人教b版高中数学必修第一册章末质量检测(1)含答案

  章末质量检测(一)　集合与常用逻辑用语

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则下列关系正确的是(　　)

A．M＝N　B．MN

C．N⊆M  D．M⊆N

解析：由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)·(x－1)＝0}＝{1,2}，N＝{0,1,2}，可知MN，故选B.

答案：B

2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|x∈N}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：由题意得A＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B中共有3个元素，故选D.

答案：D

3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件        B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

答案：C

4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{1,2,5,6}  B．{1}

C．{2}       D．{1,2,3,4}

解析：图中阴影部分可表示为(∁UB)∩A，且∁UB＝{1,5,6}，A＝{1,2}，所以(∁UB)∩A＝{1}．故选B.

答案：B

5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

解析：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

答案：B

6．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝(　　)

A．{－1}    B．{－1,0}

C．{－1,3}  D．{－1,0,3}

解析：集合B＝{x|x2－3x>0}＝{x|x<0或x>3}，则A∩B＝{－1}，选A.

答案：A

7．下列命题是存在量词命题的是(　　)

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．每一个矩形都是平行四边形

C．所有的同位角都相等

D．存在实数不小于3

解析：D中含有存在量词．

答案：D

8．设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)

A．M∪N＝M     B．M∪(∁RN)＝M

C．N∪(∁RM)＝R  D．M∩N＝M

解析：∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0<x<2}，∴M∪N＝{x|x<4}＝M，故选项A正确；M∪(∁RN)＝R≠M，故选项B错误；N∪(∁RM)＝{x|0<x<2或x≥4}≠R，故选项C错误；M∩N＝{x|0<x<2}＝N，故选项D错误．故选A.

答案：A

9．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

解析：A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，

所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4a>5，

所以“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件．

答案：B

10．命题“∀x>0，>0”的否定是(　　)

A．∃x>0，≤0  B．∃x>0,0≤x≤1

C．∀x>0，≤0  D．∀x<0,0≤x≤1

解析：∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，>0”的否定是 “∃x>0,0≤x≤1”，故选B.

答案：B

11．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，1]

C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.选D.

答案：D

12．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是(　　)

A．a≤－2  B．a≥2

C．a<－2   D．a>2

解析：不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2<x<－1时不等式成立，所以不等式的解为－a<x<－1.

∴－2>－a，即a>2，故选D.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．如果全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则(∁UA)∩(∁UB)为________．

解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∁UA＝{5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}，故(∁UA)∩(∁UB)＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}．

答案：{7,8}

14．已知集合A＝{x|(x－3)(x＋1)<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.

解析：因为集合A＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>1}，所以A∪B＝{x|x>－1}．

答案：{x|x>－1}

15．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

解析：所给命题是存在量词命题；其否定应为全称量词命题．

答案：∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0

16．命题p：一次函数y＝ax＋b过一、二、三象限的充要条件________．

解析：如图所示，直线过一、二、三象限，则a>0，b>0.

答案：a>0，b>0

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，

(1)求元素x应满足的条件；

(2)若－2∈A，求实数x.

解析：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2－2x≠x，

x2－2x≠3，解得x≠－1，且x≠0，且x≠3.

(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.

由于方程x2－2x＋2＝0无解，所以x＝－2.

经检验，知x＝－2符合互异性．故x＝－2.

18．(12分)已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.

解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.

∴A＝{1,2}．

∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：

(1)若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.

(2)若B≠∅，

则B＝{1}或B＝{2}．

当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；

当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.

综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．

19．(12分)判断下列语句是否为命题，如果是，判断其是全称量词命题还是存在量词命题．

①有一个实数a，a不能取对数；

②对所有不等式的解集A，都有A⊆R；

③三角形内角和都等于180°吗？

④有的一次函数图像是曲线；

⑤自然数的平方是正数．

解析：①②④⑤都是可以判断真假的陈述句，是命题．③是疑问句，故不是命题．

因为①④含有存在量词，所以命题①④为存在量词命题．因为②含有全称量词，所以命题②为全称量词命题．因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以⑤为全称量词命题．

综上所述，①④为存在量词命题，②⑤为全称量词命题，③不是命题．

20．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.

(1)求A∪B，(∁UA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．

解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}，∁UA＝{x|x<2或x>8}，∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．

(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.

即a的取值范围为(－∞，8)．

21．(12分)已知命题p：{x|2≤x≤10}，命题q：{x|x<a或x>2a＋1}(a>0)，若p是q成立的充分不必要条件，求a的取值范围．

解析：p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q，qp，

∴{x|2≤x≤10}{x|x＜a或x＞2a＋1}(a＞0)

画出数轴：

结合数轴得

a>10或2a＋1<2，

故a的取值范围为a>10或0<a<.

22．(12分)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．

(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A.

(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a取值构成的集合．

解析：(1)A∩B＝{x|3≤x<6}．

因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，

所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．

(2)因为C⊆B，如图所示：

所以解得2≤a≤8，

所以所求集合为{a|2≤a≤8}．