高中人教B版 (2019)8.1.1 向量数量积的概念习题

  课时跟踪检测（十四）  向量数量积的概念

A级——学考水平达标练

1．已知|a|＝3，b在a上的投影的数量为，则a·b＝(　　)

A．9  B．

C．2  D．

解析：选C　a·b＝3×＝2.

2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝(　　)

A．12  B．3

C．6  D．3

解析：选B　由已知得－12＝4×|b|×cos 135°，因此|b|＝3.

3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．无法确定

解析：选C　在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．

4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)

A．－a2  B．－a2

C.a2  D．a2

解析：选D　如图，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，边长为a，

∴||＝a.∵与的夹角为30°，∴·＝||||cos 30°＝a·a·＝a2.

5．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)

A．8  B．－8

C．8或－8  D．6

解析：选A　∵|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，

∴cos θ＝＝＝－.

又θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝，

∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝8.

6．如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．

解析：根据向量夹角定义可知向量，的夹角为∠BAC，而向量，的夹角为π－∠BAC，故二者互补．

答案：互补

7．已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________________________.

解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 因为AB＝AC，所以BD＝BC＝2，

于是| |cos∠ABC＝||＝2，

所以·＝||||cos∠ABC

＝4×2＝8.

答案：8

8．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在上的投影的数量是________．

解析：设与的夹角为θ，

∵AB＝AC＝2，∠ACB＝.

∴θ＝.

∴投影的数量为2×cos＝－.

答案：－

9．若△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2＋＋＝0且||＝||，求·.

解：∵2＋＋＝0，∴＋＋＋＝0，

∴＋＝0，即＝－.

∴O，B，C三点共线，BC为圆的直径．

∴AB⊥AC.

又||＝||，∴||＝| |＝1，||＝2，||＝.

故∠ACB＝.则·＝×2cos ＝3.

10．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：

(1)·；

(2) 在上投影的数量．

解：因为||＝5，||＝4，||＝3，

所以△ABC为直角三角形，且C＝90°.

所以cos A＝＝，cos B＝＝.

(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.

(2)||cos〈，〉＝||cos A＝3×＝，

即 在 上投影的数量为.

B级——高考水平高分练

1．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)

A．－7  B．7

C．25  D．－25

解析：选D　由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.

2．在△ABC中，已知∠A＝120°，∠B＝∠C＝30°，AB＝AC＝1，则·＋·＋·＝________.

解析：过A作AD⊥BC于点D.

∵AB＝AC，

∴BC＝2BD＝2ABcos B＝2×1×＝.

·＝||||cos(180°－30°)＝1××＝－，

·＝||||cos(180°－30°)＝×1×＝－，

·＝||||cos(180°－120°)＝1×1×＝.

∴·＋·＋·＝－－＋＝－.

答案：－

3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.

解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，

所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.

答案：0　－16　－16

4．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.

(1)试用m，n，θ表示S△ABC；

(2)若c·b<0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？

解：(1)S△ABC＝AB·h＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin θ.

(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sin θ，

∴＝×5×3sin θ，∴sin θ＝.

∵c·b<0，∴θ为钝角．

∴θ＝150°，即〈b，c〉＝150°.

5.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.

(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量.

(2)求·的取值范围．

解：(1)由已知可得＝，＝－，

易得四边形OAMB是菱形，则＝＋，

所以＝－＝－(＋)

＝－－.

(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可．

当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.

当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.

所以·的取值范围为.