人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数随堂练习题

4.2.2　指数函数的图象和性质

基础过关练

题组一　指数函数的图象特征

1.函数y=-2-x与y=2x的图象(　　)

A.关于x轴对称　　　　　　B.关于y轴对称

C.关于原点对称　　　　　　D.关于直线y=x对称

2.(2021河北衡水武邑中学期中)当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是(　　)

3.(2020北京丰台期中联考)函数y=的图象是(　　)

4.(2022北京十一学校期中)已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如下图所示,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.b+d>a+c　　　　　　B.b+d<a+c

C.a+d>b+c　　　　　　D.a+d<b+c

5.(2022山西太原期中)函数f(x)=ax-1-1(a>0,a≠1)的图象必经过的点是(　　)

A.(1,0)　　　　　　B.(1,-1)

C.(0,0)　　　　　　D.(0,-1)

6.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=(x>0),函数f(x)的图象经过点(2,16).

(1)写出函数f(x)的解析式;

(2)在同一个坐标下用描点法作出函数f(x),g(x)的图象,并求出当f(x)<g(16)时,自变量x的取值范围;

(3)当x>0时,用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记N(x)=min{f(x),g(x)}(例如,min{3,9}=3),求函数N(x)的值域.

题组二　指数函数的单调性及其应用

7.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c　　　　　　B.b>a>c

C.b>c>a　　　　　　D.c>b>a

8.(2020广东珠海期末) 已知f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是(　　)

A.[1,32)　　　　　　B.[-1,30)

C.[0,5)　　　　　　D.(-∞,30]

9.(2021山东济宁期中)不等式>的解集为　　　　. 

10.函数y=的单调递增区间为　　　　. 

11.(2022广东实验中学期中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是　　　　. 

12.(2022北京清华大学附属中学期中)已知函数f(x)=a·2x+b的图象过原点,且f(1)=1.

(1)求实数a,b的值;

(2)判断并用定义证明函数g(x)=在区间(0,+∞)上的单调性.

题组三　指数函数性质的综合应用

13.(2022湖南长沙第一中学期中)函数f(x)=2x+在定义域R上是(　　)

A.增函数　　　B.减函数         C.奇函数　　　　D.偶函数

14.(多选)下列函数中,最小值为2的是(　　)

A. f(x)=x2+2x+3　　　　　　B.g(x)=2x+2-x

C.h(x)=3x+2　　　　　　    D.m(x)=2|x|+1

15.(2020浙江杭州高级中学期末)函数y=的单调递增区间为　　　　;此函数是　　　　(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”). 

16.已知函数f(x)=a-是奇函数.

(1)求实数a的值;

(2)求函数f(x)的值域.

17.(2020山东临沂期末素养水平监测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x.

(1)求当x<0时, f(x)的解析式;

(2)求不等式f(x)<1的解集.

能力提升练

题组一　指数函数的图象及其应用

1.(2021湖北武汉部分重点高中期中)函数f(x)=2x+的图象大致是(　　)

2.(多选)(2021山东威海期中)设函数f(x)的定义域为R,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若函数f(x)=2|x|,则(　　)

A. f2(-2)=-4             B. f2(x)在(-∞,-1)上单调递减

C. f2(x)为偶函数         D. f2(x)的最大值为2

题组二　指数函数的单调性及其应用

3.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为　　　　. 

4.若实数x,y满足2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y,则x　　　　y(填“>”“<”或“=”). 

5.(2020黑龙江大庆实验中学月考)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点.若不等式

+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为　　　. 

题组三　指数函数性质的综合应用

6.(2022河北辛集一中月考)函数f(x)=的值域为(　　)

A.(0,1)　　　B.(0,1]       C.(0,2)　　　　D.(1,2)

7.(多选)(2022广东广州一中期中)已知函数f(x)=a+b(a,b∈R),则下列结论正确的有(　　)

A.存在实数a,b使得函数f(x)为奇函数

B.若函数f(x)的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则b=2

C.若函数f(x)在区间[0,π]上单调递减,则a>0

D.当a∈[-1,1]时,若∀x∈[-1,1],函数f(x)≤1恒成立,则b的取值范围为b<1

8.(2021浙江杭州学军中学期中)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,若∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

9.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　. 

10.(2022浙江嘉兴期中)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)是奇函数.

(1)求实数k的值;

(2)若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),当a=2时,g(x)在[0,1]上的最小值为1,求实数m的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x.

∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,

∴y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称.

故选C.

2.A　当a>1时,函数y=ax是增函数,y=(a-1)x2的图象开口向上,所以两个函数的图象只可能是A中图象.故选A.

3.D　y==

因此,当x≥0时,y=的图象与y=的图象相同;当x<0时,y=的图象与y=2x的图象相同,故选D.

4.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,

故c>d>a>b,所以b+d<a+c.故选B.

5.A　由于指数函数y=ax的图象过定点(0,1),

因此在f(x)=ax-1-1(a>0,a≠1)中,

令x-1=0,则x=1,故f(1)=a0-1=0,

故此函数的图象必经过点(1,0),故选A.

6.解析　(1)∵f(x)的图象经过点(2,16),

∴f(2)=a2=16,解得a=±4,又a>0,∴a=4,∴f(x)=4x,x∈R.

(2)列表:

描点作图:

令f(x)<g(16),得4x<,即4x<4-2,又y=4x在区间(-∞,+∞)上单调递增,∴x<-2,故x的取值范围是{x|x<-2}.

(3)由(2)及题意可得N(x)的图象如下:

由图可知,N(x)的值域为(0,2].

7.C　∵y=在R上是减函数,

∴>>=>.

∵y=在R上是减函数,

∴<=,

∴>>,

即b>c>a,故选C.

8.C　∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴f(x)的定义域是[1,32),

∴若f(2x)有意义,则1≤2x<32,

解得0≤x<5.

9.答案　

解析　∵>,y=在R上是减函数,

∴2x2-1<4-3x,解得-<x<1.

故不等式的解集为.

10.答案　[-1,+∞)

解析　设t=8-2x-x2,则y=,易知y=在R上单调递减,

又t=8-2x-x2在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减,

所以由y=与t=8-2x-x2复合而成的函数y=的单调递增区间为[-1,+∞).

11.答案　[2,3)

解析　因为函数f(x)=在R上单调递增,

所以解得2≤a<3,

即a的取值范围是[2,3).

12.解析　(1)∵函数f(x)=a·2x+b的图象过原点,∴f(0)=0,即a+b=0,

又∵f(1)=1,∴2a+b=1,∴a=1,b=-1.

(2)由(1)可得f(x)=2x-1,∴g(x)==,

函数g(x)=在区间(0,+∞)上是减函数.

证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则g(x1)-g(x2)=-==,

∵0<x1<x2,∴>1,>1,->0,

∴g(x1)-g(x2)>0,

∴g(x1)>g(x2),

∴g(x)=在区间(0,+∞)上是减函数.

13.D　易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-x+=+2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.

f(x)=2x+可看作由函数y=u+(u>0)与函数u=2x复合所得,

其中u=2x是R上的增函数,y=u+(u>0)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.故选D.

14.ABD　对于A: f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当x=-1时,等号成立,故A正确;

对于B:g(x)=2x+2-x=2x+≥2,当且仅当x=0时,等号成立,故B正确;

对于C:h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误;

对于D:m(x)=2|x|+1≥20+1=2,当且仅当x=0时,等号成立,故D正确.故选ABD.

15.答案　[0,+∞);偶函数

解析　设u=-|x|+1,则y=.

易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),y=是R上的减函数,

∴y=的单调递增区间为[0,+∞).

易知f(x)的定义域为R,又f(-x)===f(x),

∴f(x)是偶函数.

16.解析　 (1)由题意知f(-x)+f(x)=a-+a-=2a+-=2a+2=0,解得a=-1.经检验,a=-1时,满足题意.

(2)由(1)知f(x)=-1-=-1+,

易知3x>0且3x≠1,

当0<3x<1时,0<1-3x<1,>2,所以f(x)>1;

当3x>1时,1-3x<0,<0,所以f(x)<-1.

综上, f(x)的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).

17.解析　(1)当x>0时, f(x)=1-2x,

当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x.

又f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1,即x<0时, f(x)=2-x-1.

(2)当x>0时,不等式f(x)<1即1-2x<1,

∴2x>0,显然成立;

当x=0时,由f(x)是奇函数,得f(0)=0<1,成立;

当x<0时,不等式f(x)<1即2-x-1<1,∴2-x<2,

∴-1<x<0.

综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞).

能力提升练

1.D　f(x)=2x+=2x+1-,

易知函数的定义域为{x|x≠-1},当x<-1时, f(x)>1,排除A和B;

当x无限增大时, f(x)无限趋近于2x+1,呈指数增长,排除C,故选D.

2.BC　对于选项A: f(-2)=2|-2|=4>2,

∴f2(-2)=4,故选项A错误;

对于选项B:f(x)=2|x|的图象如图所示,

所以f2(x)的大致图象如图所示.

由图象可知, f2(x)在(-∞,-1)上单调递减,故选项B正确;

对于选项C:由f2(x)的图象可知,图象关于y轴对称,所以函数f2(x)是偶函数,故选项C正确;

对于选项D:由f2(x)的图象可知, f2(x)的最小值为2,无最大值,故选项D错误.

故选BC.

3.答案　或

解析　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,

故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去);

当0<a<1时,函数y=ax在[1,2]上单调递减,y的最大值为a,最小值为a2,

故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去).

综上,a=或a=.

4.答案　<

解析　不等式2 020x-2 020y<2 021-x-2 021-y可化为2 020x-2 021-x<

2 020y-2 021-y,

∵f(x)=2 020x-2 021-x是R上的增函数,∴x<y.

5.答案　

解析　由已知可得解得

则不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,设g(x)=+-m,x≤1,

显然函数g(x)=+-m在(-∞,1]上单调递减,

∴g(x)≥g(1)=+-m=-m,

故-m≥0,即m≤,

∴实数m的最大值为.

6.C　f(x)===2-,

∵2x>0,∴2x+1>1,∴0<<1,

∴-1<-<0,∴-2<-<0,∴0<2-<2,

∴函数f(x)=的值域为(0,2).故选C.

7.ABC　在选项A中,当a=b=0时, f(x)=0(x∈R),此时f(x)为奇函数,故选项A正确.

在选项B中,易知y=为偶函数,在区间[0,+∞)上为减函数,图象过点(0,1),且无限接近于x轴,若函数y=a+b的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则a=-2,b=2,故选项B正确.

在选项C中,因为y=为偶函数,在区间[0,+∞)上为减函数,故若函数f(x)=a+b在区间[0,π]上单调递减,则a>0,故选项C正确.

在选项D中,当a∈(0,1]时,∀x∈[-1,1],有+b≤f(x)≤a+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则a+b≤1,即b≤1-a,而0≤1-a<1,故b≤0;

当a=0时, f(x)=b,若∀x∈[-1,1], f(x)≤1恒成立,则b≤1;

当a∈[-1,0)时,∀x∈[-1,1],有a+b≤f(x)≤+b,若f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,则+b≤1,即b≤1-,而1<1-≤,故b≤1.

综上,b的取值范围为b≤0.故选项D不正确.故选ABC.

8.答案　

解析　若∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.

∵f(x)=x2,-1≤x≤3,∴f(x)min=0,

∵g(x)=-m在[0,2]上单调递减,

∴g(x)min=g(2)=-m=-m.

因此,0≥-m,解得m≥,

故m的取值范围是.

9.答案　

解析　设f(x)=4x-2x+1-3,x∈[0,1]的值域为A.

令t=2x,t∈[1,2],则f(x)=4x-2x+1-3可化为y=t2-2t-3=(t-1)2-4,易知其在t∈[1,2]上单调递增,所以ymax=(2-1)2-4=-3,ymin=(1-1)2-4=-4,即A=[-4,-3].

设g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),x∈[0,1]的值域为B.

易知函数g(x)的图象的对称轴方程为x=2m≥2,所以g(x)=x2-4mx-2m在x∈[0,1]上单调递减,所以g(x)max=g(0)=-2m,g(x)min=g(1)=1-6m,即B=[1-6m,-2m].

因为对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以A⊆B,故解得1≤m≤.

解题模板　已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A, y=g(x),x∈[c,d]的值域为B.

(1)若∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则有A⊆B;

(2)若∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则有A⊇B;

(3)若∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠⌀.

10.解析　(1)易知f(x)的定义域为R.

∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴1-k=0,∴k=1.

经检验,符合题意,故k=1.

(2)由(1)知f(x)=ax-a-x.当a=2时,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)

=22x+2-2x-2m·(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2,

令t=2x-2-x,易知y=2x-2-x在[0,1]上是增函数,所以当x∈[0,1]时,t∈.

令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2,t∈,

①若m≤0,则h(t)min=h(0)=2≠1,不合题意;

②若0<m<,则h(t)min=h(m)=2-m2=1,解得m=±1,因为0<m<,所以m=1;

③若m≥,则h(t)min=h=-3m=1,解得m=<,舍去.

综上可得,m=1.