知识点19 二次函数代数方面的应用2018--2

这是一份知识点19 二次函数代数方面的应用2018--2，共18页。试卷主要包含了 ，与y轴交于点C， ，定点为P等内容，欢迎下载使用。

三、解答题
1. （2018广西省桂林市，26，12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；
(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB?若存在，求出满足条件的所有E点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路分析】（1）将点A（－3，0）和点B（1，0）分别代入即可求出抛物线的解析式及点C的坐标；（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MA＝MB＝MC，根据点A和点C的坐标可求出点D的坐标，根据互相垂直的两条直线的k值乘积为－1，则可求出线段AC的垂直平分线DE的关系式，从而得出点M的坐标；（3）过点B作BG⊥AC于点G，过点E作EF⊥y轴于点F，先求出直线BG的关系式，即可得到点G的坐标，求得tan∠ABE的值，再根据4tan∠ABE＝11tan∠ACB 解得EF＝2 BF,即可求出点E的坐标．
【解题过程】解：（1）将点A（－3，0）和点B（1，0）分别代入得， ，解得a＝1，∴抛物线的解析式为，当x＝0时，y＝6，∴点C的坐标为（0，6）；
（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MA＝MB＝MC，∵抛物线的解析式为，顶点的坐标为（－2，8），对称轴为：直线x＝－1，∴点M的横坐标为：x＝－1，设直线AC的中点为D，∵点A（－3，0），C（0，6），∴点D的坐标为（－，3），设直线AC的关系式为，将点A（－3，0），C（0，6）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：，则可设线段AC的垂直平分线DE的关系式为，将点D的坐标为（－，3）代入得，，解得＝，∴直线DE的关系式为，当x＝－1时，y＝－×（－1）＋＝，∴点M的坐标为（－1，）；
（3）如图（2），过点B作BG⊥AC于点G，过点E作EF⊥y轴于点F，∵抛直线AC的解析式为：，∴可设直线BG的关系式为，将点B的坐标为（1，0）代入得，，解得＝，∴直线BG的关系式为，联立得，，∴点G的坐标为（－，），∴BG＝，CG＝，
∴在R t△BCG中， tan∠ACB＝，又∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，∴4tan∠ABE＝8，即，解得，∴EF＝2 BF，设点E的坐标为（e，），则点F的坐标为（e，0），∴EF＝，BF＝，又∵EF＝2 BF, 即＝2,∴＝2（）或＝2（），即＝0或＝0，解得e＝－2或e＝1，e＝－4或e＝1（与点B重合，舍去），当x＝－4时，y＝＝－10，当x＝－2时，y＝＝6，∴点E的坐标为（－4，－10）或（－2，6）.
【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；解一元一次方程；二次根式的化简

2. （2018天津中考）在平面直角坐标系中，点O（0,0），点A（1,0）.已知抛物线y=x2+mx-2m（m是常数），定点为P.
（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求定点P的坐标；
（Ⅱ）若点P在x轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】分析：（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
详解： （Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.

3. （2018省市，题号，分值）如图，已知顶点为C（0，-3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A、B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；
（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点的M坐标；若不存在，请说明理由．


【思路分析】（1）将C点坐标代入直线y=x+m中求出m；（2）令y=0，求出B点坐标，利用C点和B点坐标，由待定系数法求出二次函数解析式；（3）15°不是特殊角，因此我们考虑∠OCB度数，若∠OCB为45°或60°，则∠OCM为特殊角，可以利用特殊角求解，而又上一题知∠OCB为45°角，因此只需根据两种情况讨论∠OCM=30°或60°时直线CM与抛物线的交点即可.
【解题过程】解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m得m=﹣3；
（2）令y=0，则0=x﹣3，解得x=3，
∴点B的坐标为（3，0），
将C（0，﹣3）、B（3，0）代入y=ax2+b中，
可得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：

23题答题图
①当M在B上方时，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，
∴OD=OC•tan30°=，
设DC为y=k1x﹣3，将（，0）代入y=k1x﹣3，得k1=，
由，
解得（舍），，
所以M1（3，6）；
②当M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，
∴OE=OC•tan60°=3，
设EC为y=k2x﹣3，将（3，0）代入y=k2x﹣3，可得k2=，
由，
解得（舍），
所以M2（，﹣2），
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【知识点】待定系数法；一次函数；二次函数；解直角三角形
2. （2018四川乐山，23，10） 23.已知关于x的一元二次方程（m≠0）.
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与x轴交于A（x1,0）、B（x2，0）两点，且，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式的值.

【思路分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系及抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是注意理解相关性质；（1）由于二次项系数m≠0，故此方程必为一元二次方程，证明此方程的判别式△＞0即可；（2）抛物线与x轴的交点的横坐标即是当y=0时对应一元一元二次方程的两个根，利用因式分解法求出此一元二次方程的两个根，然后，再利用为相等关系列方程即可求解；（3）将（2）中所求的值代入抛物线中，得到抛物线的解析式，再根据点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上，发现P、Q关于对称，得到a与n之间的关系式，代入所求代数式中即可求解.
【解题过程】（1）证明：由题意得：
∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根 3分
（2）解方程，
得，， 4分
由，得.
解得或. 6分
（3）由（2）得，当m＞0时，m=1.
此时抛物线，
其对称轴为. 8分
由题意知，P、Q关于对称.
∴，即. 9分
∴ 10分
【知识点】一元二次方程的判别式；一元二次方程根与系数的关系；二次函数的性质

4. （2018黑龙江绥化，29，10分）已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A，和x轴的另一个交点为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，经过点M（-4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE·OF的值.
备注：抛物线顶点坐标公式（，）

【思路分析】（1）首先根据直线求出A点坐标，然后将A点坐标代入抛物线中求出m即可；
（2）首先过点D作DH平行于y轴交AB于点H，设D(n，)，H（n，），得出DH的表达式，然后根据DH越大时△ABD的面积最大得出答案；
（3）首先根据抛物线的方程得出C点坐标，设直线CQ的解析式为y=ax-a，直线CP的解析式为y=bx-b，分别与抛物线方程联立，解出和，然后设直线PQ的解析式为y=kx+d与抛物线方程联立，根据根与系数的关系得出和的值，进而得出ab的值，进而得出OE·OF.
【解题过程】解：（1）把y=0代入得x=-4，
∴A(-4,0).
把点A(-4,0)代入得，
∴抛物线的解析式为.
（2）过点D作DH平行于y轴交AB于点H.
设D(n，)，H（n，），
∴DH=()-()=，
∴当n=-1时，DH最大，最大值为，
此时△ABD面积最大，最大值为.
（3）把y=0代入，得，
∴，，
∴C(1,0).
设经过点C（1,0）的直线CQ的解析式为y=ax-a，经过点C(1,0)的直线CP的解析式为y=bx-b，
∴，
解得，，
∴，
同理，
∴Q点的横坐标是2a-4，P点的横坐标是2b-4.
设直线PQ的解析式为y=kx+d，把M(-4,1)代入，得y=kx+4k+1，
∴，
∴，
∴，.
∵，
解得.
又∵OE=-b，OF=a，
∴OE·OF=-ab=.

【知识点】待定系数法求二次函数的解析，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数最值以及一元二次方程根与系数的关系

5. （2018年江苏省南京市，24，8分）已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？
【思路分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
【解题过程】（1）证明：当时，.解得，.
当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.
（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.
当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.
【知识点】抛物线与x轴的交点 二次函数图象上点的坐标特征 解一元一次不等式

6.（2018浙江嘉兴，23，10）巳知，点M为二次函数图象的顶点，直线分别交x轴，y轴于点A、B．
（1）判断顶点M是否在直线上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A、B，且．根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．





【思路分析】（1）根据二次函数顶点式可以知道M（b，4b＋1），即x＝b，y＝4b＋1，消去b，得y＝4x＋b；
（2）由题意知B（0,5），二次函数过点B，代入解析式可求得b的值，求得A点坐标，再利用函数图象比较大小；
（3）先通过点M在△AOB内得到b的取值范围，也就是抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性和增减性解决y1，y2大小关系．
【解答过程】（1）∵点M坐标是（b，4b＋1），
∴把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1，
∴点在直线y＝4x＋1上．
（2）如图1，∵直线y＝mx＋5与y轴交于点B，∴点坐标为(0,5)．
又∵B(0,5)在抛物线上，
∴5＝﹣(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2，
∴二次函数的表达式为，
∴当时，得x1＝5，x2＝﹣1．∴　A(5,0)
观察图象可得，当时，
的取值范围为x＜0或x＞5．
（3）如图2，∵直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，
而直线AB表达式为y＝﹣x＋5，
解方程组，得 ． ∴点，F（0，1）．
点M在△AOB内，
∴．
当点C、D关于抛物线对称轴（直线x＝b）对称时，
，∴ ．
且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y＝4x＋1上，
综上：①当时，y1＞y2；
②当时，y1＝y2；
③当时，y1＜y2

23题图1 23题图2
7. （2018江苏苏州，25，8分）如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点．直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

【思路分析】 本题本题考查二次函数与一元二次方程的关系.
解答第（1）时，分别求出A，D两点的坐标，然后利用勾股定理可求出AD的长；
解答第（2）时，把二次函数配成顶点式，得到C’点的坐标，再求出直线CC’的解析式，最后把C’点的坐标解入直线即可求出二次函数的解析式.
【解答过程】
解：（1）由x2－4＝0解得x1＝2，x2＝－2．
∵点A位于点B的左侧，∴A(－2，0)．
∵直线y＝x＋m经过点A，∴－2＋m＝0，
∴m＝2，∴D(0，2)．
∴AD＝＝2．
（2）解法一：设新抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋bx＋2，
∴y＝x2＋bx＋2＝(x＋)2＋2－．
∵直线CC'平行于直线AD，并且经过点C(0，－4)，
∴直线CC'的函数表达式为y＝x－4．
∴2－＝－－4，整理得b2－2b－24＝0，解得b1＝－4，b2＝6．
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x＋2或y＝x2＋6x＋2．
解法二：∵直线CC'平行于直线AD，并且经过点C(0，－4)，
∴直线CC'的函数表达式为y＝x－4．
∵新抛物线的顶点C'在直线y＝x－4上，∴设顶点C'的坐标为(n，n－4），
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝(x－n)2＋n－4．
∵新抛物线经过点D(0，2)，
∴n2＋n－4＝2，解得n1＝－3，n2＝2．
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝(x＋3)2－7或y＝(x－2)2－2．

8. （2018四川眉山，26，11分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（0，3)，B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【思路分析】（1）将A、B及对称轴直线x＝2代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可求得a、b、c的值，从而得到函数解析式；
（2）过P作PM∥y轴，交直线OE与点M，由题意得P（m，m2－4m＋3），设四边形AOPE的面积为S，建立m与S的二次函数关系，利用二次函数性质求最大值．
（3）本题考查等腰直角三角形存在性问题，当△POF就是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，过点P作x轴平行线，容易发现有一线三等角型全等，由此得到点P到x轴的距离等于其到对称轴距离，从而列出关于m的方程，求解即可求得点P的坐标．
【解答过程】（1）将A（0，3）、B（1，0）和对称轴直线x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得：，解得：，所以函数解析式为y＝x2－4x＋3
（2）过P作PM∥y轴，交直线OE与点M．∵OE平分∠AOB，∴直线OE的函数表达式为y＝x，设P（m，m2－4m＋3），则M（m，m），则PM＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3，SAOPE＝S△AOE＋S△OPE＝×3×3＋×3×(－m2＋5m－3)＝(－m2＋5m)＝．
∴当m＝时，四边形AOPE面积的最大值为．

（3）假设存在点P使得△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形． 过点P作GH∥x轴，交y轴于点G，交对称轴于点H，容易证明△OPG≌△PFH，∴OG＝PH，又∵OG＝|m2－4m＋3|，PH＝|m－2|，
∴|m2－4m＋3|＝|m－2|，

当m2－4m＋3＝m－2时，解得m1＝，m2＝
∴P1(，)，P2(，)
当m2－4m＋3＝－(m－2)时，解得：m3＝，m2＝，
∴P3（，），P4（，）．
综上所述，P点的坐标为P1(，)，P2(，)，P3（，），
P4（，）．


9.（2018浙江舟山，23，10）巳知，点M为二次函数图象的顶点，直线分别交x轴，y轴于点A、B．
（1）判断顶点M是否在直线上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A、B，且．根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为(5,0)，点M在△AOB内，若点，都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．


【思路分析】（1）根据二次函数顶点式可以知道M（b，4b＋1），即x＝b，y＝4b＋1，消去b，得y＝4x＋b；
（2）由题意知B（0,5），二次函数过点B，代入解析式可求得b的值，求得A点坐标，再利用函数图象比较大小；
（3）先通过点M在△AOB内得到b的取值范围，也就是抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性和增减性解决y1，y2大小关系．
【解答过程】（1）∵点M坐标是（b，4b＋1），
∴把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1，
∴点在直线y＝4x＋1上．
（2）如图1，∵直线y＝mx＋5与y轴交于点B，∴点坐标为(0,5)．
又∵B(0,5)在抛物线上，
∴5＝﹣(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2，
∴二次函数的表达式为，
∴当时，得x1＝5，x2＝﹣1．∴　A(5,0)
观察图象可得，当时，
的取值范围为x＜0或x＞5．
（3）如图2，∵直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，
而直线AB表达式为y＝﹣x＋5，
解方程组，得 ． ∴点，F（0，1）．
点M在△AOB内，
∴．
当点C、D关于抛物线对称轴（直线x＝b）对称时，
，∴ ．
且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线y＝4x＋1上，
综上：①当时，y1＞y2；
②当时，y1＝y2；
③当时，y1＜y2


23题图1 23题图2