高中人教B版 (2019)7.1.2 弧度制及其与角度制的换算课后练习题

  课时跟踪检测（二）  弧度制及其与角度制的换算

A级——学考水平达标练

1．1 920°转化为弧度数为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　1 920°＝1 920×＝.

2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A.π   B.π

C.π   D.π

解析：选A　∵240°＝240×＝π，

∴弧长l＝α·r＝π×10＝π，故选A.

3．2弧度的角所在的象限是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　因为<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．

4．(多选题)下列转化结果正确的是(　　)

A．60°化成弧度是

B．－π化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－π

D.化成度是15°

解析：选ABD　对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故A、B、D正确．

5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)

A.  B.

C.  D．

解析：选B　由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.

6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．

解析：因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，

所以A＝＝，B＝＝，C＝.

答案：，，

7．地球赤道的半径约是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．

解析：因为1′＝°＝×，所以l＝α·R＝××6 370≈1.85(km)．

答案：1.85

8．若角α的终边与角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是____________．

解析：由题意，得α＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得＝，，，.

答案：，，，

9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．

10．已知α＝1 690°.

(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；

(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．

解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.

(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．

又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π(k∈Z)．

解得－<k<(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.

∴θ的值是－π，－π，π，π.

B级——高考水平高分练

1.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)

A.  B.

C.  D．π

解析：选B　设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.

2．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)

A．α＋β＝0  B．α－β＝0

C．α＋β＝2kπ(k∈Z)  D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)

解析：选D　∵α＝2k1π＋x＋，β＝2k2π＋x－(k1，k2∈Z)，∴α－β＝2(k1－k2)π＋，也即α－β＝＋2kπ(k∈Z)．

3.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB的长为________．

解析：由扇形面积公式S＝lr，

又α＝，可得S＝，所以α＝2，易得r＝1，

结合图像知AB＝2rsin＝2sin 1.

答案：2　2sin 1

4．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－，则β＝________.

解析：如图所示，－角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为

－＋＝－，

所以β＝－＋2kπ，k∈Z.

答案：2kπ－，k∈Z

5．已知角α＝1 200°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．

解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，

又<<π，

∴角α与的终边相同，

∴角α是第二象限的角．

(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋，k∈Z，

∴由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.

∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.

故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是

－，－，.

6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40 m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________．(其中π≈3，≈1.73)

解析：因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40×20＋20×20)＝(400＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝m2，因此两者之差为－400－(400＋200)≈16 m2.

答案：16 m2