还剩31页未读，
继续阅读
四川省宜宾市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
展开
这是一份四川省宜宾市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共34页。试卷主要包含了﹣1；，2020；，的图象交于点C、D，两点，过点A作AC⊥OP于点C，，其顶点为点D，连结AC，，连结BC、BE、CE，已知等内容，欢迎下载使用。
四川省宜宾市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；
（2）化简：（+1）÷．
2．（2020•宜宾）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：÷（1﹣）．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
4．（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．
5．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
三．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
7．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
四．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
10．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．
11．（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
六．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．
14．（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
八．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
16．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
17．（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）
18．（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
一十．条形统计图（共1小题）
19．（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
21．（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 ．
（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；
（2）化简：（+1）÷．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2
＝1﹣2+2﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝（+）•
＝（+）•
＝•
＝．
2．（2020•宜宾）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：÷（1﹣）．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020
＝4﹣1﹣3+1
＝1；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝2．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，
∵A（4，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴B（0，8），
∵A，B两点在直线y＝ax+b上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵BC＝3AC，
∴AB＝4AC，
∴CE∥OB，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴C（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由，解得或，
∴D（1，6），
过点D作DF⊥y轴于点F，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA
＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE
＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2
＝8
4．（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．
【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，
∵C（5，0），OC＝AC，
∴OC＝AC＝5，
∵S△AOC＝10，
∴，
∴AE＝4，
在Rt△ACE中，CE＝，
∴OE＝8，
∴A（8，4），
∴k＝4×8＝32，
将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，
，
∴，
∴反比例函数的表达式为y＝，
一次函数的表达式为；
（2）联立两个函数解析式得，
解得，，
∴，
由图象可得，当，
x＞8或﹣3＜x＜0．
5．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，
∴反比例函数的关系式为y＝；
把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1
∴点A（﹣3，﹣1）；
把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，
，
解得：，
∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；
答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，
＝+×（1+3）×2，
＝．
三．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F1（4，﹣5），F2（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F2作F2N⊥F1M于点N，交对称轴于点P，连接PF1．则MH＝4，HF1＝3，MF1＝5，
在Rt△MHF1中，sin∠HMF1＝＝，则在RtMPN中，sin∠PMN＝＝，
∴PN＝PM，
∵PF2＝PF1，
∴PF+PM＝PF1+PN＝F2N为最小值，
∵＝×6×4＝×5×F2N，
∴F2N＝，
∴PF+PM的最小值为．
7．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝EP，
∴BF＝BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF＝CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（，），
∴BF＝＝．
8．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，
故二次函数表达式为：y＝x2；
（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；
（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，
∴y＝×12＝，则点E（1，），
EN＝＝，
同理EF＝＝，
点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
四．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，
即∠COD＝∠AOB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
10．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF，
∴AC﹣DC＝DF﹣DC，
即：AD＝CF．
11．（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
【解答】证明：（1）∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）在△ABC中，D是边BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵△ABD≌△ECD，
∴S△ABD＝S△ECD，
∵S△ABD＝5，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，
答：△ACE的面积为10．
六．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝＝3，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，
∵，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（﹣x）2＝18，
∴x＝或x＝（舍），
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝＝．
七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠AGF＝∠ABC，
∵EG＝EC，OC＝OB，
∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，
又∵∠AGF＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠BCO，
∵∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ECG+∠ACO＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，
∴＝，
即＝，
解得OC＝2，
∴OD＝6，
∴DC＝＝＝4，
∵点F为OA的中点，OA＝OC，
∴OF＝1，
∴DF＝7，
∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴，
即，
解得DE＝，
∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，
即EC的长是．
14．（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BAD，AB＝AD，BC＝CD，
又∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠OBF，
∴△OBF∽△AEB，
∴，
∵AB＝4，CF＝1，
∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，
∴，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝．
八．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
【解答】解：（1）﹣4sin30°+|﹣2|
＝2﹣4×+2﹣
＝2﹣2+2﹣
＝；
（2）（1﹣）÷
＝（）．
＝
＝a﹣1．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
16．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
【解答】解：由已知可得，
tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
设BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝＝，
∴tan60°＝，
解得x≈40，
答：东楼的高度DE约为40米．
17．（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）
【解答】解：设塔高AB＝x米，
根据题意得∠BCA＝45°，∠BDA＝60°，CD＝15米，
在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，
∴BC＝BA＝x米，
在Rt△ABD中，∵tan∠BDA＝，
∴BD＝＝＝，
∵BD+CD＝BC，
∴x+15＝x，解得x＝≈35（米）．
答：白塔的高度AB为35米．
18．（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，
则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30米，
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝，
则∠CAE＝30°，
则∠CAD＝30°+45°＝75°；
（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30米，
CD＝CE+ED＝（30+30）米．
一十．条形统计图（共1小题）
19．（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；
故答案为：60；
（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝×100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝＝．
21．（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 50名 ．
（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
【解答】解：（1）张老师调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），
故答案为：50名；
（2）条形统计图中D的人数为：50﹣10﹣6﹣14﹣8＝12（名），
∴1000×＝240（名），
即估计有240名学生选修泥塑；
（3）把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为＝．
四川省宜宾市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；
（2）化简：（+1）÷．
2．（2020•宜宾）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：÷（1﹣）．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
4．（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．
5．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
三．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
7．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
四．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
10．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．
11．（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
六．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．
14．（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
八．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
16．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
17．（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）
18．（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
一十．条形统计图（共1小题）
19．（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
21．（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 ．
（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；
（2）化简：（+1）÷．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2
＝1﹣2+2﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝（+）•
＝（+）•
＝•
＝．
2．（2020•宜宾）（1）计算：（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020；
（2）化简：÷（1﹣）．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（π﹣3）0﹣|﹣3|+（﹣1）2020
＝4﹣1﹣3+1
＝1；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝2．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
3．（2022•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，
∵A（4，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴B（0，8），
∵A，B两点在直线y＝ax+b上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵BC＝3AC，
∴AB＝4AC，
∴CE∥OB，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴C（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由，解得或，
∴D（1，6），
过点D作DF⊥y轴于点F，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA
＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE
＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2
＝8
4．（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．
【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，
∵C（5，0），OC＝AC，
∴OC＝AC＝5，
∵S△AOC＝10，
∴，
∴AE＝4，
在Rt△ACE中，CE＝，
∴OE＝8，
∴A（8，4），
∴k＝4×8＝32，
将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，
，
∴，
∴反比例函数的表达式为y＝，
一次函数的表达式为；
（2）联立两个函数解析式得，
解得，，
∴，
由图象可得，当，
x＞8或﹣3＜x＜0．
5．（2020•宜宾）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣3，n），B（﹣1，﹣3）两点，过点A作AC⊥OP于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【解答】解：（1）B（﹣1，﹣3）代入y＝得，m＝3，
∴反比例函数的关系式为y＝；
把A（﹣3，n）代入y＝得，n＝﹣1
∴点A（﹣3，﹣1）；
把点A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b得，
，
解得：，
∴一次函数的关系式为：y＝﹣x﹣4；
答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）如图，过点B作BM⊥OP，垂足为M，由题意可知，OM＝1，BM＝3，AC＝1，MC＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
∴S四边形ABOC＝S△BOM+S梯形ACMB，
＝+×（1+3）×2，
＝．
三．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
当m＝时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
（3）由题意，M（1，﹣1），F1（4，﹣5），F2（﹣2，﹣5）关于对称轴直线x＝1对称，连接F1F2交对称轴于点H，连接F1M，F2M，过点F2作F2N⊥F1M于点N，交对称轴于点P，连接PF1．则MH＝4，HF1＝3，MF1＝5，
在Rt△MHF1中，sin∠HMF1＝＝，则在RtMPN中，sin∠PMN＝＝，
∴PN＝PM，
∵PF2＝PF1，
∴PF+PM＝PF1+PN＝F2N为最小值，
∵＝×6×4＝×5×F2N，
∴F2N＝，
∴PF+PM的最小值为．
7．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：
如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下：
连结CP，∵CP为半径，
∴＝＝，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴＝＝，即FP＝EP，
∴BF＝BP+EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+EP为最小值．
∵CF＝CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（，），
∴BF＝＝．
8．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，
故二次函数表达式为：y＝x2；
（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；
（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，
∴y＝×12＝，则点E（1，），
EN＝＝，
同理EF＝＝，
点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
四．全等三角形的判定（共1小题）
9．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，
即∠COD＝∠AOB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
五．全等三角形的判定与性质（共2小题）
10．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD＝CF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF，
∴AC﹣DC＝DF﹣DC，
即：AD＝CF．
11．（2020•宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
【解答】证明：（1）∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）在△ABC中，D是边BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC，
∵△ABD≌△ECD，
∴S△ABD＝S△ECD，
∵S△ABD＝5，
∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，
答：△ACE的面积为10．
六．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴⊙O的半径为3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝＝3，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，
∵，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（﹣x）2＝18，
∴x＝或x＝（舍），
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝＝．
七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，BD＝4，sin∠D＝，求EC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵EF⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴∠GFA＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠AGF＝∠ABC，
∵EG＝EC，OC＝OB，
∴∠EGC＝∠ECG，∠ABC＝∠BCO，
又∵∠AGF＝∠EGC，
∴∠ECG＝∠BCO，
∵∠BCO+∠ACO＝90°，
∴∠ECG+∠ACO＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，DE是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵BD＝4，sin∠D＝，OC＝OB，
∴＝，
即＝，
解得OC＝2，
∴OD＝6，
∴DC＝＝＝4，
∵点F为OA的中点，OA＝OC，
∴OF＝1，
∴DF＝7，
∵∠EFD＝∠OCD，∠EDF＝∠ODC，
∴△EFD∽△OCD，
∴，
即，
解得DE＝，
∴EC＝ED﹣DC＝﹣4＝，
即EC的长是．
14．（2020•宜宾）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BAD，AB＝AD，BC＝CD，
又∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠OBF，
∴△OBF∽△AEB，
∴，
∵AB＝4，CF＝1，
∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，
∴，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝．
八．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•宜宾）计算：
（1）﹣4sin30°+|﹣2|；
（2）（1﹣）÷．
【解答】解：（1）﹣4sin30°+|﹣2|
＝2﹣4×+2﹣
＝2﹣2+2﹣
＝；
（2）（1﹣）÷
＝（）．
＝
＝a﹣1．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
16．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
【解答】解：由已知可得，
tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
设BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝＝，
∴tan60°＝，
解得x≈40，
答：东楼的高度DE约为40米．
17．（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）
【解答】解：设塔高AB＝x米，
根据题意得∠BCA＝45°，∠BDA＝60°，CD＝15米，
在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，
∴BC＝BA＝x米，
在Rt△ABD中，∵tan∠BDA＝，
∴BD＝＝＝，
∵BD+CD＝BC，
∴x+15＝x，解得x＝≈35（米）．
答：白塔的高度AB为35米．
18．（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，
则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30米，
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝＝，
则∠CAE＝30°，
则∠CAD＝30°+45°＝75°；
（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30米，
CD＝CE+ED＝（30+30）米．
一十．条形统计图（共1小题）
19．（2020•宜宾）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．
（1）本次接受调查的学生有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？
【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：9÷15%＝60（名）；
故答案为：60；
（2）选择C学习方式的人数有：60﹣9﹣30﹣6＝15（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1800×＝900（名），
答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•宜宾）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m%＝×100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女）＝＝．
21．（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 50名 ．
（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
【解答】解：（1）张老师调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），
故答案为：50名；
（2）条形统计图中D的人数为：50﹣10﹣6﹣14﹣8＝12（名），
∴1000×＝240（名），
即估计有240名学生选修泥塑；
（3）把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
∴所选2人都是选修书法的概率为＝．
相关试卷
四川省宜宾市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类： 这是一份四川省宜宾市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共24页。试卷主要包含了的图象交于点C、D，，连结BC、BE、CE，，其顶点为点D，连结AC，已知等内容，欢迎下载使用。
四川省宜宾市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类： 这是一份四川省宜宾市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共16页。试卷主要包含了0+|﹣1|，﹣1；，已知，计算等内容，欢迎下载使用。
四川省眉山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类： 这是一份四川省眉山市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共39页。试卷主要包含了0﹣|﹣|++2﹣2，﹣1+，﹣2+2sin45°﹣，÷，其中a＝﹣3，解方程组，建设美丽城市，改造老旧小区，解方程等内容，欢迎下载使用。
