第一章　集合与常用逻辑用语-易错点习题--2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略集合中元素的意义

1.方程组的解构成的集合是(　　)

A.{x=2,y=3}　　　　　　B.{2,3}

C.{(2,3)}　　　　　　D.(2,3)

2.(2022北京十一学校期中)设集合A={x∈N*|0≤x<6},B={x|x≤1},则∁A∪B(A∩B)=　　　　　　　　. 

3.(2022北京房山期中)如果非空数集A满足0∉A,且∀x∈A,有∈A,那么称A是互倒集.给出以下数集:

①{x∈R|x2+ax+1=0};②{x|x2-6x+1≤0};③yy=,1≤x≤4.

其中是互倒集的是　　　　.(填序号) 

易错点2　忽略集合中元素的互异性

4.(2022山西太原期中)已知集合M={1,4,2x},N={1,x2},若N⊆M,则实数x=(　　)

A.-2或2　　　　　　B.0或2

C.-2或0　　　　　　D.-2或0或2

5.已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},求A∪B.

易错点3　忽略对空集情况的讨论

7.(多选)(2022安徽滁州期中)已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx-1=0},B⊆A,则实数m的值可能为(　　)

A.　　　　　B.-1　　　　　C.-　　　　　D.0

8.(2020山东淄博第一中学期中)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若A∩B=B,求实数a的取值范围.

易错点4　忽略对端点值的取舍导致解题错误

9.已知A,B是两个集合,定义A-B={x|x∈A,x∉B},若A={x|-1<x<4},B={x|x>2},则A-B=　　　　. 

10.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

易错点5　忽略条件与结论的区分导致充分性或者必要性的判断错误

11.命题“∃x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件是 (　　)

A.0≤m≤3　　　　　　B.1≤m≤2

C.1≤m≤3　　　　　　D.-1<m<4

12.(2021天津实验中学月考)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)

A.a<0　　　　　　B.a>0         C.a<-1　　　　　　D.a>1

思想方法练

一、补集思想在集合问题中的应用

1.已知集合A={x|x2-4x+6-2a=0},B={x|x<0},若A∩B≠⌀,求实数a 的取值范围.

二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用

2.(多选)(2022江苏张家港期中)若集合M={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},N={x|(x-1)·(x-4)=0},则(　　)

A.M∪N={1,3,4,a}

B.M∩N可能为{1},{4}

C.M与N的子集个数相同

D.M∩N=⌀是M∪N={1,3,4,a}的必要不充分条件

3.(2022河北张家口期中)若集合{x|ax2+x+2=0}中有且只有一个元素,则实数a的取值集合为　　　　　. 

4.(2022河南南阳一中月考)已知p:x<-3或x>1,q:x<3m+1或x>m+2.若p是q的充分不必要条件,求m的取值范围.

三、数形结合思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用

5.(2021福建仙游第一中学月考)某校高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学、生物中单独选物理、化学中一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为(　　)

A.16　　　　　B.17　　　　　C.18　　　　　D.19

6.设p:x≤3a或x≥a(a<0),q:-4≤x<-2,且q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　. 

四、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用

7.(多选)(2021浙江台州六校期中联考)命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题的充分条件可以是(　　)

A.a≤4　　　　　　B.a≥4

C.a≤5　　　　　　D.a≥5

8.(2022浙江嘉兴期中)已知集合A={x|m-2<x<m+1},B={x|0<x<5}.

(1)若m=1,求A∩B;

(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.C　解方程组得

∴方程组的解构成的集合为{(2,3)}.

故选C.

易错警示　本题容易因不能正确理解集合中元素的意义而错选A.

2.答案　{x|x<1}∪{2,3,4,5}

解析　依题意得A={1,2,3,4,5},

因此A∪B={x|x≤1}∪{2,3,4,5},A∩B={1},

所以∁A∪B(A∩B)={x|x<1}∪{2,3,4,5}.

易错警示　全集是人为定义的,本题中全集是A∪B,而不是R,解题时要防止忽视全集中元素的意义导致解题错误.

3.答案　②③

解析　对于①,当a=1时,{x∈R|x2+x+1=0}=⌀,故①不是互倒集.

对于②,∵Δ=36-4=32>0,∴{x|x2-6x+1≤0}是非空数集.

易知0∉{x|x2-6x+1≤0}.

若x1∈{x|x2-6x+1≤0},即-6x1+1≤0,

则-6·+1=≤0,

故∈{x|x2-6x+1≤0},故②是互倒集.

对于③,=,

若≤y1≤2,则≤≤2,故③是互倒集.

故答案为②③.

4.C　由N⊆M,可得x2=4或x2=2x.

①当x2=4时,x=±2.若x=2,则2x=4,M不满足集合中元素的互异性,舍去;

若x=-2,则M={1,4,-4},N={1,4},满足题意.

②当x2=2x时,x=0或x=2.

由①知x≠2,当x=0时,M={1,4,0},N={1,0},满足题意.

综上,x=-2或x=0.故选C.

5.答案　{a|-1≤a≤1且a≠0}

解析　由P∪M=P得M⊆P,所以-a∈P,a∈P,即-1≤-a≤1,且-1≤a≤1,解得-1≤a≤1,又因为-a≠a,所以a≠0.故实数a的取值范围为{a|-1≤a≤1且a≠0}.

 6.解析　由A∩B={25}得25∈A,

所以(x-1)2=25或7x-3=25,

解得x=6或x=-4或x=4.

当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,舍去;

当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11};

当x=4时,6x+1=25,B不满足集合中元素的互异性,舍去.

综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}.

易错警示　对于用列举法表示的含参的数集,当知道该数集中含有某元素时,要分各种可能情况对应求参数,且求得的数值一定要代入验证是否满足集合中元素的互异性.

7.ABD　易得A={x|x2-x-2=0}={-1,2}.

当B=⌀时,方程mx-1=0无解,则m=0,满足B⊆A;

当B≠⌀时,m≠0,则方程mx-1=0的解为x=,

因为B⊆A,所以=-1或=2,解得m=-1或m=.故选ABD.

易错警示　由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此涉及含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集问题时,要注意含参数的集合是空集的特殊情况.

8.解析　集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.

由A∩B=B,得B⊆A.

当B=⌀时,Δ=a2-4(a+3)<0,即-2<a<6,满足B⊆A.

当B≠⌀时,由B⊆A,得B={-2}或B={1}或B={-2,1}.

若B={-2},则

即无解,舍去;

若B={1},则

即所以a=-2;

若B={-2,1},则

即无解,舍去.

综上,实数a的取值范围为{a|-2≤a<6}.

9.答案　{x|-1<x≤2}

解析　∵A-B={x|x∈A,x∉B},A={x|-1<x<4},B={x|x>2},

∴A-B={x|-1<x≤2}.

10.答案　{a|a<-8或a≥3}

解析　易知a+3>a+1,所以B≠⌀,利用数轴表示B⊆A,如图所示,

或

则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3.

所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.

易错警示　解决此类问题时,借助数轴较为直观,要注意检验端点值能否取到.

11.D　因为命题“∃x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题,

所以m2-3m≤(-x2)max,-1≤x≤,

则m2-3m≤0,解得0≤m≤3.

要求命题“∃x∈{x|-1≤x≤},x2+m2-3m≤0”是真命题的一个必要不充分条件,

设满足题意的m的取值集合为M,则{m|0≤m≤3}⫋M,结合选项可知选D.

12.C　∵一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根,

∴解得a<0.

故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a<0}的真子集,结合选项可知选C.

易错警示　解决与充分条件、必要条件有关的问题时,如果不能正确区分谁是条件,谁是结论,那么就会将子集关系倒置,从而出现错误.

思想方法练

1.解析　先考虑A∩B=⌀的情况,再取补集.

假设A∩B=⌀,分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论:

①A=⌀时,Δ=16-4(6-2a)=8a-8<0,解得a<1;

②A≠⌀时,方程x2-4x+6-2a=0的两根都非负,设方程的两根为x1,x2,

则解得1≤a≤3.

综上所述,当A∩B=⌀时,a≤3.

所以若A∩B≠⌀,则a>3,

即实数a的取值范围是{a|a>3}.

思想方法　有些集合问题从正面处理较难:一是解题思路不明朗,二是需要考虑的因素太多,要分多种情况讨论,运算量大,且讨论不全又容易出错.若用补集思想先考虑其反面,求出取值范围,再求其补集得到要求的取值范围,可化繁为简.

2.BD　易得N={x|(x-1)(x-4)=0}={1,4}.

集合M中含有参数a,对a的值与集合M中的已知元素以及集合N中的元素是否相等进行分类讨论.

当a=3时,M={3},

当a≠3时,M={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R}={3,a},由此可得选项A、C错误;

当a=1时,M∩N={1},当a=4时,M∩N={4},故选项B正确;

当M∪N={1,3,4,a}时,a≠1且a≠3且a≠4,则M∩N=⌀,

当a=3时,M∩N=⌀,M∪N={1,3,4},故选项D正确.

故选BD.

3.答案　

解析　当a=0时,集合{x|x+2=0}={-2},满足题意;

当a≠0时,若集合中只有一个元素,则一元二次方程的判别式Δ=1-8a=0,得a=.

故实数a的取值集合为.

4.解析　设A={x|x<-3或x>1},B={x|x<3m+1或x>m+2},

若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集.

对集合B是不是R进行讨论.

①当3m+1>m+2,即m>时,B=R,满足题意.

②当3m+1≤m+2,即m≤时,若A是B的真子集,则且等号不同时成立,解得-≤m≤-1.

综上所述,实数m的取值范围是m-≤m≤-1或m>.

思想方法　分类讨论的关键是确定逻辑划分的标准,通过对问题的分类依次求解(或证明),综合各类结论,进而得到问题的结论.在本章中主要是由元素、集合的特征和元素与集合、集合与集合之间的关系引起的讨论.

5.C　把50名学生看成一个集合U,

选择物理课程的人组成集合A,

选择化学课程的人组成集合B,

选择生物课程的人组成集合C,

将选择不同科目的学生视为不同的集合,作出相应的Venn图,使用数形结合思想求解.

要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,

则其他几个选择的人数均为最少,

故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,作出如下Venn图,

所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18.

故选C.

6.答案　

解析　记A={x|x≤3a或x≥a(a<0)},B={x|-4≤x<-2},则“q是p的充分不必要条件”等价于“B是A的真子集”,利用数轴表示B⫋A,如图所示,

或

利用数轴直观表示集合间的关系,从而确定参数满足的条件.

则或

解得a≤-4或-≤a<0,

所以实数a的取值范围为a-≤a<0或a≤-4.

思想方法　数形结合包括两种情形:第一种情形是“以数解形”,第二种情形是“以形助数”.求解与集合有关的问题时,常常借助数轴和Venn图,从而使问题直观、形象,使运算快捷明了.

7.BD　命题“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≤0”为真命题,即当1≤x≤2时,a≥x2恒成立,可转化为a≥(x2)max,

∵1≤x≤2,∴1≤x2≤4,因此(x2)max =4,故a≥4.

∵a≥4⇒a≥4,a≥5⇒a≥4,∴B、D正确.

方法点拨　不等式恒成立问题通常可以转化为函数的最大(小)值问题,y>a恒成立等价于ymin>a,y<a恒成立等价于ymax<a.

8.解析　(1)由m=1,可得A={x|-1<x<2},又B={x|0<x<5},所以A∩B={x|0<x<2}.

(2)若A∩B=A,则A⊆B,

易知A≠⌀,所以即2≤m≤4,

故实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.

思想方法　转化与化归思想在本章主要体现在集合的运算性质与集合之间关系的转化,充分条件、必要条件与集合间关系的转化,命题的真假与相关知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.