人教版高考物理一轮复习第14章机械振动与机械波光电磁波与相对论第1讲机械振动含答案

第1讲 机械振动

  [目标要求]

第1讲　机械振动

授课提示：对应学生用书第260页

一、简谐运动　单摆、单摆的周期公式

1．简谐运动

(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力

①定义：使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

(4)简谐运动的特征

①动力学特征：F回＝－kx。

②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。

③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。

  2.简谐运动的两种模型

二、简谐运动的公式和图象

1．简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢。

2．简谐运动的图象

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示。

三、受迫振动和共振

1．受迫振动

系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。

2．共振

做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。

授课提示：对应学生用书第261页

　　自主探究

1．描述简谐运动的物理量

2.简谐运动的“五大”特征

(1)动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

(2)运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

(3)运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

(4)对称性特征

①相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

③振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。

(5)能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

1．(多选)一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子运动问题的说法正确的是(　　)

A．振幅为0.1 m

B．周期为1.2 s

C．1.2 s内的路程是0.6 m

D．t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m

解析：t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，得t＝0时刻在负向最大位移处，则振幅为0.1 m，选项A正确；由于是第二次到正向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，T＝0.8 s，选项B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，选项C正确；t＝0.6 s时刻振子位于平衡位置，选项D错误。

答案：AC

2．(多选)(2021·辽宁鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为(　　)

A．0.53 s　　　　　　 B．1.4 s

C．1.6 s  D．2 s

解析：如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O →C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所用时间相等，即0.2 s。振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，所以周期可能为选项A、C。

答案：AC

3．(多选)如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的4倍，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。当细线突然断开后两物块都开始做简谐运动，在运动过程中(　　)

A．甲的振幅是乙的振幅的4倍

B．甲的最大速度是乙的最大速度的

C．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍

D．甲的振动频率是乙的振动频率的2倍

解析：线未断开前，对甲、乙整体，两弹簧的弹力等大，又因为两根弹簧相同，所以两根弹簧伸长的长度相同，离开平衡位置的最大距离相同，即振幅一定相同，故A错误；当线断开的瞬间，弹簧的弹性势能相同，到达平衡位置后，甲、乙的最大动能相同，由于甲的质量是乙的质量的4倍，由Ek＝mv2知道，甲的最大速度一定是乙的最大速度的，故B正确；根据T＝2π可知，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，根据f＝可知，甲的振动频率是乙的振动频率的，故C正确，D错误。

答案：BC

　方法技巧

分析简谐运动的技巧

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(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。

(3)求解简谐运动问题紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。

　　师生互动

1．简谐运动的数学表达式

x＝Asin(ωt＋φ)

2．简谐运动的图象

(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

3．图象信息

(1)由图象可以得出质点振动的振幅、周期和频率。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。

(4)确定某时刻质点速度的方向。

(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。

(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。

　利用图象分析简谐运动的运动学特征

[典例1]　(多选)如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，以Ob为正方向，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知 (　　)

A．振子的振动周期等于2t1

B．在t＝0时刻，振子的位置在a点

C．在t＝t1时刻，振子的速度为零

D．在t＝t1时刻，振子的速度最大

[解析]　从振动图象可以看出从振动图象可以看出，振子的振动周期为2t1，选项A正确；在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项B错误；在t＝t1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项C错误，D正确。

[答案]　AD

　利用图象分析简谐运动的动力学特征

[典例2]　(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是 (　　)

A．质点振动的频率为4 Hz

B．在10 s内质点经过的路程是20 cm

C．在5 s末，质点的速度为零，加速度最大

D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是  cm

[解析]　由题图可知，质点振动的周期为T＝4 s，故频率f＝＝0.25 Hz，选项A错误；在10 s内质点振动了2.5个周期，经过的路程是10A＝20 cm，选项B正确；在 5 s 末，质点处于正向最大位移处，速度为零，加速度最大，选项C正确；由题图图象可得，振动方程是x＝2sin(t)cm，将t＝1.5 s和t＝4.5 s 代入振动方程得位移大小均为 cm，选项D正确。

[答案]　BCD

简谐运动图象问题的两种分析方法

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方法一：图象与运动结合法

解此类题时，首先要理解x-t图象的意义，其次要把x-t图象与质点的实际振动过程联系起来。图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。

方法二：直观结论法

简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图象，不是物体的运动轨迹。

4．(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图象如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法正确的是(　　)

A．OB＝5 cm

B．第0.2 s末质点的速度方向是A→O

C．第0.4 s末质点的加速度方向是A→O

D．第0.7 s末质点位置在O点与A点之间

解析：由图(b)可知振幅为5 cm，则OB＝OA＝5 cm，A正确；由图(b)可知0～0.2 s内质点从B点向O点运动，第0.2 s末质点的速度方向是O →A，B错误；由图(b)可知，第0.4 s末质点运动到A点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C正确；由图(b)可知，第0.7 s末时质点位置在O点与B点之间，D错误。

答案：AC

5．(2021·山西太原高三检测)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象可能正确的是(　　)

解析：试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相平衡的位置，取竖直向上为正方向，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，在平衡位置上方为正向最大位移，位移—时间关系图象是余弦曲线，故D正确，A、B、C错误。

答案：D

　　自主探究

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

2.对共振的理解

(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

6．(多选)(2021·湖北宜昌高三模拟)如图所示为两个单摆的受迫振动的共振曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线

B．若两个受迫振动是在地球上同一地点进行，则两个摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4

C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该单摆摆长约为1 m

D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的

解析：图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz。当两单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝ 可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，又因为g地>g月，因此可推知图线 Ⅰ 表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若在地球上同一地点进行两次受迫振动，g相同，摆长长的f小，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ是在地面上完成的，根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确，D错误。

答案：ABC

7．(多选)图甲为一弹簧振子自由振动(即做简谐运动)时的位移随时间变化的图象，图乙为该弹簧振子在某外力的作用下做受迫振动时的位移随时间变化的图象，则(　　)

A．由图甲可知，该弹簧振子的固有周期为4 s

B．由图乙可知，该弹簧振子的固有周期为8 s

C．由图乙可知，外力的周期为8 s

D．如果改变外力的周期，在接近4 s的附近该弹簧振子的振幅较大

解析：图甲是振子做自由振动时的图象，其周期为该弹簧振子的固有周期，故由图甲可知，其固有周期为T0＝4 s；图乙是振子做受迫振动的图象，其周期为振子实际振动的周期，也为驱动力的周期，即驱动力的周期为8 s，故A、C正确，B错误。当驱动力的频率等于振子的固有频率时，振子的振动达到最强，故当T在4 s附近时，该弹簧振子的振幅较大，故D正确。

答案：ACD