高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数课后测评

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

4.3.2　对数的运算

基础过关练

题组一　对数的概念及性质

1.若a2 022=b(a>0且a≠1),则(　　)

A.logab=2 022　　　　　　B.logba=2 022

C.log2 022a=b　　　　　　D.log2 022b=a

2.(2021安徽安庆期中)已知log2(a+1)=1,则a的值为(　　)

A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3

3.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为　　　　. 

4.(2020天津红桥期末)求值:log2(lg 10)=　　　　. 

5.(2020山东济南期末)-=　　　　. 

题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形

6.(2022天津南开中学期中)2log6+3log6=(　　)

A.log6　　　　　　B.2　　　　　C.0　　　　　D.1

7.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

8.(2022北师大附属实验中学期中)计算:2lg 5+lg 12-lg 3=　　　　. 

9.计算:log2×log32=　　　　. 

10.计算下列各式:

(1)2ln e+lg 1+;(2)+2ln 1.

题组三　对数运算的综合应用

11.若a=log23,则4a+4-a的值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

12.(2021江苏南通如东期中)物理学规定音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度),人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间,则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的(　　)

A.倍　　　　　　B.倍

C.100倍　　　　　　D.lg 倍

13.(2020河北唐山一中期中)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).

(1)求am+2n的值;

(2)若0<x<1,x+x-1=a,且m+n=log32+1,求x2-x-2的值.

能力提升练

题组一　对数的概念及运算

1.(2021山东菏泽期末)已知正实数a,b,c满足log3a=log5b=loc,则(　　)

A.a=bc　　　　　　B.b2=ac     C.c2=ab　　　　　　D.c=ab

2.(2021安徽芜湖一中月考)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,则log(abc)x=(　　)

A.1　　　　　B.0　　　　　C.36　　　　　D.

3.(2020天津河东期末)求值:-+lg +

=　　　　. 

4.(2020广东珠海期末) 计算:×-log37×log79+log126+

log122=　　　　. 

5.(2021上海长宁期末)若lg 2=a,10b=3,则log1225=　　　　.(用a,b表示)  

6.(2021江苏常州期中)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则ab=　　　　. 

7.(2022河北辛集一中月考)计算:(1)+lo3×log34++;

(2)log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1).

8.(2020山东青岛二中期末)已知A=+810.25-×+

log53×log325,B=log2(4B+2A),求A,B的值.

题组二　对数运算的综合应用

9.(多选)(2021江苏徐州一中期中)已知2a=3,b=log32,则(　　)

A.a+b>2　　　　　　B.ab=1

C.3b+3-b=　　　　　　D.=log912

10.下列数据最接近的是(lg 3≈0.477)(　　)

A.10-37　　　　　B.10-36　　　　　C.10-35　　　　　D.10-34

11.(2022浙江嘉兴期中)若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=2x,则f(log49)=(　　)

A.　　　　　B.3　　　　　C.-　　　　　D.6

12.(2022江苏南通如东高级中学阶段测试)(1)已知lg 2≈0.301 0,

lg 3≈0.477 1,求lg;

(2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3及,乙看错了常数c,得两根为及81,求这个方程正确的根.

答案全解全析

基础过关练

1.A　若a2 022=b(a>0且a≠1),则logab=2 022,故选A.

2.B　∵log2(a+1)=1,∴a+1=2,解得a=1,故选B.

3.答案　

解析　由题意知解得0<a<.

4.答案　0

解析　log2(lg 10)=log21=0.

5.答案　-5

解析　-=4-=4-9=-5.

6.D　2log6+3log6=log6[×]=log66=1.故选D.

7.B　log36===.

8.答案　2

解析　原式=lg =lg 100=lg 102=2.

9.答案　

解析　 log2×log32=×log23×log32=××=.

10.解析　(1)原式=21+0+2=2+2=4.

(2)原式=+20=÷31+1=+1=.

11.D　因为a=log23,所以4a+4-a=+=+

=+=32+3-2=,故选D.

12.C　∵η=10lg ,∴60 dB声音的声波强度I1=106·I0,40 dB声音的声波强度I2=104·I0,

∴==102=100,故选C.

13.解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,

因此am+2n=am·a2n=3×22=12.

(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.

于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,

由0<x<1知x-x-1<0,从而x-x-1=-,

∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.

能力提升练

1.C　设log3a=log5b=loc=n,则a=3n,b=5n,c=()n,所以c2=[()n]2=[()2]n=(5×3)n=3n×5n=ab,即c2=ab.故选C.

2.A　由题意,得=2,=3,=6,所以logxa=,logxb=,logxc=,因此logx(abc)=++=1,故x=abc,所以log(abc)x=1,故选A.

3.答案　-3

解析　 -+lg +=2-2-+(-2)+

=--2+1=-3.

4.答案　0

解析　原式=×-log37×log732+log1212=1-2log37×log73+1

=1-2+1=0.

解题模板　对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值的应用.

5.答案　

解析　 ∵10b=3,∴lg 3=b,又lg 2=a,

∴log1225====.

6.答案　9

解析　设x=logab,则b=ax,∵b>1,∴ax>1,又a>1,∴x>0,∵a>b>1,∴ax>bx,即b>bx,∴0<x<1,即0<logab<1,

又logab+logba=logab+=,∴logab=,∴b=,即a=b3,

又ab=ba,∴b3b=,∴b3=3b,又b>1,∴b=,∴a=3,∴ab=9.

7.解析　(1)+lo3×log34++

=+log23×log32++=+1++=.

(2)log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1)

=log25×(-log54)+(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2

=log25×(-2log52)+lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2

=-2+lg 5×lg 10+lg 2=-2+lg 5+lg 2

=-2+lg 10=-2+1=-1.

8.解析　A=+810.25-×+log53×log325

=1+3-3×4+log53×=-8+2=-6,

又B=log2(4B+2A),∴2B=4B-12,

令t=2B(t>0),则t2-t-12=0,

解得t=-3(舍去)或t=4,即2B=4,∴B=2.

故A=-6,B=2.

9.ABD　∵2a=3,∴a=log23,

∵b=log32,∴ab=log23×log32=1,因此B正确;

由基本不等式可知a+b>2=2,因此A正确;

3b+3-b=2+=,因此C错误;

===+=log32+log3=log32=log912,因此D正确.故选ABD.

10.B　因为lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈-35.8,所以≈10-35.8,选项B中的10-36与其最接近.故选B.

11.C　设log49=a,则4a=9,∴a>0,即log49>0,

当x<0时, f(x)=2x,则f(-log49)===,

又f(x)是奇函数,所以f(log49)=-f(-log49)=-,故选C.

12.解析　(1)lg =lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+

lg =lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+(1-0.301 0)=0.826 6.

(2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-1=-c,log381×log3=-12=-b,

故c=1,b=12,则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27,即这个方程正确的根为27和.