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四川省遂宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
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这是一份四川省遂宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共52页。试卷主要包含了﹣1+，0﹣，2÷，其中a＝4，都是“黎点”等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
2．（2021•遂宁）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．
3．（2020•遂宁）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
5．（2021•遂宁）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
6．（2020•遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
三．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
四．一次函数综合题（共1小题）
8．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
11．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，连接CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
七．反比例函数综合题（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
九．二次函数的应用（共2小题）
14．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
15．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
一十．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
17．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
18．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
一十三．矩形的判定（共1小题）
21．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
23．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC＝，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
26．（2020•遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
29．（2021•遂宁）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
（1）根据以上信息可知：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
30．（2020•遂宁）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
【解答】解：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+
＝+1﹣+1﹣3+4
＝3．
2．（2021•遂宁）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．
【解答】解：原式＝﹣2+﹣（2﹣）+1﹣2
＝﹣2+﹣2++1﹣2
＝﹣3．
3．（2020•遂宁）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝2﹣2×﹣（﹣1）+4﹣1
＝2﹣1﹣+1+4﹣1
＝+3．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当a＝4时，
原式＝．
5．（2021•遂宁）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
【解答】解：原式＝÷[+]
＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3﹣2＜m＜3+2，即1＜m＜5，
∵m为整数，
∴m＝2、3、4，
由分式有意义的条件可知：m≠0、2、3，
∴m＝4，
∴原式＝．
6．（2020•遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣（x+2）]•
＝（﹣）•
＝•
＝﹣•
＝﹣（x﹣3）
＝﹣x+3，
∵x≠±2，
∴可取x＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
三．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
四．一次函数综合题（共1小题）
8．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x+9可变形为x﹣y+9＝0，则其中A＝，B＝﹣1，C＝9，
由公式得，点M（0，3）到直线y＝x+9的距离，
∴点M到直线y＝x+9的距离为3；
（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，
∵圆的半径r＝4，
∴d＜r，
∴直线y＝x+9与⊙M相交，两交点记作E，F，
连接EM，过点M作MH⊥EF于H，
则EF＝2EH，
在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得，EH＝＝＝，
∴弦长n＝EF＝2EH＝2．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【解答】解：（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．
11．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，连接CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y＝（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y＝，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解得或，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE＝＝3，DB＝＝，
∴CN＝BD＝，
∴S△DEC＝DE•CN＝×＝．
七．反比例函数综合题（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），
∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，
∴y1＝x+1；
（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，﹣5）；
（3）如图，设y2与y3的图象交于C，D两点，
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x+1，
∴y3＝x﹣1，
联立，解得或，
∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），
∵y1＞y2＞y3，
∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
九．二次函数的应用（共2小题）
14．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
15．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当a＝5时，w的最大值为265，当a＝11时，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
一十．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴对称，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线CB上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
17．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．
（2）如图1中，
∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．
（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN∥E′F′交直线y＝1于点N，
由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣1的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
18．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
一十三．矩形的判定（共1小题）
21．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，
∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，
∵BD为⊙O的直径，CK＝，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
23．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC＝，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴＝．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC＝sin∠ACG＝＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝26，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴＝2，
∴a＝2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴＝1.2②，
由①②得a＝47，b＝23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
26．（2020•遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝，
∴EM＝＝≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
【解答】解：（1）设AD与BC交于点F，
由题意得BE∥AD，
∵BE∥AD且∠EBF＝60°，
∴∠BFA＝∠EBF＝60°，
∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠BGD＝90°，
在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，
AG＝BG＝20×sin45°＝（米），
在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，
∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），
∵∠C＝∠CAD＝30°，
∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），
∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，
答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝＝．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
29．（2021•遂宁）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
（1）根据以上信息可知：a＝ 50 ，b＝ 20 ，m＝ 0.2 ，n＝ 0.08 ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 400 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
【解答】解：（1）a＝16÷0.32＝50，b＝50﹣（10+16+4）＝20，m＝10÷50＝0.2，n＝4÷50＝0.08，
故答案为：50、20、0.2、0.08；
（2）补全条形图如下：
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有1000×＝400（人），
故答案为：400；
（4）记4名学生中3名男生分别为A1，A2，A3，一名女生为B，列表如下：
A1
A2
A3
B
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，B）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，B）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，B）
B
（B，A1）
（B，A2）
（B，A3）
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：A1A2、A1A3、A2A1、A2A3、A3A1、A3A2共6种等可能结果，
∴P（抽到两名学生均为男生）＝＝，
抽到一男一女包含：A1B、A2B、 A3B、BA1、BA2、 BA3共六种等可能结果，
∴P（抽到一男一女）＝＝，
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
30．（2020•遂宁）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝＝．
四川省遂宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
2．（2021•遂宁）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．
3．（2020•遂宁）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
5．（2021•遂宁）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
6．（2020•遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
三．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
四．一次函数综合题（共1小题）
8．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
11．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，连接CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
七．反比例函数综合题（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
九．二次函数的应用（共2小题）
14．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
15．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
一十．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
17．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
18．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
一十三．矩形的判定（共1小题）
21．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
23．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC＝，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
26．（2020•遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
29．（2021•遂宁）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
（1）根据以上信息可知：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
30．（2020•遂宁）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+．
【解答】解：tan30°+|1﹣|+（π﹣）0﹣（）﹣1+
＝+1﹣+1﹣3+4
＝3．
2．（2021•遂宁）计算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．
【解答】解：原式＝﹣2+﹣（2﹣）+1﹣2
＝﹣2+﹣2++1﹣2
＝﹣3．
3．（2020•遂宁）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．
【解答】解：原式＝2﹣2×﹣（﹣1）+4﹣1
＝2﹣1﹣+1+4﹣1
＝+3．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•遂宁）先化简，再求值：（1﹣）2÷，其中a＝4．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
当a＝4时，
原式＝．
5．（2021•遂宁）先化简，再求值：÷（+m+3），其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
【解答】解：原式＝÷[+]
＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3﹣2＜m＜3+2，即1＜m＜5，
∵m为整数，
∴m＝2、3、4，
由分式有意义的条件可知：m≠0、2、3，
∴m＝4，
∴原式＝．
6．（2020•遂宁）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣（x+2）]•
＝（﹣）•
＝•
＝﹣•
＝﹣（x﹣3）
＝﹣x+3，
∵x≠±2，
∴可取x＝1，
则原式＝﹣1+3＝2．
三．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
四．一次函数综合题（共1小题）
8．（2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C＝0的距离d可用公式d＝来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离，因为直线y＝2x+1可化为2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x+1的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线y＝x+9的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线y＝x+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x+9可变形为x﹣y+9＝0，则其中A＝，B＝﹣1，C＝9，
由公式得，点M（0，3）到直线y＝x+9的距离，
∴点M到直线y＝x+9的距离为3；
（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，
∵圆的半径r＝4，
∴d＜r，
∴直线y＝x+9与⊙M相交，两交点记作E，F，
连接EM，过点M作MH⊥EF于H，
则EF＝2EH，
在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根据勾股定理得，EH＝＝＝，
∴弦长n＝EF＝2EH＝2．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【解答】解：（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•遂宁）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上，
∴y2＝＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如右图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝＝2，
即△ACD的面积是2．
11．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，连接CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y＝（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y＝，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解得或，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE＝＝3，DB＝＝，
∴CN＝BD＝，
∴S△DEC＝DE•CN＝×＝．
七．反比例函数综合题（共1小题）
12．（2021•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于
点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值y1＞y2＞y3时，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），
∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，
∴y1＝x+1；
（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，﹣5）；
（3）如图，设y2与y3的图象交于C，D两点，
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x+1，
∴y3＝x﹣1，
联立，解得或，
∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），
∵y1＞y2＞y3，
∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
13．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
九．二次函数的应用（共2小题）
14．（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
15．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，解得，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗a盆，则购买A花苗为（12﹣a）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣a）+（30﹣a）a＝﹣a2+10a+240（0＜a＜12，且a取整数），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当a＝5时，w的最大值为265，当a＝11时，w的最小值为229，
故本次购买至少准备229元，最多准备265元．
一十．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴对称，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线CB上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
17．（2021•遂宁）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式和m的值；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵直线y＝﹣2x+m经过点A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．
（2）如图1中，
∵直线AF的解析式为y＝﹣2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D（0，2），
由，解得即点A，或，
∴E（﹣5，12），
过点E作EP⊥y轴于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
过点E作EP′⊥DE交y轴于P′，
同法可证，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，14.5）．
（3）∵E，F为定点，
∴线段EF的长为定值，
∴当EM+FN的和最小时，四边形MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y＝1，将点F向左平移2个单位得到F′，
作点E关于直线y＝1的对称点E′，连接E′F′与直线y＝1交于点M，过点F作FN∥E′F′交直线y＝1于点N，
由作图可知，EM＝E′M，FN＝F′M，
∵E′，M，F′三点共线，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此时EM+FN的值最小，
∵点F为直线y＝﹣2x+2与x＝﹣1的交点，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如图，延长FF′交线段EE′于W，
∵FF′∥直线y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四边形MEFN的周长的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
18．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6），
∴S△ABD＝×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，
∴×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：△AOE≌△DFE；
（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）．
（2）解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形．
一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
一十三．矩形的判定（共1小题）
21．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等边三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，
∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，
∵BD为⊙O的直径，CK＝，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE•tan60°＝＝3，
②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴当CE最大时，CF取得最大值，
∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．
23．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连接BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC＝，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【解答】（1）证明：连接OE，OP，
∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，
∴PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，
∴AB垂直平分EP，
∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB，
∴△BEO≌△BPO（SSS），
∴∠BEO＝∠BPO，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴＝．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC＝sin∠ACG＝＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即点O到AD的距离是．
一十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，
∴FB＝PH，FH＝PB，
由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝26，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
设EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴＝2，
∴a＝2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴＝1.2②，
由①②得a＝47，b＝23.5，
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
26．（2020•遂宁）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，
∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，
在Rt△AEM中，
∵tan∠AEM＝，
∴EM＝＝≈16.9，
在Rt△AFN中，
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，
答：2号楼的高度约为45.8米．
一十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
【解答】解：（1）设AD与BC交于点F，
由题意得BE∥AD，
∵BE∥AD且∠EBF＝60°，
∴∠BFA＝∠EBF＝60°，
∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠BGD＝90°，
在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，
AG＝BG＝20×sin45°＝（米），
在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，
∴BF＝＝＝（米），FG＝＝＝（米），
∵∠C＝∠CAD＝30°，
∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），
∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，
答：两棵银杏树B、C之间的距离为（10+10）米．
一十八．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%＝100（人），
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），
故答案为：100，800；
（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），
∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人），
补全条形统计图如下：
（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果，
∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝＝．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．
29．（2021•遂宁）我市于2021年5月22﹣23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
（1）根据以上信息可知：a＝ 50 ，b＝ 20 ，m＝ 0.2 ，n＝ 0.08 ；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 400 人；
（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
【解答】解：（1）a＝16÷0.32＝50，b＝50﹣（10+16+4）＝20，m＝10÷50＝0.2，n＝4÷50＝0.08，
故答案为：50、20、0.2、0.08；
（2）补全条形图如下：
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有1000×＝400（人），
故答案为：400；
（4）记4名学生中3名男生分别为A1，A2，A3，一名女生为B，列表如下：
A1
A2
A3
B
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，B）
A2
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，B）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，B）
B
（B，A1）
（B，A2）
（B，A3）
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：A1A2、A1A3、A2A1、A2A3、A3A1、A3A2共6种等可能结果，
∴P（抽到两名学生均为男生）＝＝，
抽到一男一女包含：A1B、A2B、 A3B、BA1、BA2、 BA3共六种等可能结果，
∴P（抽到一男一女）＝＝，
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
30．（2020•遂宁）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），
所以本次参加抽样调查的居民有600人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），
喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），
所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×＝72°；
补全条形统计图为：
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝＝．
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