高中数学2.2 基本不等式测试题

2.2　基本不等式

第1课时　基本不等式及求最大(小)值

基础过关练

题组一　对基本不等式的理解

1.下列说法正确的是(　　)

A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0

B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b∈R

C.a+b≥2成立的前提条件是a≥0,b≥0

D.a+b>2成立的前提条件是ab>0

2.(多选)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.a+≥4　　　　　　B.a2+≥8

C.+>　　　　　　D.+≥2

3.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为(　　)

A.x≥2y　　　　　　B.x>2y

C.x≤2y　　　　　　D.x<2y

4.(2020山东德州夏津一中月考)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)

A.x=5　　　　　　B.x=4         C.x=3　　　　　　D.x=-1

题组二　利用基本不等式求最大(小)值

5.已知函数y=2x2+,则函数的最小值为(　　)

A.2　　　　　B.4　　　　　C.6　　　　　D.8

6.(2022北京首师大附中月考)已知0<x<,则x(1-2x)的最大值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

7.(2022安徽合肥六中段考)当0<x<1时,y=+的最小值为(　　)

A.8　　　　　B.9　　　　　C.10　　　　　D.12

8.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)函数y=(x>-1)的最小值为　　　　. 

题组三　利用基本不等式求含条件的最大(小)值

9.(2022江苏镇江一中段考)已知正数a,b满足a+b=2,则有(　　)

A.最小值1　　　　　　B.最小值

C.最大值　　　　　　D.最大值1

10.(2022北师大附中月考)已知两个正数m,n满足mn=3,则m+3n的最小值为(　　)

A.3　　　　　B.6　　　　　C.　　　　　D.

11.(2022广东汕头澄海中学段考)已知正实数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为　　　　. 

12.已知正实数x,y.

(1)若4x+y=1,求xy的最大值;

(2)若(x-1)(y-1)=1(x>1),求3x+4y的最小值.

能力提升练

题组一　对基本不等式的理解

1.已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,下列各式的值中最大的是(　　)

A.a2+b2　　　　　　B.2

C.2ab　　　　　　D.a+b

2.(多选)(2022江苏扬州中学月考)已知实数a,b,下列不等式一定成立的是(　　)

A.≥　　　　　　B.a+≥2

C.≥2　　　　　　D.2(a2+b2)≥(a+b)2

题组二　利用基本不等式求最大(小)值

3.(2021江苏南京师范大学附属中学月考)下列说法中正确的是(　　)

A.当x>0时,+≥2

B.当x>2时,x+的最小值是2

C.当x<时,y=4x-2+的最小值是5

D.若x>0,则x3+的最小值为2

4.(2022北京首师大附中月考)当x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.m<-8　　 　B.m>-8          C.m<-6　　　　 　D.m>-6

5.已知a>b>0,则a2+的最小值为(　　)

A.8　　　　　B.8C.16　　　　　　D.16

题组三　利用基本不等式求含条件的最大(小)值

6.(2021黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为(　　)

A.6　　　　　B.8　　　　　C.15　　　　　D.17

7.若正实数x,y满足x+y=1,则不等式+的最小值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.9　　　　　D.3

8.(2022河南南阳一中月考)已知正数x,y满足x+y=2,则下列选项不正确的是(　　)

A.+的最小值是2

B.xy的最大值是1

C.x2+y2的最小值是4

D.x(y+1)的最大值是

9.(2022浙江精诚联盟联考)已知a>0,b>0.

(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;

(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;

(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　A错误,应为a,b∈R;B错误,应为a,b∈R,且a≠b;D错误,应为a≥0,b≥0,且a≠b;C正确.故选C.

2.BD　对于A、C,当a<0,b<0时,不等式不成立,故A,C不符合题意;对于B,a2+≥2=8,当且仅当a2=,即a=±2时等号成立,故B符合题意;对于D,∵ab>0,∴>0,>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.

3.B　因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.

4.A　当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是=x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).故选A.

5.C　易知x2+1>0,所以y=2x2+=2=2

≥2=6,当且仅当x2+1=2,即x=±1时取等号.故选C.

6.C　x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=,

当且仅当2x=1-2x,即x=时取等号,

因此x(1-2x)的最大值为.故选C.

7.B　因为0<x<1,所以0<1-x<1,

所以y=+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,

当且仅当=,即x=时等号成立,

所以y=+的最小值为9.故选B.

解题模板　解决分式类型函数的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“x+(1-x)=1”是定值,从而得到解决问题的方法.

8.答案　9

解析　因为x>-1,所以x+1>0,

所以y==

=

=(x+1)++5≥2+5=9,

当且仅当x+1=,即x=1时等号成立,

所以所求函数的最小值为9.

导师点睛　求含二次分式(分子是二次式,分母是一次式)的函数的最大(小)值时,常将一次式看作一个整体,将原来函数表达式中的分子按照一次式的形式进行配凑,分离常数,转化为可利用基本不等式求最大(小)值的形式.

9.D　∵正数a,b满足a+b=2,

∴2=a+b≥2,当且仅当a=b=1时取等号,

∴≤1.∴的最大值是1.故选D.

10.B　∵m,n为正数,

∴m+3n≥2=2×3=6,当且仅当m=3n=3时取等号,

∴m+3n的最小值为6,故选B.

11.答案　9

解析　依题意得,+=(2x+y)=5++≥5+2≥5+4=9,当且仅当x=y= 时取等号.故+的最小值为9.

12.解析　(1)∵x,y均为正实数,

∴1=4x+y≥2=4,

∴≤,xy≤,当且仅当4x=y,即x=,y=时取等号,故xy的最大值为.

(2)∵(x-1)(y-1)=1(x>1),

∴xy=x+y,即+=1,

∴3x+4y=(3x+4y)=3+++4≥7+2=7+4,

当且仅当=,即x=+1,y=+1时取等号,∴3x+4y的最小值为7+4.

能力提升练

1.D　因为0<a<1,0<b<1,

所以a2<a,b2<b,所以a2+b2<a+b.

因为a≠b,所以a2+b2>2ab,a+b>2,

所以a+b的值最大,故选D.

2.CD　当a<0,b<0时,≥不成立,故A不符合题意;

当a<0时,a+≥2不成立,故B不符合题意;

=+≥2,当且仅当a=±b时,等号成立,故C符合题意;

∵2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,

∴2(a2+b2)≥(a+b)2,故D符合题意.故选CD.

3.A　x>0时,+≥2,当且仅当=,即x=1时取等号,A正确;

当x>2时,x+>2,故B不正确;

由x<可得4x-5<0,

故y=4x-2+=4x-5++3=-+3≤1,

当且仅当5-4x=,

即x=1时取等号,C不正确;

2不是定值,D不正确.

故选A.

易错警示　利用基本不等式求最大(小)值时要注意各项为正,当各项为负时,可通过提取负号转化为各项为正的情况求解,此时注意求解的是最大值还是最小值.

4.D　当x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,即2(x-1)+>-m-2恒成立.当x>1时,x-1>0,∴2(x-1)+≥2×=4,

当且仅当x=2时取等号,

∴-m-2<4,解得m>-6.故选D.

解题模板　解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等),再将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值.

5.C　∵b(a-b)≤=,∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立.

6.D　∵a+b=1,∴+=a+b++=1+=1+.

又ab≤=,∴≥4,∴1+≥17,

∴+≥17,当且仅当a=b=时取等号.

故选D.

7.A　因为x+y=1,所以(x+1)+y=2,即[(x+1)+y]=1,

所以+=[(x+1)+y]=×≥=,

当且仅当即时,等号成立,故+的最小值为.故选A.

8.C　∵正数x,y满足x+y=2,∴+=(x+y)·=≥=2,当且仅当x=y=1时等号成立,∴A正确;

由x+y≥2,可得2≤2,即xy≤1,当且仅当x=y=1时等号成立,∴B正确;

由x+y=2得x2+y2+2xy=4,又2xy≤x2+y2,∴2(x2+y2)≥4,∴x2+y2≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,

∴C不正确;

由正数x,y满足x+y=2,可得x+(y+1)=3,则x(y+1)≤==,

当且仅当x=y+1,即x=,y=时,等号成立,故x(y+1)的最大值是,∴D正确.故选C.

方法技巧　本题还可利用≤≤≤快速求解.

9.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,

∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,

∴+的最小值为,此时a=,b=.

(2)∵2a2+b2=4a+4b,∴+===+≥2=,

当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,

∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.

(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.