初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试课后练习题

浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图所示是一台球桌面的示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在图示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若三角形的三边，，满足，则的形状是．(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形

4. 如图，中，，为中点，延长交于，为上一点，且于，下列判断，其中正确的个数是(    )
   是中边上的中线；
   既是中的角平分线，也是中的角平分线；
   既是中边上的高线，也是中边上的高线．

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，是中点，，垂足为，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，，于点，若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图所示，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，，则有以下说法：点在线段的垂直平分线上点在线段的垂直平分线上是线段的垂直平分线是线段的垂直平分线其中正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 把与放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 以下列长度单位：为三边，能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

11. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(    )

A. 一个锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等
C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等

12. 如图，已知，有四个可添加的条件：；；；能使的条件有(    )
     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在与中，已知，请你添加一个条件不添加字母和辅助线，使，你添加的条件是          ．

14. 在的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影如图所示，如果再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形为轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有__________个．

15. 如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为________．

16. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_____________________________________________

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，在方格纸中，画出关于直线对称的图形；
    在对称轴上求一点，使得最短．

18. 如图，中，，、、分别是的高、中线、角平分线．求证：．

19. 在等腰三角形中，，是边上的中线，的平分线交于点，交于点，，垂足为求证：．

20. 如图，在中，，是的角平分线，过点作于于点，．
    试说明≌；
    求的度数．

21. 已知：如图，直线、、被直线所截，，求证：；
    你在的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
22. 在中，，是的中点．
    求证：．

23. 如图，中，，长为，点是上的一点，，．
    求证：；
    求线段的长．

24. 如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量，点、在异侧，，，测得．
    
    求证：≌； 
    若，，求的长度．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】
解：直线是四边形的对称轴，
点与点对应，
，，，
点时直线上的点，
，，
，，D正确，B错误，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质作图即可判断．
【解答】
解：桌球反弹的路线如图所示：

故最后进入球洞．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据题意三角形的三边，，满足，又三边均为非负数，故有，，中至少有一个成立，即可得出三角形一定为等腰三角形．
【解答】
解：，
，，至少有一个成立，
该三角形一定是等腰三角形。
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：为中点，所以是边上的中线，故正确；
因为，所以是中的角平分线，是中的角平分线，故错误；
因为于，所以既是中边上的高线，也是中边上的高线，故正确．
故选：．
根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
，
，
，
，
故选：．
首先根据三角形的三线合一的性质得到平分，然后求得其一半的度数，从而求得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质、掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：在中，，于点，

．

，，

，．

的周长为．
故选A．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由，，可得，再由，可得．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定方法进行逐一判断即可得出答案．
【解答】
解：，
点在线段的垂直平分线上，故正确；
，点在线段的垂直平分线上，
根据两点确定一条直线可知：是线段的垂直平分线，故正确；
不一定等于，
点不一定在线段的垂直平分线上，故错误；
不一定是线段的垂直平分线，故错误；
因此，正确的有．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：过点作，
．
又，
．
．
．

故选：．
过点作，易知，所以可得，，根据即可求解．
本题主要考查了平行线的判定和性质，解决角度问题一般借助平行线转化角，此题属于“拐点”问题，过拐点处作平行线是此类问题常见辅助线．
 

10.【答案】 

【解析】解：、，
，，不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，能作为直角三角形三边长，
故B符合题意；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形三边长，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形三边长，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：一个锐角和斜边对应相等，正确，符合，
B.两条直角边对应相等，正确，符合判定；
C.不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；
D.斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定并能熟练运用根据已知条件和全等三角形的判定逐个判断即可．
【解答】
解：添加，可根据判定；
添加，可根据判定；
添加，可根据判定；
添加，可根据判定．
共有个可以使的条件．
故选D．  

13.【答案】答案不唯一 

【解析】斜边与直角边分别相等的两个直角三角形全等，
在与中，已知，为公共斜边，
使，添加的条件可以是．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题利用格点图，考查对轴对称图形的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有种画法．根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：如图所示，

有个使之成为轴对称图形．
故答案为．
 
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．先判断出，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论．
【解答】
解：，点是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为  

16.【答案】两个角相等三角形是等腰三角形 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理的知识，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形．  

17.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，点即为所求． 

【解析】分别作三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
连接，与直线的交点即为所求．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
 

18.【答案】证明：是的平分线，
．
，，
同角的余角相等．
是边上的中线，
，
等边对等角，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角的性质得到，最后根据图形写出角的关系即可得证．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，是边上的中线，
．
平分，，
． 

【解析】此题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一得到是正确解答本题的关键．
根据等腰三角形三线合一，确定，又因为，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论．
 

20.【答案】证明：，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形性质可得：，，利用可证明≌；
利用全等三角形的性质可得，再运用等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，

，

，

，

，

；

在的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【解析】本题考查了命题与定理，平行线的判定与性质．

利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论；

利用了平行线的判定与性质定理求解．

22.【答案】证明：延长到，使，连续，，
在四边形中，
，，
四边形是平行四边形，

平行四边形是矩形．
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，再利用矩形的对角线相等解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边的中线，通过构造矩形得到对角线相等，得出直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
 

23.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
，
解得：，
． 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

24.【答案】解：证明：，

，
在与中
，
≌；
≌，
，
，
，
，，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
先证明，再根据即可证明．
根据全等三角形的性质即可解答．