浙江省杭州市上城区2021-2022年学年八年级下学期期末学业水平监测数学试题(word版含答案)

这是一份浙江省杭州市上城区2021-2022年学年八年级下学期期末学业水平监测数学试题(word版含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
杭州市上城区2021-2022年学年八年级下学期期末学业水平监测数学试题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（　　）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）已知点A（1，a），B（2，b）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，则（　　）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（　　）

A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
10．（3分）已知，O是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD，AE，DE相交于点E，连结BE．下列说法正确的是（　　）
①四边形DEAO为菱形；②AE＝AB；③∠BAE＝120°；④若∠BED＝90°，则AD＝BE．

A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝1：3：1：3，则∠A＝　 　．
12．（4分）某校在广播操比赛中，综合成绩是由服装统一、动作整齐和动作准确三项成绩按2：3：4的比例计算所得．已知某班的服装统一、动作整齐和动作准确成绩分别是89分、88分和92分，那么该班的综合成绩是 　 　分．
13．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x元，则可列方程为 　 　．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是AD上的点，AE＝2，连结BE，作AF⊥BE交DC于F，则EF＝　 　．

15．（4分）定义平行四边形两边上的高线长之比叫做“高之比”．
（1）若平行四边形为菱形，则“高之比”为 　 　；
（2）当“高之比”为4，平行四边形周长为20，则该平行四边形较长的边长为 　 　．
16．（4分）正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 　 　．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（1﹣）（2﹣）．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x（x+1）＝1．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线BE，DF分别与边AD，BC交于点E、F，连结BE，FD．求证：四边形DEBF是平行四边形．

20．（10分）某公司计划从甲、乙两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务．要求生产皮具合格的标准质量为500克，现从两家提供的样品中各抽查10件，测得它们的质量如下（单位：克）：
甲：500，499，500，500，503，498，497，502，500，501；
乙：499，500，498，501，500，501，500，499，500，502．
（1）为了进一步分析数据，请补全下表中的数据：
种类
平均数
中位数
众数
方差
甲
500

500
2.8
乙

500

1.2
（2）生产皮具情况比较好的是 　 　（填“甲”或“乙”），说明你的理由；
（3）若甲每月生产3000件，请估计甲每月生产出的合格产品约为多少件？
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点G，交BC于点F．
（1）求证：DF＝BG；
（2）若BG⊥DF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．

22．（12分）已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE，DE．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝5，求AE的长；
（2）如图2，若点F是DC边上的一点，若CF＝BE，连结AF交DE于G，
①猜想∠EAF的度数，并说明理由；
②若DG＝DF，求的值．



杭州市上城区2021-2022年学年八年级下学期期末学业水平监测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有
【分析】直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分母有理化；最简二次根式．版权所有
【分析】利用最简二次根式的判定方法判定．
【解答】解：A.＝；本选项不符合题意．
B.＝；本选项不符合题意．
C．正确．本选项符合题意．
D.＝2；本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简，要熟练记住化简的法则．
3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【考点】矩形的性质；菱形的性质．版权所有
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵矩形的性质为对边平行且相等，对角线相等且互相平分，菱形的性质为对边平行且相等，对角线互相垂直平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握特殊四边形的性质是解题的关键．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2+2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x＝1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1＝1+1，
配方得（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4﹣4m＞0，解出m的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意，得Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
∵0＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
6．（3分）某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（　　）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．版权所有
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
【解答】解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．版权所有
【分析】利用平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3，
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
8．（3分）已知点A（1，a），B（2，b）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，则（　　）
A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（k＞0），
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，a），B（2，b）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，2＞1＞0，
∴0＜b＜a，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（　　）

A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【考点】菱形的性质．版权所有
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝α，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°﹣α，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣90°+α﹣90°+α＝2α，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得OH＝OB＝BD是解题的关键．
10．（3分）已知，O是矩形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，AE∥BD，AE，DE相交于点E，连结BE．下列说法正确的是（　　）
①四边形DEAO为菱形；②AE＝AB；③∠BAE＝120°；④若∠BED＝90°，则AD＝BE．

A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．版权所有
【分析】①先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而即可解决问题；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，进而可以判断；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，进而可以进行判断；
④设AC与BE交于点F，证明AF是BE的垂直平分线，可得AB＝AE，然后证明Rt△BDE≌Rt△BDC，进而可以解决问题．
【解答】解：①∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形；故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，设AC与BE交于点F，

∵∠BED＝90°，
∴DE⊥BE，
∵DE∥AC，
∴AC⊥BE，
∵O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴F是BE的中点，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠BCD＝90°，AD＝BC，
∴DE＝DC，
在Rt△BDE和Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC，
∴AD＝BE．
∴说法正确的是①④．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到Rt△BDE≌Rt△BDC．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝1：3：1：3，则∠A＝　45°　．
【考点】平行四边形的性质．版权所有
【分析】因为四边形的内角和是360°，而∠A：∠B：∠C：∠D＝1：3：1：3，则可以设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝x，∠D＝3x，列出方程即可求解．
【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝x，∠D＝3x，则有
x+3x+3x+x＝360°，
解得x＝45°，
即∠A＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了四边形的内角和．解决本题的关键是根据多边形的内角和定理列出方程进而求解．
12．（4分）某校在广播操比赛中，综合成绩是由服装统一、动作整齐和动作准确三项成绩按2：3：4的比例计算所得．已知某班的服装统一、动作整齐和动作准确成绩分别是89分、88分和92分，那么该班的综合成绩是 　90　分．
【考点】加权平均数．版权所有
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：该班的综合成绩是＝90（分）．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式．
13．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x元，则可列方程为 　（12﹣x）（100+20x）＝1400　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有
【分析】利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程即可．
【解答】解：设每箱应降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；
依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1400，
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是AD上的点，AE＝2，连结BE，作AF⊥BE交DC于F，则EF＝　　．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有
【分析】根据四边形ABCD是正方形，AF⊥BE，可证△ABE≌△DAF（AAS），即得AE＝DF＝2，在Rt△DEF中，得EF＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝3＝AD，∠BAE＝90°＝∠ADF，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AEB+∠DAF＝90°，
∴∠AFD＝∠AEB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF＝2，
∵AD＝3，AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣2＝1，
在Rt△DEF中，EF＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握正方形性质，证明△ABE≌△DAF．
15．（4分）定义平行四边形两边上的高线长之比叫做“高之比”．
（1）若平行四边形为菱形，则“高之比”为 　1：1　；
（2）当“高之比”为4，平行四边形周长为20，则该平行四边形较长的边长为 　8　．
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．版权所有
【分析】（1）根据菱形的边长相等，等底等高的平行四边形的面积相等解答即可；
（2）先求出BC＝10﹣AB，设DF＝4x，DE＝x，最后利用平行四边形的面积求解即可．
【解答】解：（1）由菱形的四条边相等，菱形的面积不变，则根据等底，面积相等，可得出高相等，
若平行四边形为菱形，则“高之比”为：1：1，
故答案为：1：1；
（2）如图，∵平行四边形周长为20，
∴AB+BC＝10，
∴BC＝10﹣AB，
∵DF：DH＝4：1，
设DF＝4x，DE＝x，
∴S平行四边形ABCD＝BC•DF＝AB•DE，
即AB•x＝（10﹣AB）•4x，
解得：AB＝8，
故答案为：8．

【点评】本题考查了菱形的性质及平行四边形的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
16．（4分）正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则代数式x1y2+x2y1的值是 　﹣2　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴x1y1＝x2y2＝1，
∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴x1y2+x2y1
＝﹣x1y1﹣x2y2
＝﹣1﹣1
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（1﹣）（2﹣）．
【考点】二次根式的混合运算．版权所有
【分析】（1）先算二次根式的乘法，再算二次根式的加法即可；
（2）利用二次根式的乘法的法则进行运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝3；
（2）（1﹣）（2﹣）
＝2﹣﹣2+2
＝4﹣3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x＝0；
（2）x（x+1）＝1．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．版权所有
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式求方程的解．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4；
（2）方程化为x2+x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线BE，DF分别与边AD，BC交于点E、F，连结BE，FD．求证：四边形DEBF是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定与性质．版权所有
【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，利用角平分线的性质可得∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，从而可得∠ABE＝∠CDF，即可证△ABE≌△CDF，然后利用全等三角形的性质可得BE＝DF，AE＝CF，从而可得DE＝BF，即可解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．（10分）某公司计划从甲、乙两家皮具生产能力相近的制造厂选择一家来承担外销业务．要求生产皮具合格的标准质量为500克，现从两家提供的样品中各抽查10件，测得它们的质量如下（单位：克）：
甲：500，499，500，500，503，498，497，502，500，501；
乙：499，500，498，501，500，501，500，499，500，502．
（1）为了进一步分析数据，请补全下表中的数据：
种类
平均数
中位数
众数
方差
甲
500

500
2.8
乙

500

1.2
（2）生产皮具情况比较好的是 　乙　（填“甲”或“乙”），说明你的理由；
（3）若甲每月生产3000件，请估计甲每月生产出的合格产品约为多少件？
【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．版权所有
【分析】（1）根据平均数和方差的意义解答即可；
（2）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）乙的平均数为（499+500+498+501+500+501+500+499+500+502）＝500（克），
因为甲、乙的平均数相同，乙的方差比甲小，
所以生产皮具情况比较好的是乙．
故答案为：乙；
（2）3000×＝1200（件），
答：估计甲每月生产出的合格产品约为1200件．
【点评】本题考查了中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点G，交BC于点F．
（1）求证：DF＝BG；
（2）若BG⊥DF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．版权所有
【分析】（1）由菱形的性质得出CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，结合CE＝CE，证明△BCE≌△DCE，得出∠CBE＝∠CDE，再证明△CBG≌△CDF，即可得出DF＝BG；
（2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，结合∠BAD＝60°，证明△ABD是等边三角形，继而得出BD＝2，OB＝OD＝1，OC＝，由直角三角形斜边上中线的性质得出OE＝OB＝OD＝1，即可求出CE的长度．
【解答】（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴DF＝BG；
（2）解：如图2，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝＝＝，
∵BG⊥DF，
∴OE＝OB＝OD＝1，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
22．（12分）已知点A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当a＝3时．
①求反比例函数表达式，并求出B点的坐标；
②当y＞6时，求x的取值范围；
（2）若一次函数y＝kx+b与x轴交于点（a，0），求k的值．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】（1）把已知条件代入点的坐标，再把已知点的坐标数据代入函数解析式，确定函数解析式，再求点中未知的坐标．根据函数图像以及已知条件列不等式求x的取值范围．
（2）把已知数据代入点和直线解析式，确定k的值即可．
【解答】解：（1）①a＝3时，点A（2，a）就是（2，3），
代入解析式得3＝，
解得k＝6，
反比例函数解析式为y＝，
把点B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，
解得b＝﹣3，
点B（﹣3，﹣2）；
②当y＞6时，由反比例函数图象可知是在第一象限部分，
∴＞6，
∴0＜x＜1；
（2）由已知a＝3，由（1）得b＝6，
点（a，0）就是（3，0），
一次函数y＝kx+b就是y＝kx+6，
把点（3，0）代入解析式得0＝3k+6，
解得k＝﹣2．
【点评】考查反比例函数的性质、图象以及函数解析式，关键要熟练掌握运用待定系数法求函数解析式，把点中已知坐标数据代入解析式求未知坐标．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，连结AE，DE．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝5，求AE的长；
（2）如图2，若点F是DC边上的一点，若CF＝BE，连结AF交DE于G，
①猜想∠EAF的度数，并说明理由；
②若DG＝DF，求的值．


【考点】四边形综合题．版权所有
【分析】（1）由矩形矩形的性质得CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，由角平分线的性质得出∠CDE＝∠ADE＝45°，则△CDE是等腰直角三角形，得出CE＝CD＝3，推出BE＝BC﹣CE＝2，由勾股定理得出AE＝；
（2）①连接EF，由（1）得CE＝CD＝AB，∠B＝∠C，由SAS证得△ABE≌△ECF，得出AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，证明△AEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到∠ADF＝90°，求得∠DAF+∠DFA＝90°，过D作DM⊥AF于M，根据余角的性质得到∠DAF＝∠FDM，得到AE＝AG，过A作AN⊥DE于N，根据等腰三角形的性质得到∠EAN＝∠GAN，根据全等三角形的性质得到AN＝AB，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2，
∴AE＝＝＝；
（2）∠EAF＝90°，
理由：连接EF，如图2所示：
由（1）得：CE＝CD＝AB，∠B＝∠C，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（SAS），
∴AE＝EF，∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEF+∠BEA＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠DFA＝90°，
过D作DM⊥AF于M，
∴∠DMF＝∠DMG＝90°，
∴∠FDM+∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝∠FDM，
∵DG＝DF，
∴∠MDG＝∠MDF，
由①知，∠FDG＝∠EAG＝45°，
∵∠AGE＝∠DGF
∴∠AEG＝∠DFG，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
过A作AN⊥DE于N，
∴∠EAN＝∠GAN，
∵∠ANG＝∠DNG＝90°，
∴∠EAN＝∠GAN＝∠MDG＝∠FDM＝∠DAF＝×45°＝22.5°，
∴∠BAE＝90°﹣3×22.5°＝22.5°，
∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠ABE＝∠ANE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ANE（ASA），
∴AN＝AB，
∵∠ADN＝45°，
∴AN＝AB，
∴AB＝AD，
由①知，△ABE≌△ECF，
∴AB＝CE＝AD＝BC，BE＝CF＝BC﹣CE＝（1﹣）BC，
∴＝＝﹣1．


【点评】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．