初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试练习

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专题03 高分突破-二次函数小题重难点题型分类（解析版）
题型一: 二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣4 B．y＝ax2+bx+c C．y＝（x+1）2﹣5 D．y＝
【解答】解：A、y＝3x﹣4，是一次函数，错误；
B、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，错误；
C、y＝（x+1）2﹣5，是二次函数，正确，
D、y＝，不是二次函数，错误．
故选：C．
2．已知函数y＝（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（　　）
A．m＝2 B．m＝﹣2 C．m＝±2 D．m≠0
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，∴|m|＝2且m﹣2≠0，解得m＝﹣2．
故选：B．
题型二: 二次函数的图像与性质
3．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1，最大值是2 B．对称轴是直线x＝1，最小值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2 D．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2
【解答】解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x＝1，开口方向向下，所以有最大值y＝2，故选：A．
4．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
【解答】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
5．抛物线y＝+2x+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【解答】解：y＝+2x+1＝（x2+4x）+1＝（x+2）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（﹣2，﹣1），
故选：A．
6．二次函数y＝﹣x2﹣6x﹣7图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（　　）
A．向下，直线x＝3，（3，2） B．向下，直线x＝﹣3，（3，2）
C．向上，直线x＝﹣3，（3，2） D．向下，直线x＝﹣3，（﹣3，2）
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣6x﹣7＝﹣（x+3）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，2），
故选：D．
7．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（　　）

A. B. C. D.
【解答】解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
8．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A. B. C. D.
【解答】解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
题型三: 二次函数的增减性
20． 已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上有两点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2），则y1　 　y2．（用＞、＜、＝填空）．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上的两点，﹣7＞﹣8，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
9．点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜3 B．3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜3 D．3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵点（﹣1，3）在对称轴上，﹣3＜﹣2，∴y1＜y2＜3．
故选：A．
21．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　（用“＜”连接）．
【解答】解：抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵a＝2＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵点A（﹣2，y1）的对称点为（0，y1），∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3
题型四: 二次函数的平移
22． 把抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为　 　．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）．可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝（x+1）2﹣2．
故答案是：y＝（x+1）2﹣2．
23． 把抛物线y＝2（x﹣1）2+1向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式　 　．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+1顶点坐标为（1，1），点（1，1）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为（0，3），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2x2+3．故答案是y＝2x2+3．
10．将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
题型五: 二次函数与方程
24． 若二次函数y＝ax2﹣bx+5（a≠5）的图象与x轴交于（1，0），则b﹣a+2014的值是　 　．
【解答】解：把（1，0）代入y＝ax2﹣bx+5得a﹣b+5＝0，所以b﹣a＝5，所以b﹣a+2014＝5+2014＝2019．
故答案为2019．
11．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝3．
故选：A．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）．
故选：D．
25．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则点B的坐标是　 　．

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
题型六: 二次函数与不等式
26．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　．

【解答】解：如图所示，图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0），故当y＜0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线
x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
28．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为　 　．

【解答】解：依题意得求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，而y＝x2+bx+c的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为A（1，0），B（3，2），结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：1＜x＜3．
故填空答案：1＜x＜3．
29．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是　 　．

【解答】解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．
故答案为x＜﹣2或x＞8．
题型七：二次函数图像与系数关系
13．如图所示为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在坐标系中的位置，以下六个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0；⑤a+b+c＜0；⑥2a+b＞0．其中正确的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x＝﹣＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＞0，正确；
④抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确；
⑤由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，错误；
⑥由图象可知：对称轴x＝﹣＞0且对称轴x＝﹣＜1，∴2a+b＞0，正确；
故选：B．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②当m≠1时，a+b＞am2+bm；③a﹣b+c＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由图象可得，该函数的对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，得2a+b＝0，故①正确；
该函数当x＝1时取得最大值，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，故②正确；
当x＝3时，y＜0，则当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③错误；
若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1×2＝2，故④正确；
故选：C．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论中：①abc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，c＞0，因此abc＜0，故①正确；
对称轴x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，因此②正确；
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y＝2有两个不同交点，因此方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），根据对称性可得与x轴的另一个交点为（﹣2，0），因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c的值最大，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③④⑤，
故选：A．
16．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，
∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；
故选：A．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③a+b+c＜0；④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣＝1，即2a+b＝0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①错误；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②正确；
∵x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，选项③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b＝﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，
故选：C．

题型八： 二次函数的小压轴题
31． 抛物线y＝x2﹣x﹣3与直线y＝x+b交于A、B两点，且，则b＝　 　．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与直线y＝x+b交于A、B两点，∴x2﹣x﹣3＝x+b，
∴x2﹣2x﹣3﹣b＝0，∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣3﹣b，∵AB＝2，∴|x1﹣x2|＝2，∴4+12+4b＝12，
∴b＝﹣1，
故b＝﹣1。
18．若二次函数y＝x2+mx+m﹣3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是（　　）
A．2 B．0 C．2 D．无法确定
【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣3＝0．解得x1＝，x2＝，
∴|x1﹣x2|＝，∴当m＝2时，|x1﹣x2|取最小值为2，
故选：C．
32．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是　 　．

【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），∴AB＝3，y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
∴顶点D（1，10），由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，此时S△PAB＝×2AB＝×2×3＝3，
当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，此时S△PAB＝×10AB＝×10×3＝15，
∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；
19．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A． t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8
【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
y＝（x﹣1）2﹣1，x＝1时，y＝﹣1，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故选：C．