【2023届必备】2023版高考一轮复习训练3　基本不等式

训练3　基本不等式

一、单选题

1. 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明(　　)

A．如果a>b，b>c，那么a>c

B．如果a>b>0，那么a2>b2

C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立

D．如果a>b，c>0那么ac>bc

答案　C

解析　可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.故对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．

2．已知x>0，y>0，且＋＝1，则4x＋3y的最小值是(　　)

A．24  B．25  C．49  D．56

答案　C

解析　由x>0，y>0，且＋＝1，

得4x＋3y＝(4x＋3y)＝16＋9＋＋≥25＋12×2＝49，

当且仅当＝，即x＝y＝7时，等号成立，

所以4x＋3y的最小值是49.

3．(2022·苏州模拟)设a，b是正实数，以下不等式恒成立的为(　　)

A.>

B．ab＋>9

C．a2＋b2>4ab－3b2

D．a>|a－b|－b

答案　D

解析　对于A，因为a，b是正实数，所以a＋b≥2，则1≥，可得到≥，当且仅当a＝b时等号成立，故A错误；

对于B，因为a，b是正实数，所以ab＋≥2＝2，当且仅当ab＝，即ab＝时取等号，故B错误；

对于C，a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，当且仅当a＝2b时取等号，故C错误；

对于D，a＋b>|a－b|，则a>|a－b|－b恒成立，故D正确．

4．(2022·汕头模拟)已知x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值为(　　)

A．6  B．8  C.  D.

答案　B

解析　因为3y(1－x)＝x＋8，

所以y＝，

所以x－3y＝x＋＝x－1＋＋2

≥2＋2＝8，

当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，

所以x－3y的最小值为8.

二、多选题

5．(2022·菏泽模拟)下列结论正确的是(　　)

A．∀x∈R，x＋≥2

B．若a<b<0，则3>3

C．若x(x－2)<0，则log2x∈(0,1)

D．若a>0，b>0，a＋b≤1，则0<ab≤

答案　BD

解析　对于A，当x<0时，x＋为负数，所以A不正确；

对于B，若a<b<0，则<<0，考虑函数f(x)＝x3在R上单调递增，

所以f >f ，即3>3，

所以B正确；

对于C，若x(x－2)<0，

则0<x<2，log2x∈(－∞，1)，所以C不正确；

对于D，若a>0，b>0，a＋b≤1，根据基本不等式有≤，0<ab≤2≤，所以D正确．

6．(2022·大连模拟)已知a>0，b>0，且4a＋b＝ab，则下列不等式正确的(　　)

A．ab≥16   B．2a＋b≥6＋4

C．a－b<0   D.＋≥

答案　ABD

解析　对于A，因为a>0，b>0，

ab＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b时等号成立，所以ab≥16，A正确；

对于B，由4a＋b＝ab，得b＝>0，a>1，同理可得b>4，

2a＋b＝2a＋＝2(a－1)＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝1＋时等号成立，B正确；

对于C，a＝5，b＝5满足题意，但a－b＝0，C错误；

对于D，由4a＋b＝ab，得＋＝1，

所以2≥2＝1，当且仅当＝，即b＝4a时等号成立，所以＋≥，D正确．

三、填空题

7．已知x∈R，则x2＋的最小值为________．

答案　1

解析　∵x2＋1≥1,

∴x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1，

当且仅当x2＋1＝，即x＝0时取等号．

8．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为________．

答案　8

解析　因为直线kx－y＋2k－1＝0，

即y＋1＝k(x＋2)，故A(－2，－1)，

由于点A也在直线mx＋ny＋1＝0上，

所以2m＋n＝1，

因为(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当即时，等号成立，

故＋的最小值为8.

四、解答题

9．已知正实数x，y满足等式x＋y＝2.

(1)若不等式＋≥m2＋4m恒成立，求实数m的取值范围；

(2)求＋的最小值．

解　(1)因为正实数x，y满足等式x＋y＝2，所以＋＝××(x＋y)

＝≥，

当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，

取得最小值，

所以m2＋4m≤，－≤m≤.

(2)由已知＋＝＋＝2－1，

又＋≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，

所以2－1≥8，

所以＋的最小值为8.

10．已知福州地铁2号线通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为400人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为p(t)．

(1)求p(t)的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－150(元)．问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？

解　(1)当2≤t<10时，设p(t)＝400－k(10－t)2，则p(2)＝400－64k＝272，解得k＝2，

由题意可得p(t)＝

所以发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为

p(6)＝400－2×42＝368(人)．

(2)当2≤t<10时，Q＝－150＝－150＝330－≤330－2＝90(元)，

当且仅当t＝5时，等号成立；

当10≤t≤20时，Q＝－150＝－150，此时函数Q＝－150单调递减，

则Q≤－150＝30(元)，当且仅当t＝10时，等号成立，

综上所述，当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大．