高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制复习练习题

5.1.2　弧度制

基础过关练

　题组一　弧度制

1.把-化成角度是(　　)

A.-960°　　　　　B.-480°　　　　　C.-120°　　　　D.-60°

2.(2022重庆期末)780°=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

3.(2021黑龙江大兴安岭实验中学期末)若α=-3 rad,则它是(　　)

A.第一象限角　B.第二象限角   C.第三象限角　　D.第四象限角

题组二　用弧度制表示终边相同的角

4.(2022湖北武汉开学考试)与角的终边相同的角的表达式中,正确的是(　　)

A.2kπ+45°,k∈Z　　　　　　B.k·360°+,k∈Z

C.2kπ+,k∈Z　　　　　　D.kπ+,k∈Z

5.已知角α与β的终边关于原点对称,则α与β的关系为(　　)

A.α+β=0　　　　　　B.α-β=π+2kπ(k∈Z)

C.α+β=2kπ(k∈Z)　　　　　　D.以上都不对

6.终边在x轴正半轴上的角α的集合为　　　　.(用弧度制表示) 

7.已知角α=1 200°.

(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;

(2)在区间[-4π,π]上找出与α终边相同的角.

题组三　扇形的弧长公式及面积公式的应用

8.(2020辽宁省实验中学期中)若扇形的圆心角为1 rad,半径为2,则该扇形的面积为(　　)

A.　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.4

9.(2022福建宁德期末)已知弧长为的弧所对的圆心角为,则该弧所在的扇形面积为(　　)

A.π　　　　　B.π　　　　　C.π　　　　　D.π

10.已知扇形的半径为2,面积为,则该扇形的圆心角为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

11.(2022河北邢台期末)已知一扇形的周长为28,则该扇形面积的最大值为(　　)

A.36　　　　　B.42　　　　　C.49　　　　　D.56

12.(2021江西景德镇一中期中)扇形的周长为10,面积为4,则半径r=　　　　. 

13.已知一扇形的圆心角为α=60°,所在圆的半径R为6 cm,求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.

能力提升练

题组一　弧度制及其应用

1.若-≤α<β≤,则,的取值范围分别是(　　)

A.,　　　　　　

B.,

C.,

D.,

2.(2022山东济南期末)军事上通常使用密位制来度量角度,将一个圆周分为6 000等份,每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位的角.已知我方迫击炮连在占领阵地后,测得敌人两地堡之间的距离是54米,两地堡到我方迫击炮阵地的距离均为1 800米,则我方炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后,为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡,需要立即将迫击炮转动的角度α=(　　)

注:(i)当扇形的圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等;(ii)取π等于3进行计算.

A.30密位　　　　　　B.60密位

C.90密位　　　　　　D.180密位

3.(2021江苏南通通州高级中学月考)图1是某小区的公园,它有一圆形跑道,跑道上有4个出口A、B、C、D(视为点),且将圆弧四等分(如图2).小明从A点出发,在圆形跑道上按逆时针方向做匀速圆周运动,假设他每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π),3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C、D点),15分钟时回到出发点A,求θ的值.

                                                     图1                   图2

题组二　扇形的弧长公式及面积公式的应用

4.(2021黑龙江大庆中学开学考试)《九章算术》是我国古代的数学著作,其中《方田》一章给出了计算弧田面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,弧长等于 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积是(　　)

A.m2　　　　　　B.m2

C.(4+2)m2　　　　　　D.(2+4)m2

5.(2022山东菏泽期末)中国折扇有着深厚的文化底蕴.如图所示,在半径为20 cm的半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环ABDC(图中阴影部分)制作折扇的扇面.记扇环ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当=时,扇形的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径为(　　)

A.10(-1)cm　　　　　　B.10(3-)cm

C.5(+1)cm　　　　　　D.(3+)cm

6.(2022四川眉山期末)古希腊雕刻家米隆的作品《掷铁饼者》刻画的是一名强健的男子在掷出铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现把掷铁饼者张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”,经测量“弓”长是,“弓”所在圆的半径为1.25米,则雕像两手掌心之间的距离约为(　　)

(参考数据:≈1.414,≈1.732)

A.2.945米　　　　　　B.2.043米

C.1.768米　　　　　　D.1.012米

7.(2022浙江金华第一中学期末)分别以等边三角形每个顶点为圆心,边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度为2π,则该勒洛三角形的面积是　　　　. 

8. 已知扇形的圆心角为α,半径为r.

(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;

(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.

9.如图,C为半圆O内一点,AB=2,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O按逆时针方向旋转至△B'OC',点C'在OA上,求边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积.

答案全解全析

基础过关练

1.B　-=-×180°=-480°,故选B.

2.D　因为1°=,所以780°=780×=.故选D.

3.C　因为-π<-3<-,所以-3 rad是第三象限角.故选C.

4.C　

5.B　

6.答案　{α|α=2kπ,k∈Z}

7.解析　(1)α=1 200°=1 200×==+3×2π,又<<π,所以角α与的终边相同,所以角α是第二象限角.

(2)由(1)可得与角α终边相同的角为2kπ+,k∈Z,

令-4π≤2kπ+≤π,得-≤k≤,

因为k∈Z,所以k=-2或k=-1或k=0.

故在区间[-4π,π]上与角α终边相同的角是-,-,.

8.C　S扇形=×1×22=2,故选C.

9.B　依题意,扇形的半径为=2,所以扇形面积为××2=.故选B.

10.C　根据扇形的面积公式S=αR2,可得=×α×22,解得α=.故选C.

11.C　设扇形的半径为R,弧长为l,由题意得2R+l=28,则扇形的面积S=lR=R(28-2R)=-R2+14R=-(R-7)2+49≤49,所以该扇形面积的最大值为49.故选C.

12.答案　4

解析　设扇形的弧长为l,则解得或当r=1时,圆心角θ==8>2π,不符合题意,舍去,所以r=4.

13.解析　设弧长为l,弓形面积为S,

则l=αR=×6=2π(cm),

∴扇形的周长为l+2R=(2π+12)cm,S=×2π×6-×6×6sin =(6π-9)cm2.

能力提升练

1.D　∵-≤α<β≤,∴-≤<,-<≤,两式相加可得-<<.∵-<≤,

∴-≤-<,则-≤<.又α<β,∴<0,∴-≤<0.故选D.

2.A　由题意得,1密位==弧度,因为圆心角小于200密位时,扇形的弦长和弧长近似相等,所以α== 弧度,因为÷=30,所以迫击炮转动的角度为30密位.

故选A.

3.信息提取　①每分钟转过的圆心角为θ弧度(0<θ<π);②15分钟时回到出发点A;③3分钟时第一次到达劣弧之间(不包括C、D点).

数学建模　利用条件“15分钟时回到出发点A”列出等式,利用“3分钟时第一次到达劣弧之间”列出不等式,解不等式得出结论.

解析　每分钟转过的圆心角为θ弧度,则15分钟转过的圆心角为15θ弧度,由题意得15θ=2kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z,

又小明3分钟时第一次到达劣弧之间,所以π<3θ<,即π<<,k∈Z,解得k=3,所以θ=.

4.D　设圆弧的半径为r m,则=r,解得r=4,

所以弦长为2rsin =2×4×=4(m),

矢为r-rcos =4-4×=2(m),所以弧田面积S=×(4×2+2×2)=(4+2)m2.故选D.

5.A　设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,

∵=,

∴=,即=,

∴===,

∴=,

∵r=20 cm,∴r1=10(-1)cm.

故选A.

6.C　“弓”长是,“弓”所在圆的半径为1.25米,所以其所对的圆心角α==,所以两手掌心之间的距离为2×1.25×sin ≈1.768(米),

故选C.

7.答案　18π-18

解析　由弧长公式可得·|AB|=2π,可得|AB|=6,所以由弧AB和线段AB所围成的弓形的面积为×6×2π-×62=6π-9,故该勒洛三角形的面积为3×(6π-9)+×62=18π-18.

8.解析　(1)由题意,可得2r+αr=C,则αr=C-2r,

则扇形的面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-+,

故当r=时,S取得最大值,此时α==2.

(2)由题意可得S=αr2,则αr=,

故扇形的周长C=2r+αr=2r+≥4,

当且仅当2r=,即r=时,等号成立,

故r=时,C取得最小值4,此时α==2.

9.解析　由题意可得OB=OA=1,OC=OC'=,BC=B'C'=,∠B'OC=∠B'OC'=,则扇形AOB'的面积为××12=,Rt△B'OC'的面积为××=,故题图中B'C'左边空白图形的面积S1=-,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=××+=+,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以边BC扫过区域的面积为-=.