离为d＝＝1，

所以弦长为2＝2＝2.

8．(2022·沈阳模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为________．

答案　3

解析　由x2＋y2－2x＋4y＋4＝0与x2＋y2＋x－y－m2＝0两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为3x－5y－m2－4＝0，

又圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，记圆心为C1(1，－2)；

因为圆C2平分圆C1的圆周，所以公共弦所在直线过点C1(1，－2)，

因此3＋10－m2－4＝0，解得m＝3(负值舍去)．

四、解答题

9．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．

(1)写出圆C的标准方程；

(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．

解　(1)由题意知，

圆C的半径r＝＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则圆心到直线的距离d＝＝，

所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，

故所求切线的方程为

7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.

由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.

10. (2022·怀化模拟)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．

(1)求圆O的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得＝＋？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

解　(1)设圆O的半径为r，

因为直线x－y－4＝0与圆O相切，

所以r＝＝2，

所以圆O的方程为x2＋y2＝4.

(2)因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，

所以圆心O到直线l的距离d＝<2，

所以k>或k<－.

假设存在点Q，使得＝＋.

因为A，B在圆上，且＝＋，

同时||＝||，

由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，所以OQ与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝OQ＝1.

即＝1，

解得k2＝8，则k＝±2，经验证满足条件．

所以存在点Q，使得＝＋，此时直线l的斜率为±2.