人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后复习题

第2课时　基本不等式的应用

基础过关练

题组一　利用基本不等式比较大小

1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.b>>a>　　　　　　B.b>>>a

C.b>>>a　　　　　　D.b>a>>

2.若a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　. 

3.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价 %,若p,q>0,且p≠q,则提价较多的方案是　　　　. 

题组二　利用基本不等式证明不等式

4.(2021安徽六安城南中学开学考试)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3.

5.(2021福建三明第一中学月考)已知a,b均为正实数,求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).

6.(2022广东深圳南山外国语高级中学月考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:

(1)ab+bc+ac≤;(2)a2+b2+c2≥.

题组三　利用基本不等式解决实际问题

7.(2022江苏镇江一中段考)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)

A.30件　　　　　　B.60件

C.80件　　　　　　D.100件

8.(2022湖北武汉中学月考)将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)

A.6.5 m　　　　　　B.6.8 m

C.7 m　　　　　　D.7.2 m

9.某大型广场计划新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).求整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度.

10.(2022广东汕头澄海中学段考)修建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙部分需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/米,新墙的造价为180元/米,设利用的旧墙的长度为x米,修建此矩形场地围墙的总费用为y元.

(1)将y表示为x的函数;

(2)当x为何值时,修建此矩形场地围墙的总费用最少?最少为多少?

能力提升练

题组一　利用基本不等式比较大小

1.(多选)(2021辽宁葫芦岛质量检测)已知两个不等正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　)

A.ab<　　　　　　B.+<4

C.+<　　　　　　D.a2+b2>

2.(2022豫西名校联考)设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　)

A.v=　　　　　　B.v=

C.<v<　　　　　　D.a<v<

题组二　利用基本不等式证明不等式

3.(2021湖南长沙长郡中学检测)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:

(1)++≥8;

(2)≥9.

4.(1)已知a,b,c均为正数,求证:++≥(a+b+c);

(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:+≥(a+b)2.

5.(2022湖北武汉中学月考)设a>0,b>0,a+b=2.证明:

(1)≥4;

(2)a3+b3≥2.

题组三　基本不等式的综合应用

6.(2022豫西名校联考)如图,某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,泳池四周墙壁的建造单价为400元/平方米,中间一条隔壁的建造单价为100元/平方米,池底的建造单价为60元/平方米(池壁厚忽略不计且池的深度一定),欲使泳池的总造价最低,则泳池的长(与中间隔壁垂直的一边为泳池的长)应设计为(　　)

A.13米　　　　　B.14米　　　　　C.15米　　　　　D.16米

7.(2021山东日照五莲期中)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则(　　)

A.x=　　　　B.x=      C.x>　　　  　D.x<

8.(2022江西南昌八一中学月考)我国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为　　　　. 

9.某品牌行车记录仪支架销售公司从去年起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.据统计,发现产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是　　　　万元. 

10.(2022河南南阳一中月考)某校为迎接新生,要设计一张如图所示的矩形广告牌,该广告牌设有大小相等的左、中、右三个矩形栏目,这三个矩形栏目的面积之和为60 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.

(1)设每个矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,试用a,b表示整个矩形广告牌的面积S(单位:cm2);

(2)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸,能使整个矩形广告牌面积最小?最小为多少?

答案全解全析

基础过关练

1.C　∵0<a<b,∴2b>a+b,ab>a2,∴b>>>a.

故选C.

2.答案　≥

解析　因为a>b>c,所以=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.

3.答案　乙

解析　不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为,

易知≤=1+,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提价较多的方案是乙.

4.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数,

∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立,

则+++++>6,

∴++>3,

即++>3.

5.证明　由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2ab2,b2+a2≥2ab,

三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab·(a+b+1),当且仅当a=b=1时,取等号.所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).

6.证明　(1)因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取“=”),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取“=”),

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取“=”).

由题设得(a+b+c)2=1,

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以1≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca,

即ab+bc+ac≤.

(2)由(1)得2ab+2bc+2ac≤2(a2+b2+c2),

所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1≤a2+b2+c2+2(a2+b2+c2),即a2+b2+c2≥当且仅当a=b=c=时取“=”.

7.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,

则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立,

故每批应生产产品60件.故选B.

8.C　设直角三角形框架的两条直角边的边长分别为x m,y m,x>0,y>0,则xy=2,即xy=4,

故三角形框架的周长为x+y+=(x+y+)m.

∵x+y≥2 =4,∴x+y+≥4+2,当且仅当x=y=2时取等号,又4+2≈6.83,∴结合选项可知用7 m的铁丝最合适.故选C.

9.解析　设BC=x m,则CD= m,

所以=(x+10)

=1 040+4x+

≥1 040+2=1 440,

当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,

所以当边BC的长度为50 m时,整个项目占地面积最小.

10.解析　(1)设与旧墙垂直的一边长为a米,

则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.

依题意可知xa=360,则a=,

所以y=225x+-360(x>2).

(2)∵x>2,∴225x+≥2×=10 800,

∴y=225x+-360≥10 440,

当且仅当225x=,即x=24时,等号成立.

故当x=24时,修建围墙的总费用最少,最少为10 440元.

能力提升练

1.ACD　A.因为a,b为两个不等正数,所以<=,可得ab<,故选项A正确;

B.因为+==,所以由选项A可知,>4,故选项B不正确;

C.因为=a+b+2=1+2,所以由选项A可知,(+)2=1+2<2,所以+<,故选项C正确;

D.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab,所以由选项A可知,a2+b2=1-2ab>,故选项D正确.

2.D　设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,

∴v==,故A错误;

∵b>a>0,∴由基本不等式可得<,∴v=<=,故B,C错误;

∵v-a=-a=>=0,

∴v>a,则a<v<,故D正确.故选D.

3.证明　(1)∵a+b=1,a>0,b>0,

∴++=++=2,

又+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,

∴++≥8.

(2)证法一:∵a+b=1,∴1+=1+=2+,

同理,1+=2+,

又a>0,b>0,

∴==5+2≥5+4=9,当且仅当a=b=时等号成立,

∴≥9.

证法二:=1+++.

由(1)知,++≥8,

故=1+++≥9,当且仅当a=b=时,等号成立.

4.证明　(1)易得≤,∴≥=(a+b)(当且仅当a=b时,等号成立).

同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).

三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).

(2)∵0<x<1,∴1-x>0.

又∵a>0,b>0,

∴+=(x+1-x)=a2+b2+·b2+·a2≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=(a+b)2当且仅当·b2=·a2,即x=时,等号成立.

故+≥(a+b)2.

5.证明　 (1)因为a+b=2,

所以==1+,

易知ab≤=1(当且仅当a=b=1时取等号),

所以1+≥1+=4.

故≥4.

(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+6ab

≤a3+b3+6×=a3+b3+6,当且仅当a=b=1时取等号,

又(a+b)3=23=8,所以a3+b3≥2.

6.C　设泳池的深为h米,长为x米,总造价为y元,则宽为米,

y=400×h+100×h+60×200

=800×h+12 000

≥1 600h+12 000=24 000h+12 000,

当且仅当x=,即x=15时等号成立.

故泳池的长设计为15米时,可使总造价最低.故选C.

7.D　由题意可得a(1+p)(1+q)=a(1+x)2,即(1+p)·(1+q)=(1+x)2.

易得(1+p)(1+q)≤,当且仅当p=q时取等号,

∵p≠q,∴(1+p)(1+q)<,

则1+x<=1+,即x<.

故选D.

8.答案　12

解析　∵a=6,b+c=10,∴p==8,

结合三角形的三边关系可得2<b<8,2<c<8,

∴三角形的面积S==4≤4×=12,

当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形.

因此,该三角形面积的最大值为12.

9.答案　37.5

解析　因为x=3-,

所以t=-1(1<x<3),

设月利润为y万元,

则y=x-32x-3-t=16x--3

=16x-+-3

=45.5-≤45.5-2=37.5,

当且仅当16(3-x)=,即x=时取等号,

故该公司的最大月利润为37.5万元.

10.解析　(1)由题意可得ab=20 000,

整个矩形广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm,

则S=(a+20)(3b+30)=30(a+2b)+60 600.

(2)由ab=20 000,得b=,

∴S=30(a+2b)+60 600=30+60 600≥30×2+60 600=12 000+60 600=72 600,

当且仅当a=,即a=200时取等号,此时b=100.

故当矩形栏目的高为200 cm,宽为100 cm时,可使整个矩形广告牌的面积最小,最小为72 600 cm2.