高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件同步训练题

1.4　充分条件与必要条件

1.4.1　充分条件与必要条件

1.4.2　充要条件

基础过关练

题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定

1.(2022北京八一学校月考)对于实数x,“x<0”是“x<1”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)“|a-b|=|a|+|b|”是“ab<0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2022北京首师大附中月考)下列说法错误的是(　　)

A.“A∩B=B”是“B=⌀”的必要不充分条件

B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0”

C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件

D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”

4.(2020山东德州实验中学月考)设集合A={x∈R|x-2>0},

B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(多选)(2021河北唐山第一中学期中)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是(　　)

A.若两个三角形全等,则这两个三角形相似

B.若x>5,则x>10

C.若ac=bc,则a=b

D.若0<x<5,则|x-1|<1

6.(2022福建厦门双十中学阶段测试)下图是由电池、开关和灯泡组成的电路,假定所有零件均能正常工作,则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  

7.(2021上海复旦大学附属中学期中)若α是β的必要不充分条件,β是γ的充要条件,γ是δ的必要不充分条件,则δ是α的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 

题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明

8.(2022吉林长春北师大附属中学月考)设x∈R,则x>的一个必要不充分条件为(　　)

A.x<1　　　　　　B.x>1

C.x<π　　　　　　D.x>π

9.(2022河南南阳一中月考)若x,y∈R,则x+y>0的一个充分不必要条件为(　　)

A.x+y>-1　　　　　　B.x>y>0

C.xy>0　　　　　　D.x2-y2>0

10.(2021吉林长春外国语学校月考)关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实根的充要条件为(　　)

A.a≤0或a=1　　　　　　B.a<0或a=1

C.a≥1或a=0　　　　　　D.a>1或a=0

11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:

(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　; 

(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　; 

(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　. 

12.(2020江苏镇江期中)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用

13.(2021安徽芜湖一中月考)已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　)

A.{m|m≥8}　　　　　　B.{m|m>8}

C.{m|m>-4}　　　　　　D.{m|m≥-4}

14.(2021江西上高二中月考)已知命题p:关于x的方程x2-4x+a=0无实根,若p为真命题的一个充分不必要条件为“a>3m+1”,则实数m的取值范围是(　　)

A.{m|m≥1}　　　　　　B.{m|m>1}

C.{m|m<1}　　　　　　D.{m|m≤1}

15.(2022江西南昌八一中学月考)已知集合A={x|2a+1≤x<3a+5},B={x|3≤x≤32},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

16.(2020湖南岳阳、湘潭联考)已知p:1-c<x<1+c(c>0),q:x>7或x<-1,若p是q的既不充分也不必要条件,求c的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.A　由x<0,可知x<1,反之不成立,∴“x<0”是“x<1”的充分不必要条件.故选A.

2.B　∵|a-b|=|a|+|b|,∴两边同时平方得a2-2ab+b2=a2+2|ab|+b2,即|ab|=-ab,∴ab≤0.

故“|a-b|=|a|+|b|” 是“ab<0”的必要不充分条件.

3.B　“A∩B=B”是“B=⌀”的必要不充分条件,因此A中说法正确;由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分不必要条件,因此B中说法错误;“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件,因此C中说法正确;“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”,因此D中说法正确.故选B.

4.C　A∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2},

∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.

5.BCD　对于选项A,若两个三角形全等,则这两个三角形一定相似,而两个相似的三角形却不一定全等,故A不正确;

对于选项B,由x>5无法推出x>10,如6>5,但是6<10,反之成立,故B正确;

对于选项C,由ac=bc无法得到a=b,如当c=0,a=1,b=2时,有ac=bc,但是a≠b,反之成立,故C正确;

对于选项D,若0<x<5,则-1<x-1<4,则|x-1|<4,而若|x-1|<1,则0<x<2,能推出0<x<5,故D正确.故选BCD.

6.答案　充分不必要

解析　当开关K1和K2有且只有一个闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,开关K1和K2也有可能都闭合,故电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.

7.答案　充分不必要

解析　由α是β的必要不充分条件,可得β⇒α,αβ.

由β是γ的充要条件,可得β⇔γ.

由γ是δ的必要不充分条件,可得δ⇒γ,γδ.

综上可得,δ⇒γ⇒β⇒α,α δ.

∴δ是α的充分不必要条件.

8.B　设集合M={x|x>},x>的一个必要不充分条件的x组成的集合为N,则M⫋N,

结合选项可知B满足条件.故选B.

解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题.根据“小充分、大必要”判断,并求解此类充分、必要条件有关问题.

9.B　设p:x+y>0的一个充分不必要条件为q,则q能推出p,但p不能推出q.

对于A,“x+y>-1”不能推出“x+y>0”,故A错误;对于B,“x>y>0”能推出 “x+y>0”,且“x+y>0”不能推出“x>y>0”,故B正确;对于C,“xy>0”不能推出“x+y>0”,故C错误;对于D,“x2-y2>0”不能推出“x+y>0”,故D错误.故选B.

10.A　 当a=0时,方程的解为x=-,符合题意.当a≠0时,由方程ax2+2x+1=0有实根,得Δ=4-4a≥0,则a≤1,且a≠0.若a=1,则方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,符合题意;若a<1且a≠0,则方程有两个不相等的实根,设这两个实根分别为x1,x2,因为方程只有一个负实根,所以x1x2=<0,即a<0.综上,关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实根的充要条件为a≤0或a=1.故选A.

易错警示　解决含参数的“一元二次方程”问题时,要注意二次项系数是不是0,从而对参数进行讨论,解题时防止遗漏导致解题错误.

11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①

解析　①ab=0⇔a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;

②a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负;

③a(a2+b2)=0⇔a=0或

④ab>0⇔或即a,b同号且都不为0.

12.证明　必要性:因为a+b=1,

所以a+b-1=0.

所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)

=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,

所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.

则a2-ab+b2=+b2>0,

所以a+b-1=0,即a+b=1.

综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

13.B　由4x-m<0,得x<;

由1≤3-x≤4,得-1≤x≤2.

∵p是q的一个必要不充分条件,∴>2,∴m>8.

故选B.

14.B　当p为真命题时,有Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.

若p为真命题的一个充分不必要条件为“a>3m+1”,则{a|a>3m+1}⫋{a|a>4},

∴3m+1>4,解得m>1.

故选B.

15.解析　由x∈A是x∈B的充分不必要条件,可得集合A⫋B.

当A=⌀时,2a+1≥3a+5,解得a≤-4,满足题意;

当A≠⌀时,要使得A⫋B,则

解得1≤a≤9.

综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-4或1≤a≤9}.

16.解析　设A={x|1-c<x<1+c,c>0},B={x|x>7或x<-1},

若p是q的既不充分也不必要条件,

则A∩B=⌀或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②,

解①得c≤2,解②得c≥-2.

又c>0,所以c的取值范围为{c|c>0}.