【2023届必备】2023版高考一轮复习训练7　函数与方程

训练7　函数与方程

一、单选题

1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1,2)   B．(2，e)

C．(e,4)   D．(3，＋∞)

答案　C

2．(2022·蓉城名校联考)下列函数在区间(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)

A．y＝0.3x－   B．y＝x3＋1

C．y＝    D．y＝3x－1

答案　D

解析　对于A，y＝0.3x－在(－1,1)上为减函数，不符合题意；

对于B，y＝x3＋1在(－1,1)上为增函数，令y＝x3＋1＝0，解得x＝－1，不符合题意；

对于C，y＝在(0,1)上没有定义，不符合题意；

对于D，y＝3x－1在(－1,1)上有零点x＝0，且在(－1,1)上为增函数，符合题意．

3．(2022·深圳六校联考)已知x1是ln x＋x＝5的根，x2是ln(4－x)－x＝1的根，则(　　)

A．x1＋x2＝4   B．x1＋x2∈(5,6)

C．x1＋x2∈(4,5)   D．x1＋x2＝5

答案　A

解析　令t＝4－x2，则ln t－(4－t)＝1，即ln t＋t＝5，故t，x1都是ln x＋x＝5的根，显然y＝ln x＋x为增函数，故t＝x1，即4－x2＝x1，故x1＋x2＝4.

4．(2022·南京模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人的数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者新的传染人数为(N－V)．已知某种病毒在某地的基本传染数R0＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为(　　)

A．40%  B．50%  C．60%  D．70%

答案　C

解析　由题意可得≤1⇒2.5N－2.5V≤N⇒≥＝60%.

二、多选题

5．下列命题中是真命题的为(　　)

A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)>

B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)

C．函数f(x)＝x2－1－log2x有两个零点

D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]

答案　BD

解析　对于A，若幂函数y＝f(x)的图象过点，可得幂函数为f(x)＝x－1，则f(3)＝<，A不正确；

对于B，函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，B正确；

对于C，作出y＝x2－1和y＝log2x的图象，如图所示，

由函数的图象可知函数只有1个交点，

即函数f(x)＝x2－1－log2x只有一个零点，C不正确；

对于D，∵函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时函数取得最小值为3，

当x＝0或x＝2时，函数值等于4，

又函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，

∴实数m的取值范围是[1,2]，D正确．

6. (2022·莆田模拟)如图，函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为－，则(　　)

A．函数g(x)＝f(x)－f(4)·lg 有3个零点

B．f(|x|)≥log84恒成立

C．函数h(x)＝|f(x)|－有4个零点

D．f ≥f(x)恒成立

答案　BCD

解析　对于A，当x≥1时，设f(x)＝m(x－2)2＋1(m>0)，因为f(1)＝m＋1＝2，所以m＝1.由此得f(4)＝5，又5lg ＝lg <1，所以g(x)只有1个零点，所以A错误；

对于B，由题可知射线经过点，(1,2)，则射线的方程为y＝x＋(x≤1)．由图可知f(|x|)≥f(0)＝＝log84，所以B正确；

对于C，因为＝∈(1,2)，所以h(x)有4个零点，所以C正确；

对于D，令f(x)＝t(1≤t≤2)，则该方程的解为x1＝，x2＝2－，x3＝2＋，

x3－x1＝2＋－，

令＝l(0≤l≤1)，

则x3－x1＝2＋l－＝－2＋≤，故f ≥f(x)恒成立，所以D正确．

三、填空题

7．(2022·湘潭模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且2是函数f(x)的一个零点，则不等式f(x)>0的解集为__________________________．

答案　{x|－2<x<2}

解析　因为2是函数f(x)的一个零点，

所以f(2)＝0，

因为函数f(x)是偶函数，

所以原不等式等价于f(|x|)>f(2)，

又因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

所以|x|<2，解得－2<x<2.

8．(2022·岳阳模拟)已知函数f(x)＝若实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，则abcd的取值范围为__________．

答案　(0,16)

解析　由题意，实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，

设|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝m，

可得|f(x)|＝m有四个不同的根a，b，c，d，不妨设a<b<c<d，

作出函数y＝m与函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，

则有a和b为y＝m与f(x)＝|x＋4|交点的横坐标，

c和d为y＝m与f(x)＝|ln x|交点的横坐标，

可得－(a＋4)＝b＋4，即a＋b＝－8，

又由－ln c＝ln d，即ln cd＝0，可得cd＝1，

由图象可知，－4<b<0，

所以abcd＝(－b－8)b＝－b2－8b＝－(b＋4)2＋16∈(0,16)．

四、解答题

9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

解　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

所以f(x)＝

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，

故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

只需－1<a<1，

故a的取值范围为(－1,1)．

10．声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，单位为帕(Pa)．把声压的有效数值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫做声压级．声压级以符号SPL表示，单位为分贝(dB)，公式为：SPL(声压级)＝20lg  (dB)，式中pe为待测声压的有效值，pref为参考声压，在空气中参考声压pref一般取值为2×10－5 Pa.根据上述材料，回答下列问题：

(1)若某两人小声交谈时的声压有效值pe＝0.002 Pa，求其声压级；

(2)已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB，求此时该教室内声压的有效值．

解　(1)因为某两人小声交谈时的声压有效值pe＝0.002 Pa，在空气中参考声压pref一般取值为2×10－5 Pa，SPL(声压级)＝20lg  (dB)，

所以SPL(声压级)＝20lg 

＝20lg ＝20lg 102＝40(dB)．

(2)因为开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB，

所以90＝20lg ，

所以90＝20lg ＝20(lg pe－lg 2×10－5)＝20(lg pe－lg 2－lg 10－5)，

即lg pe＝lg 2－＝lg ，

所以pe＝＝(Pa)，

所以此时该教室内声压的有效值为 Pa.