知识点28 全等三角形2018--2

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一、选择题1. （2018黑龙江省龙东地区，18，3分） 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ）A．15  B．12．5  C．14．5  D．17【答案】B【解析】延长CB至点M，使BM＝DC，连接AM．∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠ADC＋∠ABC＝360°－（∠DAB＋∠DCB ）＝180°，∵∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠ADC＝∠ABM．∵AB＝AD，∴△ADC≌△ABM，∴AC＝AM，∠DAC＝∠BAM，∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∴∠BAM＋∠CAB＝90°，即∠CAM＝90°，∵AC＝5，∴AM＝5，∴S△ACM＝×5×5＝．∵△ADC≌△ABM，∴S△ADC≌S△ABM，∴S四边形ABCD＝S△ACM＝＝．故选B．【知识点】全等三角形的判定和性质；三角形的面积；四边形的内角和 2. （2018年江苏省南京市，5，2分）  如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（    ）A．         B．       C.         D．【答案】D【解析】∵，，，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故选 D.【知识点】全等三角形的性质与判定 3. （2018年黔三州，7,4）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（    ）A.甲和乙        B. 乙和丙        C. 甲和丙       D.只有丙【答案】B【解析】由边角边判断条件有图C知三角形与左图三角形全等，由角边角判断条件知，图C三角形与左边三角形全等.【知识点】全等三角形判定，三角形内角和 4. （2018四川巴中，7，4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（  ）A. 甲和乙         B. 乙和丙         C.  甲和丙          D.只有丙【答案】B.【解析】依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等，依据AAS全等判定可得丙三角形△ABC全等，由于条件不足，不能判定甲与△ABC全等，故选B.三、解答题1. （2018广西省桂林市，21，8分）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．【思路分析】（1）利用SSS定理即可证明△ ABC≌△DEF；（2由三角形内角和定理求出∠C的度数，再利用全等三角形对应角相等可求得∠F的度数．【解题过程】解：(1)∵AD＝CF，∴AD＋CD＝CF＋CD，即 AC＝DF，则在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（SSS）；(2)在△ABC中，∵∠A＝55°，∠B＝88°，又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°―∠A―∠B＝37°，又∵△ABC≌△DEF（SSS），∴∠F＝∠C＝37°．【知识点】全等三角形的性质和判定；三角形内角和定理 2. （2018广西省柳州市，20，6分）如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.第20题图求证：△ABC≌△EDC.【思路分析】根据已知条件和图形中的对顶角相等，利用ASA判定该两个三角形全等即可.【解题过程】证明：∵∠ACB与∠ECD是对顶角，∴∠ACB＝∠ECD.                                         ………………1分在△ABC和△EDC中，                     ∴△ABC≌△EDC(ASA).                                    ………………6分【知识点】全等三角形的判定 3. （2018四川乐山，19，9）如图9，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD. 【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目所给的条件，利用“角边角”判定两个三角形全等即可.通常地：（1）三角形全等的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形).（2）全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，对应边成比例.【解题过程】证明：在△ABC和△ABD中，∵∠3=∠4，∠3+∠ABC=∠4+∠ABD，∴∠ABC=∠ABD，-----------------------------------------3分又∵∠1=∠2，AB=AB，∴△ABC≌△ABD.-------------------------------------------7分∴BC=BD.-------------------------------------------------9分【知识点】全等三角形的判定和性质 4. （湖北省咸宁市，18，7）已知：.求作：使作法：(1)如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)如图2，画一条射线,以点为圆心长为半径画弧，交于点于点； (3)以点为圆心，长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点； (4)过点 画射线，则 .根据以上作图步骤，请你证明. 【思路分析】由画一条射线,以点为圆心长为半径画弧，交于点于点可得OC=O′C′，由以点为圆心，长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点可得OD=O′D′，CD=C′D′，从而【解题过程】证明：由作图步骤可知，在和中，,.即.【知识点】三角形全等；尺规作图 5. （2018贵州铜仁，20，10）已知，如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB.【思路分析】根据AD=BC推导AC=BD，联系已知条件，根据SSS判断△ACE≌△BDF说明结论．证明：∵AD=BC，∴AD+CD=BC+CD，即AC=BD，又∵AE=BF，CE=DF，∴△ACE≌△BDF，∴∠A=∠B，∴AE∥FB. 6.（2018江苏苏州，21，6分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．【思路分析】 解答本题时，先根据边角边判定△ABC≌△DEF，再由全等三角形的性质得到∠BCA=∠EFC，由此判别BC∥EF.【解答过程】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D．∵AF＝DC，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF． 7. （2018云南省昆明市，15，6分）如图，在△ABC中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路分析】根据已知条件，利用ASA定理，证明△ABC≌△ADE即可．【解题过程】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，则在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC＝DE．【知识点】全等三角形的性质和判定 8. （2018黑龙江哈尔滨，24，8）已知:在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．(1)如图1，求证:AD＝CD;(2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．        (图1)                      (图2)【思路分析】（1）问由两个垂直可知∠BGE＝∠BDC，又因为∠BGE＝∠ADE，所以∠BDC＝∠ADE，之后易证∠DAC＝∠DCA，所以AD＝CD．（2）问根据比例解设边长，即可求出△ADE面积的2倍的三角形．【解答过程】(1)证明:∵AC⊥BD∴∠AED＝∠DEC＝∠BEG＝90°∴∠BGE＋∠EBG＝90°∵BF⊥CD∴∠BFD＝90°∴∠BDF＋∠EBC＝90°∴∠BCE＝∠BDF∵∠BGE＝∠ADE∴∠ADE＝∠BDF∵DE＝DE∴△ADE≌△CDE∴AD＝CD(2)△ACD，△ABE，△BCE，△GBH． 9.（2018云南，16，6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC．【思路分析】由条件并结合图形可知，利用“SAS”证明△ABC≌△ADC．【解答过程】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝DAC．在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC．