人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式练习

  课时跟踪检测（五）  同角三角函数的基本关系式

A级——学考水平达标练

1．已知cos α＝，则sin2α等于(　　)

A.  B．±

C.  D．±

解析：选A　 sin2α＝1－cos2α＝.

2．若sin θ＝，cos θ＝，则m的值为(　　)

A．0  B．8

C．0或8  D．3<m<9

解析：选C　由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.

3．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D　不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝，构造直角三角形如图，

则|sin α|＝sin α′＝，

∵α为第四象限角，∴sin α<0，

∴sin α＝－.

4．若α为第二象限角，化简tan α· ＝(　　)

A．1  B．2

C．－1  D．

解析：选C　tan α· ＝tan α· ＝·.

因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝·＝－1.

5．若sin α·cos α＝，0<α<，则sin α＋cos α的值是(　　)

A.  B.

C．－  D．

解析：选D　因为0<α<，所以sin α>0，cos α>0，所以sin α＋cos α＝ ＝

＝ ＝.

6．化简：(1＋tan2α)·cos2α＝________.

解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.

答案：1

7．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝________.

解析：∵2sin2A＝3cos A，∴2(1－cos2A)＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，∴cos A＝或cos A＝－2(舍去)，

∴A＝60°.

答案：60°

8．已知tan α＝m(π＜α＜)，则sin α＝________.

解析：因为tan α＝m，所以＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝. 又因为π＜α＜，所以tan α＞0，即m＞0.因而sin α＝－ .

答案：－

9．化简：＝________.

解析：原式＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝＝.

答案：

10．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.

证明：左边＝sin α＋cos α

＝sin α＋＋cos α＋

＝＋＝＋＝右边．

即原等式成立．

B级——高考水平高分练

1．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C.  D．

解析：选A　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.

2．若π<α<，则 ＋ 的化简结果为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D　原式＝＋＝＋＝，∵π<α<，∴原式＝－.

3．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α· ＝________.

解析：原式＝cos α ＋sin α ＝cos α·＋sin α·.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式＝0.

答案：0

4．求证：－＝.

证明：因为左边＝＝

＝

＝＝

＝右边，

所以原式成立．

5．化简下列各式：

(1)；

(2) ＋ .

解：(1)原式＝

＝

＝＝1.

(2)原式＝ ＋

＝＋.

因为α∈，

所以∈.

所以cos－sin＞0，sin＋cos＞0，

所以上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.

6．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

解：假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①

∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0，②

sin αcos α＝＞0.③

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.

把②③代入上式得2－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－.

∵m1＝2不满足条件①，舍去；

∵m2＝－不满足条件③，舍去．

故满足题意的实数m不存在．