【2023届必备】2023版高考一轮复习训练6　基本初等函数

训练6　基本初等函数

一、单选题

1．(2022·汕头模拟)若a＝3，则a－等于(　　)

A．－1  B．1  C.  D．3

答案　B

解析　由题意知a＝，即a－＝－＝＝1.

2．函数y＝b·ax与y＝loga(bx)的图象在同一坐标系中的可能是(　　)

答案　C

解析　令f(x)＝b·ax，g(x)＝loga(bx)，

对于A，由f(x)＝b·ax得a>1，且f(0)＝b·a0＝b>1，所以logab>0，而图中g(1)＝logab<0，所以矛盾，故A不正确；

对于B，由f(x)＝b·ax得a>1，且f(0)＝b·a0＝b<1，所以logab<0，而图中g(1)＝logab>0，所以矛盾，故B不正确；

对于C，由f(x)＝b·ax得a>1，且f(0)＝b·a0＝b<1，所以logab<0，又图中g(1)＝logab<0，故C正确；

对于D，由f(x)＝b·ax得a>1，且f(0)＝b·a0＝b>1，而g(x)＝loga(bx)中0<a<1，所以矛盾，故D不正确．

3．(2022·鹰潭模拟)设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小顺序为(　　)

A．b<c<a   B．c<b<a

C．a<b<c   D．b<a<c

答案　A

解析　由c＝2－log32＝log39－log32＝log3>log34＝2log32＝b，

a－c＝log23＋log32－2>2－2＝2－2＝0，

所以a>c，所以a>c>b.

4．(2022·青岛模拟)若f(x)＝不等式f(x)>的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(－1，＋∞)

B．(－∞，1－)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(0，－1)

D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

答案　A

解析　当x≥0时，

log3(x＋1)>＝log3⇒x＋1>，

∴x>－1，

当x<0时，

2x>＝2－1⇒x>－1，

∴－1<x<0，

综上所述，不等式f(x)>的解集为(－1,0)∪(－1，＋∞)．

二、多选题

5．(2022·梅州模拟)若10a＝4,10b＝25，则(　　)

A．a＋b＝2   B．b－a＝1

C．ab>8lg22   D．b－a>lg 6

答案　ACD

解析　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，

∴a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，

∴b－a＝lg 25－lg 4＝lg ，

∵lg 10＝1>lg >lg 6，

∴b－a>lg 6，

∴ab＝4lg 2lg 5>4lg 2lg 4＝8lg22，

故A，C，D正确．

6．(2022·苏锡常镇四市调研)已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则(　　)

A．6z<3x<4y   B.＋＝

C．x＋y>4z   D．xy<4z2

答案　AC

解析　由题意，可令3x＝4y＝12z＝m>1，由指对互化得＝x，＝y，＝z，

由换底公式得＝logm3，＝logm4，＝logm12，则有＋＝，故选项B错误；

对于选项A，－＝logm12－logm9＝logm>0，所以x>2z，又－＝logm81－logm64＝logm>0，所以4y>3x，所以4y>3x>6z，故选项A正确；

对于选项C，D，因为＋＝，所以z＝，

所以4z2－xy＝

＝－<0，

所以xy>4z2，则z(x＋y)>4z2，则x＋y>4z，所以选项C正确，选项D错误．

三、填空题

7．(2022·资阳模拟) ＝______.

答案　5

解析　＝＝9－4＝5.

8．(2022·张家口质检)函数y＝log3(x2＋2x－8)的单调递增区间是__________．

答案　(2，＋∞)

解析　由x2＋2x－8>0，得x>2或x<－4，

则函数y＝log3(x2＋2x－8)的定义域为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

令函数g(x)＝x2＋2x－8，则函数g(x)在(－∞，－4)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

再根据复合函数的单调性，可得函数y＝log3(x2＋2x－8)的单调递减区间为(－∞，－4)，单调递增区间为(2，＋∞)．

四、解答题

9．已知函数f(x)＝3x＋m·3－x(x∈R，m∈R)．

(1)若f(x)为奇函数，求m的值和此时不等式f(x)>的解集；

(2)若不等式f(x)≤4对∀x∈[－1,2]恒成立，求m的取值范围．

解　(1)函数f(x)＝3x＋m·3－x的定义域为R，

∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0对∀x∈R恒成立，

即3x＋m·3－x＋3－x＋m·3x＝0对∀x∈R恒成立，∴m＝－1，

此时f(x)＝3x－3－x>，即(3x)2－·3x－1>0，

解得3x>2或3x<－(舍去)，

∴不等式的解集为(log32，＋∞)．

(2)由f(x)≤4得3x＋m·3－x≤4，即3x＋≤4，

当x∈[－1,2]时，令3x＝t，t∈，原不等式等价于t＋≤4对∀t∈恒成立，

即m≤－t2＋4t对∀t∈恒成立，

令g(t)＝－t2＋4t，t∈，

∵g(t)在上单调递增，在[2,9]上单调递减，

∴g(t)min＝g(9)＝－45，

∴m≤－45，故m的取值范围是(－∞，－45]．

10．定义在[－4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋.

(1)求f(x)在[0,4]上的解析式；

(2)若∃x∈[－2，－1]，使不等式f(x)≤－成立，求实数m的取值范围．

解　(1)因为f(x)是定义在[－4,4]上的奇函数，当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋，

所以f(0)＝＋＝0，解得a＝－1，

所以x∈[－4,0]时，

f(x)＝－，

当x∈[0,4]时，－x∈[－4,0]，

所以f(－x)＝－＝4x－3x，

又f(－x)＝－f(x)，

所以－f(x)＝4x－3x，f(x)＝3x－4x，

即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)＝3x－4x.

(2)因为当x∈[－2，－1]时，f(x)＝－，

所以f(x)≤－可化为－≤－，整理得m≥＋＝x＋2·x，

令g(x)＝x＋2·x，根据指数函数单调性可得，y＝x与y＝x都是减函数，

所以g(x)也是减函数，

g(x)min＝g(－1)＝－1＋2·－1＝5，

所以m≥5，

故实数m的取值范围是[5，＋∞)．