2021-2022学年重庆市铜梁区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市铜梁区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 铜梁城区在一次空气污染指数抽查中，收集到天的数据如下：，，，，，，，，，该组数据的中位数和众数分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 已知一次函数过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．其中是真命题的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

9. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，▱中，对角线交于点，，，，则▱的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 数使关于的方程的解是整数，且使一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的值的和是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 二次根式有意义，则的取值范围是______．
14. 在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动离散程度的量是______．
15. 如图，菱形中，，边，则菱形的面积是______．

16. 去年以来，我区深入贯彻落实创新驱动发展战略，以政策为杠杆，撬动企业加大科技创新投入，激励企业在科创之路上再接再厉，助推企业实现更高质量发展，我区某公司对其、两款产品实施技术升级．去年月该公司对、两种产品的价格以：进行销售，今年月，该公司产品销量比去年月产品销量增加，而月这两种产品的总销量比去年月总销量多，经核算，月销售总额比去年月的销售总额多、两种产品的销售价格均不变，则去年月、两种产品销量的比值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算下列各题．
    ；
     
18. 如图，在四边形中，，，，，．
    求的长；
    求四边形的面积．

19. 已知：如图，矩形中，，．
    用尺规作图完成以下基本作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法；
    在所作的图形中，连接，求的长．

20. 一次函数与正比例函数相交于点．
    求一次函数的解析式，并在图中画出一次函数的图象；
    一次函数图象分别与轴、轴交于点，，求的面积；
    根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

21. 年月日，北京冬奥会胜利闭幕，某校八年级班黄老师为了了解同学们对本届冬奥会知识的知晓情况，进行了一次小测试，测试满分分．
    其中组同学的测试成绩分别为：，，，，，，，，，：
    组同学的测试成绩分别为：，，，，，，，，，．
    根据以上数据，回答下列问题：

直接写出表中字母的值：______，______，______．
黄老师将组同学的测试成绩分成四组并绘制成如图条形统计图，请补全；
根据以上分析，你认为______组填或的同学对本届北京冬奥会知识的知晓情况更好一些，请写出你这样判断的理由至少写一条．

22. 为了推动中学生读书活动，我区关工委向区内某中学分两批次赠送了文学名著和科技书两类图书．已知第一次本文学名著和本科技书价值共元，第二次本文学名著和本科技书价值共元注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的科技书价格都一样．
    求每本文学名著和科技书各多少元？
    为了培养学生的读书习惯，该校准备自行购买一批同种文学名著和科技书分发到七年级新生各班供学生阅读．已知该校要求购进科技书比文学名著多本，科技书和文学名著总数不少于本，总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．
23. 阅读材料：如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大，我们称这个三位数为“新年数”比如，百位数字与个位数字之和为，十位数字是，，所以是“新年数”．
    请判断，是否是“新年数”，并写出判断过程；
    若一个“新年数”是的倍数，将各位数字之和记为，求的值．
24. 如图，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点．
    求该一次函数解析式；
    点是该一次函数图象上一点，已知点横坐标为，轴上有一动点，求的最小值及此时点的坐标；
    在的条件下，点是轴上一动点，点是该一次函数图象上一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
     

25. ▱中，连接，，，，点是平面内一点，连接，中点为点，连接．
    如图，当点在上时，若，求的长；
    如图，当点在▱外，在▱内有另一点，恰满足及，连接求证：；
    如图，当点为中点时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行，可得，所以可求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．还考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确，符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将数据，，，，，，，，，，
按照从小到大排列是：，，，，，，，，，，
这组数据的中位数是，众数是，
故选：．
先将题目中数据按照从小到大的顺序排列，然后即可得到这组数据的众数和中位数．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数过点，
，
解得，
故选：．
把点代入，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意，
真命题有个，
故选：．
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：



因为在到之间，
在到之间．
故选：．
先根据二次根式混合运算的法则计算，然后估计代数式的值．
本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
 

9.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象呈上升趋势，
，
的图象经过一、二、三象限．
故选：．
根据直线的变化趋势确定符号即可判定一次函数的图象所处的位置．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
▱的面积．
故选：．
由平行四边形的性质求出，，由勾股定理求出，则可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是由沿翻折而成的，
，，
四边形是矩形，
，，
点是中点，
，
在中，，
，
即，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
即，
故选：．
先利用翻折变换和正方形的性质，在中由勾股定理求出，点是中点，得出，再设，则，在中由勾股定理求出即可．
本题考查翻折变换、正方形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是掌握翻折变换的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：由分式方程得，，
分式方程的解是整数，
是整数且不等于，
一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，
是整数且不等于，
，，，
，
满足条件的所有整数的值的和是，
故选：．
根据关于的方程的解是整数，且一次函数的图象不经过第三象限，可以求得满足条件的的值，从而可以得到满足条件的所有整数的和．
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】方差 

【解析】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动离散程度的量是方差，
故答案为：方差．
根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差或标准差越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案．
此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点如图所示，

四边形是菱形．
．
．
是等边三角形．
．
．
在中，．
菱形．
故答案为：．
连接，过点作于点，根据已知条件可得是等边三角形，在中利用勾股定理，求出的长，利用菱形面积等于边长边上的高求解．
本题考查了菱形的性质与等边三角形的判定，掌握有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设去年月产品销量为，产品销量为，依题意有：
，
，
，
，
：：．
答：去年月、两种产品销量的比值是．
故答案为：．
设去年月产品销量为，产品销量为，根据月销售总额比去年月的销售总额多、两种产品的销售价格均不变，列出关于，的方程，解方程可求去年月、两种产品销量的比值．
本题考查了应用类问题，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
由勾股定理得：；

，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积



． 

【解析】根据勾股定理求出即可；
根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据三角形的面积公式分别求出和的面积即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，射线即为所求；

平分，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，． 

【解析】根据角平分线的作法画图即可；
首先说明，则，利用勾股定理得即可．
本题主要考查了尺规作一个角的角平分线，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握种基本作图是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入得，
则，
把代入得，
解得，
一次函数的解析式为，
如图，

当时，，则，
的面积；
由图象可得不等式的解集为． 

【解析】先把代入中求出得到，再把点的坐标代入中求得的值，从而得到一次函数的解析式；
先确定点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
利用图象，写出直线不在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
 

21.【答案】       

【解析】解：组同学的测试成绩按照从小到大排列是：，，，，，，，，，，
组同学的测试成绩按照从小到大排列是：，，，，，，，，，，
则，
，
，
故答案为：，，；
组同学的测试成绩按照从小到大排列是：，，，，，，，，，，
的有人，的有人，
补全的频数分布直方图如右图所示：

根据以上分析，你认为组的同学对北京冬奥会知识的知晓情况更好一些，
理由：组的中位数大于组；在两组平均数相同的情况下，组的方差小于组，组波动小，成绩稳定；
故答案为：．
根据题目中的数据可以将组和组的成绩按照从小到大排列，从而可以得到、、的值；
根据题意和组的数据，可以将频数分布直方图补充完整；
根据表格中的数据可以解答本题，注意写理由时，主要合理即可，本题答案不唯一．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设每本文学名著元，科技书元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著元，科技书元；
设学校要求购买文学名著本，科技书为本，根据题意可得：
，
解得：，
因为取整数，
所以取，，，；
共有四种方案：
方案一：文学名著本，科技书本；
方案二：文学名著本，科技书本；
方案三：文学名著本，科技书本；
方案四：文学名著本，科技书本． 

【解析】设每本文学名著元，科技书元，根据题意列出方程组解答即可；
根据学校要求购买科技书比文学名著多本，科技书和文学名著总数不少于本，总费用不超过元，列出不等式组，解答即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
 

23.【答案】解：，，
是“新年数”；
，，
不是“新年数”；
设“新年数”的个位数为，百位数为，则十位数为：，
“新年数”能被整除，



，
，
即，
，
，
当时，，不符合题意；
当时，，十位数是，不符合题意；
当时，，十位数是，；
当时，，十位数是，；
当时，不符合题意．
综上所述，的值是或． 

【解析】根据“新年数”的定义进行求解即可；
根据能被整除的数的特征，结合“新年数”的定义进行求解即可．
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解清楚能被整除的数的特征：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的倍，如果和是的倍数，则原数能被整除．
 

24.【答案】解：设一次函数的解析式：，
将点，代入解析式，
得，
解得，
一次函数解析式：；
将点横坐标代入直线解析式，
得，
，
作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，如图所示：

则的长即为的最小值，
，
，
，
的最小值为，
设直线的解析式：，
代入点，点坐标，
，
解得，
直线的解析式：，
点；
设点，，
，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
得，
解得，
点坐标为，
综上，点的坐标为或． 

【解析】待定系数法求函数解析式即可；
先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标；
设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：以，为对角线，以，为对角线，以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
 

25.【答案】解：如图中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；

证明：如图中，延长到，使得，连接．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；

解：如图中，过点作于点，过点作交的延长线于点．

，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用勾股定理求出，再利用直角三角形的斜边中线的性质解决问题即可；
如图中，延长到，使得，连接证明≌，推出，再利用三角形中位线定理证明即可；
如图中，过点作于点，过等作交的延长线于点想办法求出，，再利用勾股定理求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．