第五章　三角函数 综合拔高练-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

这是一份第五章　三角函数 综合拔高练-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册，共19页。
综合拔高练五年高考练考点1　三角函数的概念与三角恒等变换1.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　)A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.2.(2021全国甲理,9)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　)A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.3.(2020全国Ⅱ理,2)若α为第四象限角,则(　　)A.cos 2α>0　　　　　　B.cos 2α<0C.sin 2α>0　　　　　　D.sin 2α<04.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的(　　)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2020全国Ⅲ文,5)已知sin θ+sin=1,则sin=(　　)A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.6.(2020全国Ⅲ理,9)已知2tan θ-tan=7,则tan θ=(　　)A.-2　　　　　B.-1　　　　　C.1　　　　　D.27.(2020江苏,8)已知sin2=,则sin 2α的值是　　　　. 8.(2020浙江,13)已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　,tan=　　　　. 考点2　三角函数的图象及其变换9.(2021全国乙理,7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)A.sin　　　　　　B.sinC.sin　　　　　　D.sin10.(2021浙江,7)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为下图的函数可能是(　　)A.y=f(x)+g(x)-     B.y=f(x)-g(x)-C.y=f(x)g(x)        D.y=11.(2020浙江,4)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是(　　)12.(2020天津,8)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f是f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是(　　)A.①　　　　　　B.①③C.②③　　　　　　D.①②③13.(2021全国甲理,16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件>0的最小正整数x为　　　　. 14.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　. 考点3　三角函数的性质及其应用15.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　)A.　　　　　　B.C.　　　　　　D.16.(2020全国Ⅲ理,16)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是　　　　. 17.(2020北京,14)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　. 18.(2021浙江,18)设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).(1)求函数y=的最小正周期;(2)求函数y=f(x)f 在上的最大值.   三年模拟练应用实践1.(2022内蒙古包头期末)一个扇形的弧长和面积的数值都是2,则这个扇形的圆心角的弧度数为(　　)A.　　　　　B.1　　　　　C.　　　　　D.22.(2022广东韶关田家炳中学期末)若sin x+cos x=,x∈(0,π),则sin x-cos x的值为(　　)A.±　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.3.(多选)(2022广东名校联盟期末)已知=3,-<α<,则(　　)A.tan α=2B.sin α-cos α=-C.sin4α-cos4α=D.=4.(2022安徽名校联考)函数f(x)=的图象大致为(　　)5.(2020辽宁营口二中期末)函数y=locos的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)6.(2022吉林双辽一中期末)函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象关于x轴对称,则ω的最小值是(　　)A.1　　　　　　B.2C.4　　　　　　D.127.(2020湖南衡阳八中月考)设函数f(x)=sin,x∈,若方程f(x)=a恰好有三个实根x1,x2,x3(x1<x2<x3),则2x1+3x2+x3=(　　)A.π　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.8.(2021浙江杭州高级中学期末)函数y=cos x-sin2x-cos 2x+的值域为　　　　;函数f(x)=的值域为　　　　. 9.(2020天津津南月考)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  10.(2022四川凉山州期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,A是函数f(x)图象上的一个最低点,B是函数f(x)图象与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈时,求函数f(x)的值域. 11.(2022山西吕梁期末)已知函数f(x)=cos2-sin xcos x+m在上的最小值为.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)当x∈R时,求f(x)的最大值以及此时x的取值集合.     12.(2022山西运城期末)已知函数f(x)=1-2cos2-cos 2x.(1)方程f(x)=m在上有且只有一个解,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数n满足对任意x1∈,都存在x2∈R,使+nx1+4>f(x2)成立?若存在,求出n的取值范围;若不存在,请说明理由.     迁移创新13.(2020北京人大附中期中)如图1所示,一条直角走廊宽为a(a>0) m,位于水平地面上的一根铁棒EF在此直角走廊内.(1)若∠PEF=θ,试求铁棒的长l;(2)若铁棒EF能水平地通过此直角走廊,求此铁棒的最大长度;(3)现有一辆转动灵活的矩形平板车ABCD,它的宽AD为b(0<b<a)m,如图2.若平板车能顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?       图1                    图2 综合拔高练五年高考练1.C　解法一:===sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ====.故选C.解法二:因为tan θ==-2,所以sin θ=-2cos θ,所以====.故选C.2.A　∵tan 2α=,∴=,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,∵α∈,∴cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A.3.D　∵α是第四象限角,∴-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可为零.故选D.4.C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)·π-β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+β)=sin β.由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立.故选C.5.B　∵sin θ+sin=sin θ+sin θcos+cos θ·sin=sin θ+sin θ+cos θ=sin θ+cos θ=sin θ+cos θ=sin=1,∴sin==,故选B.6.D　2tan θ-tan=2tan θ-=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,∴tan θ=2.故选D.7.答案　解析　∵sin2===,∴sin 2α=.8.答案　-;解析　因为tan θ=2,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ====-,tan===.9.B　将函数y=sin的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin=sin的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin.故选B.10.D　由题图可知函数为奇函数且在上先增后减.A选项,y=x2+sin x,B选项,y=x2-sin x均不符合奇函数这条性质,故排除;C选项,y=·sin x,显然f(x),g(x)均在上单调递增,且f(x)>0,g(x)>0,故y=sin x在上单调递增,故排除.故选D.11.A　设f(x)=xcos x+sin x,易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcos π+sin π=-π,所以排除B,故选A.12.B　函数f(x)=sin的最小正周期T==2π,①正确;易知f=sin=1,f=sin=sin=<1,故②错误;把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的是函数y=sin的图象,③正确.综上,①③正确,②错误.故选B.13.答案　2解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则T=-=,解得T=π,则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).将代入上式,结合题图得+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,∴f(x)=2cos,∴f=2cos=2cos=1,f=2cos=2cos=0,∴不等式可化为[f(x)-1]f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.由f(x)>1,得2cos>1,即cos>,①由f(x)<0,得cos<0,②由①得-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,<x<;由②得+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,解得+kπ<x<+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,<x<.综上,最小正整数x为2.14.答案　x=-π解析　将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin2+=3sin.令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-π,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=-π.15.A　令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,令k=0,得-≤x≤.故选A.16.答案　②③解析　要使函数f(x)=sin x+有意义,则有sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.又∵f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-=-f(x),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于原点对称,∴①是假命题,②是真命题.对于③,要证f(x)的图象关于直线x=对称,只需证f=f.∵f=sin+=cos x+,f=sin+=cos x+,∴f=f,∴③是真命题.令sin x=t,-1≤t≤1且t≠0,∴g(t)=t+,-1≤t≤1且t≠0,此函数图象如图所示,∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题.综上所述,所有真命题的序号是②③.17.答案　(答案不唯一)解析　∵f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,∴cos x=1,解得x=2kπ,k∈Z,且sin(x+φ)=sin(2kπ+φ)=sin φ=1,∴φ=+2nπ,n∈Z,∴可取φ=.18.解析　(1)由已知得y==(cos x-sin x)2=1-sin 2x,故所求的最小正周期T=π.(2)y=f(x)f =(sin x+cos x)sin x=sin+,因为x∈,所以当x=时,函数y=f(x)·f取得最大值1+.三年模拟练1.B　设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,则解得故选B.2.D　因为sin x+cos x=,所以(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,所以sin xcos x=-.又x∈(0,π),所以sin x>0,cos x<0,所以sin x-cos x>0,所以sin x-cos x==.故选D.3.ACD　因为=3,所以=3,解得tan α=2,故A正确;因为-<α<,tan α>0,所以0<α<,所以sin α=,cos α=,所以sin α-cos α=,故B错误;sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)===,故C正确;==,故D正确.故选ACD.4.A　因为f(-x)=-f(x), f(x)的定义域为R,所以f(x)是奇函数,排除C,D.当0<x<时, f(x)>0,排除B.故选A.5.B　y=locos=lo(-sin 2x).由-sin 2x>0得sin 2x<0,所以2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,即kπ-<x<kπ,k∈Z,故函数的定义域为.设t=-sin 2x,则y=lot,易知y=lot为减函数,所以求y=locos-2x的单调递增区间,即求t=-sin 2x的单调递减区间,即求y=sin 2x的单调递增区间.令2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.结合函数的定义域可得y=locos的单调递增区间是(k∈Z).故选B.6.C　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,将其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y=2sin=2sinωx-+.函数f(x)的图象关于x轴对称后的图象对应的函数解析式为y=-2sin.所以2sin=-2sin,所以-=(2k+1)π,k∈Z,即ω=-4(2k+1),k∈Z,又ω>0,所以当k=-1时,ω取得最小值4.故选C.7.D　∵x∈,∴2x+∈.令2x+=,得x=,∴x1,x2关于直线x=对称,∴x1+x2=2×=.令2x+=,得x=,∴x2,x3关于直线x=对称,∴x2+x3=2×=.∴2x1+3x2+x3=2(x1+x2)+(x2+x3)=2×+=.故选D.8.答案　;解析　y=cos x-sin2x-cos 2x+=cos x-1+cos2x-2cos2x+1+=-cos2x+cos x+=-+2.∵-1≤cos x≤1,∴ymax=2,ymin=-,因此其值域为.f(x)===-1.∵-1≤sin x≤1,∴1≤sin x+2≤3,∴≤≤1,∴≤≤5,∴≤-1≤4,故其值域为.9.答案　解析　∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,∴f为f(x)的最大值,∴ω-=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z),∵ω>0,∴当k=0时,ω取最小值.10.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T,由题图知T=-=,解得T=π,所以ω===2,所以f(x)=sin(2x+φ).因为A是函数f(x)图象上的一个最低点,所以2×+φ=-+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),又0<φ<,所以φ=.所以f(x)=sin.(2)因为0<x<,所以<2x+<,所以-<sin≤1,所以函数f(x)在区间上的值域为.11.解析　(1)f(x)=cos2-sin xcos x+m=cos-sin 2x++m=cos 2x-sin 2x++m=cos++m.令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)当x∈时,2x+∈,所以 f(x)min=×++m=,解得m=,因此, f(x)=cos+1.所以f(x)的最大值为+1=.令2x+=2kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,所以f(x)取得最大值时,x的取值集合为.12.解析　f(x)=1-2cos2-cos 2x=-cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin.(1)方程f(x)=m在上有且只有一个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在上只有一个交点.∵x∈,∴-≤2x-≤.令2x-=t,则y=2sin t,t∈,其图象如图,由图可知,-≤m<或m=2.(2)易知f(x)min=-2.假设存在满足题意的实数n,则对任意x1∈,都存在x2∈R,使+nx1+4>f(x2)成立,即+nx1+6>0在x1∈上恒成立.令g(t)=t2+nt+6,t∈,①当-≤-,即n≥3时,g(t)min=g=->0,∴3≤n<;②当-<-<,即-3<n<3时,g(t)min=g=6->0,∴-3<n<3;③当≤-,即n≤-3时,g(t)min=g=+>0,∴-<n≤-3.综上,存在满足题意的实数n,n的取值范围是.13.解析　(1)如图1,过点O作PE,PF的垂线,垂足分别为G,H,则OG=OH=a,∠FOH=θ.图1在Rt△OEG中,OE=,在Rt△OHF中,OF=,则l=OE+OF=+=,θ∈.故铁棒的长l为 m.(2)由(1)可知l=,θ∈.令t=sin θ+cos θ=sin,则t∈(1,],sin θcos θ=.故l===.易知当t∈(1,]时,函数y=t-单调递增,所以l=单调递减,则t=,即θ=时,lmin==2a.故若铁棒EF能水平地通过此直角走廊,则此铁棒的最大长度为2a m.(3)如图2,延长CD交直线PA于点N,延长DC交直线PB于点M,设∠PNM=β,则β∈,∠PMN=-β,图2则MN=+.在Rt△ADN中,DN=,在Rt△BCM中,CM=btan β,则AB=CD=MN-DN-CM=+--btan β=-b=-b·=-.令d=sin β+cos β=sin,则d∈(1,],sin βcos β=,即AB===+,d∈(1,].当d∈(1,]时,y=+单调递减,则d=,即β=时,ABmin=+=2a-2b.故若平板车能顺利通过直角走廊,其长度不能超过(2a-2b)m.