高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用课时练习

5.7　三角函数的应用

基础过关练

题组一　三角函数模型在物理中的应用

1.简谐运动y=4sin的相位与初相分别是　(　　)

A.5x-,　　　　　　B.5x-,4

C.5x-,-　　　　　　D.4,

2.已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t= s时,电流强度I为(　　)

A.5 A　　　　　B.2.5 A　　　　　C.2 A　　　　　D.-5 A

3.一个单摆如图所示,以OA为始边,OB为终边的角θ与时间t(s)的函数关系是θ=sin,则单摆完成5次完整摆动所花的时间为(　　)

A.5 s　　　　　　B.10 s

C. s　　　　　　D.5π s

4.简谐运动y=sin的频率f=　　　　. 

5.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下运动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复运动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与运动时间x(s)的关系式可以是　　　　　　.  

题组二　三角函数模型在生活中的应用

6.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5　　　　　B.6　　　　　C.8　　　　　D.10

7.商场人流量是指每分钟通过入口的人数,已知某商场春节期间的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是(　　)

A.[0,5]　　　　　　B.[5,10]

C.[10,15]　　　　　　D.[15,20]

8.已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测得自己的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数式p(t)=b+asin ωt(a,ω>0),则p(13)=(　　)

A.114　　　　　　B.102+12

C.96　　　　　　D.102-12

9.(2022湖南长沙明德中学期末)已知某地一天的温度y(单位:℃)与时间t(单位:h)近似地满足函数y=10-8sin (0≤t≤24),则该地这一天的温差为　　　　℃. 

10.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+A·cos(A>0,x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为　　　　℃. 

题组三　三角函数模型的建立及其应用

11.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖指向位置P(x,y).若初始位置为P0,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(秒)的函数关系式为(　　)

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=sin

12.(2022湖北武昌实验中学期末)如图,摩天轮上一点P在t时刻距离地面的高度满足函数y=Asin(ωt+φ)+B,A>0,ω>0,φ∈[-π,π],若摩天轮的半径为50米,点O距地面的高度为60米,摩天轮做匀速运动,每10分钟转一圈,点P的起始位置在摩天轮的最低点,则y(米)关于t(分钟)的解析式为(　　)

A.y=60-50sin t(t≥0)

B.y=60-50cos t(t≥0)

C.y=60-50cos t(t≥0)

D.y=60-50sin t(t≥0)

13.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在这两个值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).

(1)求出该动物种群数量y关于t的正弦型函数表达式(其中t=月份-1);

(2)估计当年3月1日该动物种群的数量.

能力提升练

题组一　三角函数模型在物理中的应用

1.(2020北京人大附中期中)音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)

图1

图2

A.200　　　B.400       C.200π　　　　　　D.400π

2.电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则t=时的电流强度为(　　)

A.0安培　　　　　　B.-5安培

C.10安培　　　　　　D.-10安培

3.(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.该质点的运动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

题组二　三角函数模型在生活中的应用

4.国际油价(单位:美元)在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asin+60(t为天数,A>0,ω>0),已知最高油价为80美元,当t=150时,油价最低,则A的值为　　　　,ω的最小值为　　　　　. 

5.某港口的水深y(米)随着时间t(时)呈现周期性变化,经研究可用y=asin t+bcos t+c来描述,若潮差(最高水位与最低水位的差)为3米,则a+b的取值范围为　　　　. 

题组三　三角函数模型的建立及其应用

6.(2020福建师大附中期末)如图所示,边长为 1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处,点B恰好能经过原点.设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:

①函数y=f(x)是偶函数;

②y=f(x)是周期为4的函数;

③函数y=f(x)在区间[10,12]上单调递减;

④函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,].

其中判断正确的序号是　　　　. 

7.(2020福建南平期末)某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为3的圆内作一个关于圆心对称的“H”型图形,“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍,设O为圆心,∠AOB=2α,记“H”型图形周长为C,面积为S,则C=　　　　,S的最大值为　　　　. 

8.(2020北京一零一中学期末)如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形,求阴影部分面积的最大值.

9.(2020辽宁沈阳铁路实验中学期中)如图是一个缆车示意图,该缆车的半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,缆车每60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h m.

(1)求h与θ之间的函数解析式;

(2)设从OA开始转动,经过t s达到OB,求h与t之间的函数解析式,并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.

答案全解全析

基础过关练

1.C　

2.B　当t= s时,I=5sin=2.5 A.

3.D　函数的周期T==π,5个周期即5π,故选D.

4.答案　

解析　因为周期T==16,所以频率f==.

5.答案　y=4sin(答案不唯一)

解析　不妨设y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由题知A=4,T=π,所以ω==2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=,故所求关系式为y=4sin.

6.C　由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,

∴ymax=k+3=8.

7.C　令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z,所以函数F(t)=50+4sin 的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.

8.B　由题意得解得

故p(t)=102+24sin t,

则p(13)=102+24sin =102+24sin =102+12.故选B.

9.答案　16

解析　因为0≤t≤24,所以0≤≤2π,所以ymax=10+8=18,ymin=10-8=2,所以温差为ymax-ymin=18-2=16(℃).

10.答案　20.5

解析　依题意知,a==23,A==5,

所以y=23+5cos,

当x=10时,y=23+5cos=20.5.

11.C　由题意,设函数关系式为y=Asin(ωx+φ).

易知函数的周期T=60 s,

∴ω=-=-,A==1,

∴y=sin.

∵初始位置为P0,∴t=0时,y=.

∴sin φ=,∴φ=.

∴函数关系式为y=sin.故选C.

12.B　由题意可得解得

由题意可知函数y=Asin(ωt+φ)+B的周期T=10,则ω==,所以y=50sin+60.

当t=0时,ymin=10,故sin φ=-1,

又φ∈[-π,π],所以φ=-,

所以y=50sin+60=60-50cos t(t≥0).

故选B.

解题模板　解决与旋转有关的应用问题,可用三角函数(简谐运动)来研究,解题时要明确各个量及其关系,如本题中的周期为10分钟,振幅为50米,初相为-.

13.解析　(1)设该动物种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),

则解得A=100,b=800.

∵周期T=12,∴ω==,

∴y=100sin+800.

又当t=6时,y=900,

∴900=100sin+800,

∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,∴可取φ=-,

∴y=100sint-+800.

(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日该动物种群的数量约为750.

能力提升练

1.D　由题图可得,ω>0,T=4×=,即=,则ω=400π.故选D.

2.A　由题图知A=10,函数的周期T=2×=,所以ω===100π,则I=10sin(100πt+φ),将点代入I=10sin(100πt+φ),

可得sin=1,

∴+φ=+2kπ,k∈Z.

又0<φ<π,∴φ=,故函数解析式为I=10sin,将t=代入函数解析式,得I=0.

3.BC　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.

4.答案　20;

解析　由题意得A+60=80,所以A=20.

因为当t=150时油价最低,所以150ωπ+=-+2kπ,k∈Z,即ω=-,k∈Z,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,为-=.

5.答案　

解析　y=asin t+bcos t+c=sin+c,

由题意可得2=3,故a2+b2=,

由≤=,解得-≤a+b≤.

6.答案　①②④

解析　当-2≤x<-1时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆的,

当-1≤x<1时,P的轨迹是以B为圆心,为半径的圆的,

当1≤x<2时,P的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆的,

当2≤x<3时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆的,

故函数的周期为4,故②正确.

函数f(x)的部分图象如图所示:

根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故①正确;

函数y=f(x)在区间[2,4]上为增函数,故在区间[10,12]上也是增函数,故③错误;

函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,],故④正确.

综上,正确的序号是①②④.

7.答案　28sin α+6cos α;8-16

信息提取　①在半径为3的圆内作一个关于圆心对称的“H”型图形;②“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍;③∠AOB=2α.

数学建模　利用已知条件及矩形的周长公式、面积公式,建立周长、面积和α的函数关系,再利用三角函数知识求出最大值.

解析　如图所示,过O作OM⊥AB,垂足为M,OM交CD于N,则M,N分别为AB,CD的中点.

设横向矩形为EFGH.

因为AB=2AM=6sin α,AB=EF,

所以EF=AB=4sin α,

所以AD=MN=OM-ON=OM-EF

=3cos α-2sin α.

故C=4×6sin α+2×(3cos α-2sin α)+2×4sin α

=28sin α+6cos α.

S=2S矩形ABCD+S矩形EFGH=2S矩形ABCD+S矩形ABCD

=S矩形ABCD

=×6sin α×(3cos α-2sin α)

=48sin αcos α-32sin2α

=24sin 2α-32×

=24sin 2α+16cos 2α-16

=8sin(2α+φ)-16,

其中tan φ=.

当sin(2α+φ)=1时,S取得最大值,为8-16.

8.解析　设等腰三角形的底角为θ,则等腰三角形的底边长为2cos θ,底边上的高为sin θ,

故阴影部分的面积为4××2cos θ×sin θ+(2cos θ)2

=2sin 2θ+2cos 2θ+2=2sin+2,

当θ=时,阴影部分的面积最大,为2+2.

9.解析　(1)以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,

故点B的坐标为4.8cos,4.8sin,

∴h=5.6+4.8sin=5.6-4.8cos θ.

(2)易知点A在圆上转动的角速度是= rad/s,

故t s转过的弧度数为t,

∴h=5.6-4.8cos t,t∈[0,+∞).

当t=45 s时,h=5.6.

故经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.

易错警示　解题时要注意:在平面直角坐标系中,以Ox为始边,OB为终边的角不是θ,而是θ-.