2021-2022学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年福建省福州市闽侯县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列曲线中，不是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示，四边形是平行四边形，下列关系正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是(    )

A.  B. ，
C. ，， D. ，，

5. 直线不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数单位：分及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 正比例函数的图象过点，当时，，且的值随的值增大而减小，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 一次函数的图象过点，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. ______．
12. 点，是直线上的两点，则 ______填“”，“”或“”
13. 已知菱形的周长为，其中一条对角线长为，则该菱形的另一条对角线长为______．
14. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的和是______．
15. 如图，“赵爽弦图”由个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为______．

16. 如图，在正方形中，，点，，分别在，，上，与相交于点，连接，当，时，的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 已知，如图在平行四边形中，点，在线段上，连接，，．
    
    如图，求证：；
    如图，延长交于点，延长交于点求证：．
19. 已知直线：经过点．
    求直线的解析式；
    如图，请在平面直角坐标系中，画出直线的图象；
    判断点是否在直线上，请说明理由．

20. 某公司的年度综合考评由平时表现、年中、年末三部分考核组成，某员工的考核情况如下表所示：

计算该员工本年度的平时平均成绩；
如果本年度的总评成绩是根据如图所示的权重计算的，请计算出该员工本年度的总评成绩．

21. 如图，矩形，是其对角线．
    尺规作图：作的平分线，交于点，在线段上截；请作出符合题意的图形保留作图痕迹，不要求写作法；
    在的图形中，连接，若，，求的长．

22. 因抗疫需要学校准备购进一批消毒液．已知型消毒液的单价比型消毒液的单价低元，若购买瓶型消毒液与瓶型消毒液需花费元．
    这两种消毒液的单价各是多少元？
    学校准备购进这两种消毒液共瓶，且型消毒液的瓶数不少于型消毒液瓶数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
23. 某县为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各名学生进行了体育测试，从中各随机抽取名学生的成绩百分制，并对成绩单位：分进行整理、描述和分析，给出了部分成绩信息．
    甲校参与测试的学生成绩分布如表：

甲校参与测试的学生成绩在这一组的数据是：
，，，，，，，，，
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答问题：

______；
在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是哪位同学，请简要说出理由；
估计甲校参与此次体育测试的学生成绩超过分的人数．

24. 如图，菱形中，点、分别为、的中点，连接、．
    求证：；
    如图，若为上一点，连接、，使，求证：．

25. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别为：，，，其中，．
    求关于的函数解析式；
    已知，连接与轴交于点．
    求点的坐标；
    求点与点的最短距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、对于自变量的每一个值，不是都有唯一的值与它对应，所以不是的函数，故A符合题意；
B、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，所以是的函数，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，逐一判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
故选：．
根据平行四边形的性质判断即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，即是直角三角形，不合题意；
B.因为，，，所以，即是直角三角形，不合题意；
C.因为，，，，即不是直角三角形，符合题意；
D.因为，，，，所以是直角三角形，不合题意；
故选：．
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线，，，
该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据一次函数的性质和直线解析式，可以得到该直线经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：．
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象过点，当时，，且的值随的值增大而减小，
当时，，
，
．
故选：．
利用正比例函数的性质，可得出当时，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，点是斜边的中点，
则，
，
，
、分别是、的中点，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
一次函数向左平移一个单位过，即一次函数图象经过点，
，
随的增大而减小，
一次函数的图象过点，
当时，，
不等式的解集是，
故选：．
根据平移的性质得出一次函数过点，然后根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数的图象过点是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，
，
观察图形可知，和都是等腰直角三角形，
，，
，
故选：．
连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平角的定义可得结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
按照二次根式的乘方计算．
此题主要考查二次根式的运算，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
函数随着的增大而增大；
，
．
故答案为：．
由一次函数的性质直接得到与的大小关系．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是菱形，
，，，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由方差的计算算式知，这组数据共有个，且这组数据的平均数为，
所以这组数据的和为，
故答案为：．
由方差的计算算式知，这组数据共有个，且这组数据的平均数为，再根据平均数的概念可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据图形表示出大，小正方形的面积：，，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出，然后利用完全平方公式整理即可得解．
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于点，连接，延长到，使，连接，

四边形是正方形，，
，，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，
，即，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
过点作交于点，连接，延长到，使，连接，由正方形的性质及勾股定理求出，，证明≌，得出，，再证明≌，，设，则，，利用勾股定理列出方程，求出，得出，进而求出，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：



． 

【解析】先算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
≌，
；
由得：≌，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，然后利用可证≌，从而利用全等三角形的性质，即可解答；
利用的结论可得，然后利用等角的补角相等可得，从而可得，再利用平行四边形的性质可得，最后根据平行四边形的判定方法可证四边形是平行四边形，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意，将点代入直线：，
得，
解得，
直线的解析式为；
当时，，
直线过，
如图所示直线即为要求所画的直线，

点在直线上，理由如下：
当时，，
点在直线上． 

【解析】待定系数法求解析式即可；
根据图象过点和画出函数图象即可；
将代入函数解析式，求出，即可判断．
本题考查了一次函数的解析式，一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知：分，
该员工本年度的平时平均成绩为分；
分．
该员工本年度的总评成绩为分． 

【解析】由根据算术平均数的定义计算即可；
根据加权平均数的计算方法，将各部分的成绩乘以对应的权重再求和，即为该员工本年度的总评成绩．
本题考查加权平均数，解题的关键是理解加权平均数的定义，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图所示即为所作的角平分线，点满足；


四边形是矩形，
，，，
，，，
≌，
，，，
在中，，，
，
．
设，则，，
在中，，
，
解得，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明≌，推出，，，在中，可得，推出设，则，，在中，，构建方程求出即可．
本题考查作图复杂作图，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题．
 

22.【答案】解：设型消毒液单价为元，则型消毒液单价为元，
依题意得：，
解得，
，
答：型消毒液单价为元，型消毒液单价为元；
设学校购进型消毒液瓶，则购进型消毒液瓶，学校共花费元，
型消毒液的瓶数不少于型消毒液瓶数的，
，
解得，
根据题意知：，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值为，
此时瓶，
答：购买型消毒液瓶，购进型消毒液瓶，此时的费用最少，最少费用为元． 

【解析】设型消毒液单价为元，可得：，即可解得型消毒液单价为元，型消毒液单价为元；
设学校购进型消毒液瓶，学校共花费元，根据型消毒液的瓶数不少于型消毒液瓶数的，可得，而，根据一次函数性质即得购买型消毒液瓶，购进型消毒液瓶，此时的费用最少，最少费用为元．
本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

23.【答案】 

【解析】解：把甲校所抽取的名学生的成绩从小到大排序后，处在中间位置的两个数分别是，，因此中位数是，即，
故答案为：；
更靠前的是王同学，理由如下：
王同学成绩分高于甲校参与测试同学成绩的中位数，
王同学在甲校的名次在名以前，
李同学成绩分低于乙校参与测试同学成绩的中位数，
李同学在乙校的名次在名以后，
王同学在甲校的名次高于李同学在乙校的名次．
由表中信息可知：
，
估计甲校参与此次体育测试的学生成绩超过分的人数为人．
利用中位数的意义解答即可；
利用中位数的意义分别得到王同学在甲校的大致名次和李同学在乙校的大致名次，由此得出结论；
利用样本估计总体即可．
本题考查用样本估计总体，中位数，平均数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
点、分别为、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：，，
，
，
，
延长交延长线于点，

在菱形中，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
由得≌，
，
，
菱形中，，
，
，
即． 

【解析】由“”可证≌，可得结论；
由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
轴，
，，，，，
，，
，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，

，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
设点的坐标为，
，
，
，
，
点的坐标为；
由知≌，
，
，
，
点在直线：上，
直线与轴交于点，与轴交于点，
在中，，，
，
，．
当直线时，点与点的距离最短，此时点与点的距离最短．
此时，
，
，
点与点的最短距离为． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，即可求解；
由垂线段最短，可得当直线时，点与点的距离最短，此时点与点的距离最短，由面积法可求解．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．