【2023届必备】2023版高考一轮复习训练5　函数的性质

训练5　函数的性质

一、单选题

1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝－x2＋1   B．y＝|x－1|

C．y＝x3   D．y＝2－x

答案　C

解析　对于A，y＝－x2＋1的图象关于y轴对称，开口向下，在(0，＋∞)上单调递减，故排除A；

对于B，y＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除B；

对于C，由幂函数的性质可知y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；

对于D，根据指数函数的性质可得y＝2－x＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，故排除D.

2．函数f(x)＝的部分图象大致为(　　)

答案　B

解析　f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除D；

f(1)＝0，排除A；

当0<x<1时，ln|－x|<0，x>sin x，

故有f(x)<0，排除C.

3．(2022·大连模拟)已知函数f(x)＝sin x－ax，对于任意实数x1，x2，且x1≠x2，都有<0，则a的取值范围为(　　)

A．a≤－1   B．a>1

C．a<－1   D．a≥1

答案　D

解析　由题意知，f(x)在定义域内单调递减，

∴f′(x)＝cos x－a≤0在x∈R上恒成立，即cos x≤a在x∈R上恒成立，

∴a≥1.

4．(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝ln ，则(　　)

A．f(x)的图象关于点(2,0)对称

B．f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．f(x)在(0,4)上单调递减

D．f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增

答案　A

解析　由题意，函数f(x)＝ln ，可得>0，解得0<x<4，

令t＝＝－1－，

故t＝在(0,4)上单调递增，所以函数f(x)＝ln 在(0,4)上单调递增，

可排除B，C，D；

又由f(x)＝ln ，满足f(4－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝ln 的图象关于点(2,0)对称．

二、多选题

5．函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，若当x∈[0,2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的周期为4

B．f(x)在[－4，－2]上单调递减

C．f(x)关于直线x＝－2对称

D．f(2 022)＝12

答案　ACD

解析　由f(x)＝f(－x)，f(2＋x)＝f(2－x)⇒f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x＋4)＝f(x＋2－2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，选项A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)在[－4，－2]上单调递增，故选项B错误；因为f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故选项C正确；因为函数f(x)是周期为4的偶函数，则f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝9＋4－1＝12，故选项D正确．

6．(2022·永州模拟)已知函数f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，并且当x∈(0,1)时，f(x)＝2|x－2|－3，则下列选项正确的是(　　)

A．f(x)在(－3，－2)上为减函数

B．f(x)在上恒小于0

C．f(x)在[1,2]上为增函数

D．f(x)关于x＝3对称

答案　BD

解析　因为f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，

所以函数f(x)的图象关于(0,0)中心对称，且关于x＝1轴对称，则f(x)的周期为4，

当x∈(0,1)时，f(x)＝2|x－2|－3＝1－2x，则函数f(x)在x∈(0,1)上单调递减，

根据对称性可得f(x)在x∈(1,2)上单调递增，

再结合周期性可得f(x)在(－3，－2)上为增函数，故A错误；

当x∈时，f(x)<0，

根据对称性可得当x∈时，f(x)<0，故B正确；

f(x)的图象关于x＝1轴对称，所以f ＝f ＝0，f(2)＝f(0)＝0，

所以f(x)在[1,2]上不可能为增函数，故C错误；

f(x)的图象关于x＝1轴对称，又f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于x＝－1轴对称，

因为f(x)的周期为4，所以f(x)关于x＝3对称，故D正确．

三、填空题

7．写出一个最小值为2 023的偶函数f(x)＝__________________.

答案　|x|＋2 023(答案不唯一)

解析　若f(x)＝|x|＋2 023，

则f(－x)＝|－x|＋2 023＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，显然f(x)的最小值为2 023，故可以为f(x)＝|x|＋2 023.

8．(2022·苏州模拟)设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足>0，若f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为______________．

答案　(－2,0)∪(2，＋∞)

解析　令F(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，

可得F(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，

由对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，满足>0，

可得F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由f(2)＝4，可得F(2)＝8，

所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝8，

不等式f(x)－>0，即为>0，

即>0，

可得或

即或

解得x>2或－2<x<0.

四、解答题

9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立．

(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．

(1)证明　由f ＝－f ，

且f(－x)＝－f(x)，

知f(3＋x)＝f 

＝－f ＝－f(－x)＝f(x)，

所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，

又T＝3是y＝f(x)的一个周期，

所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.

10．(2022·山东师大附中模拟)函数f(x)＝为R上的奇函数，若f(x)＝k在(－∞，0)上有解，求实数k的取值范围．

解　由题意，函数f(x)＝为R上的奇函数，

令x＝0，得f(0)＝＝0，

即m＋m－2＝0，

解得m＝1，即f(x)＝，

又由k＝f(x)＝＝＝1－，

因为x∈(－∞，0)，所以1<2x＋1<2，

所以1>>，可得－1<f(x)<0，

所以k∈(－1,0)，即实数k的取值范围是(－1,0)．