知识点38 相似、位似及其应用2018--3

这是一份知识点38 相似、位似及其应用2018--3，共94页。试卷主要包含了 如图， ，则竹竿的长为等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. （2018广东省，7，3）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方，由中位线性质知相似比为1:2，所以△ADE与△ABC的面积之比为
【知识点】中位线；相似三角形

2. （2018黑龙江省龙东地区，20，5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1．则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝；③S平行四边形ABCD＝AB·AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D
【思路分析】由于条件和结论较多，需要逐条分析、综合思考、分层落实．由已知条件容易得到的结论首先是：∠BAD＝120°，∠BAE＝60°，∠ABE＝60°，AB＝DC＝1，BC＝AD＝2，OA＝OC，OB＝OD；然后得到的结论是：△ABE是等边三角形，AB＝AE＝BE＝EC，OE是△ABC的中位线，OE∥AB，OE＝AB；进一步得到的结论是：OP＝BP＝OB＝BD，∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAC＝90°．分析到这个程度后，问题自然就获解了．
【解题过程】解：对于①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＝60°，∴∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，又∵AB＝BC＝1，∴AB＝AE＝BE＝EC＝1，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；
对于②，∵BD＝2BO，BO＝，AO＝AC，AC＝＝，∴BD＝，故②正确；
对于③，S平行四边形ABCD＝AB·AC刚好符合平行四边形的面积公式，故③正确；
对于④，OE＝AB，AB＝AD，∴OE＝AD，故④正确；
对于⑤，由③得S平行四边形ABCD＝AB·AC＝．∵BE＝EC，AO＝OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，OE＝AB，∴OP＝BP＝OB＝BD，∴S△APO＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝，故⑤正确．
【知识点】平行四边形的性质；等边三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质；三角形的中位线；比例线段；相似三角形的性质；勾股定理；三角形的面积公式；平行四边形的面积公式

3. （2018四川乐山，4，3） 如图2，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）.
A.EG=4GC B. EG=3GC C. EG=GC D. EG=2GC

图2
【答案】B
【思路分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理得到正确的比例式.
【解析】 解：∵DE∥FG∥BC，∴，又∵DB=4FB，∴，∴，∴，故选择答案B.
根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系，找出已知条件最多的一组进行解答.
【知识点】平行线分线段成比例定理


4. (2018甘肃省兰州市,7,4分) 如图,边长为4的等边△ABC中,D､E分别是AB､AC的中点,则△ADE的面积是( )
A. B. C. D.
(第7题)
C
A
E
D
B

【答案】A
【解析】边长为4的等边三角形的面积为×4×2=4,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE∽△ABC,所以S△ADE:S△ABC=1:4,所以S△ADE=×4=,故选A｡
【知识点】三角形中位线 相似三角形的判定和性质

5. （2018黑龙江绥化，9，3分）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（ ）
A．14cm B．16cm C.18cm D．30cm
【答案】D.
【解析】解：∵两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，
∴两个相似三角形的相似比为.
设较小的三角形的周长为cm，则较大的三角形的周长为(+12)cm，
根据相似三角形的性质可得：，解得x=18，
故大三角形的周长为18+12=30cm.
故选D.
【知识点】相似三角形性质

6.（2018浙江嘉兴，12，4） 如图.直线l1∥l2∥l3．直线AC交l1，l2，l3于点A、B、C；直线DF交l1，l2，l3于点D、E、F，已知， ．

【答案】2 【解析】∵，∴,∵l1∥l2∥l3，∴．
7. （2018贵州省毕节市，11，3分）在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为:O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，与△OAB位似，若B点的对应点的坐标为(0，－6)，则A点的对应点坐标为（ ）
A．(－2， －4) B．(－4， －2) C．(－1，－4) D．(1， －4)
【答案】A．
【解题过程】如下图，点的坐标为(－2， －4)，故选A．

【知识点】位似；点的坐标

8. （2018贵州省毕节市，14，3分）如图，在矩形ABCD中,AD=3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB,则折痕AM的长为( )[来源:学|科|网]
A．3 B． C． D．6[来源:学科网ZXXK]
【答案】B．
【思路分析】由题意可得，∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，可得∠NAB＝30°，再用特殊角的三角函数值可求出折痕AM的长．
【解题过程】解：由题意可得，∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形是矩形，∴∠DAB＝90°，又∵∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB＝30°，则在则在Rt△DEF中，∵BC＝60，∴sin∠MAN＝，即，解得AM＝，故选B．

【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；角平分线的性质；折叠的性质

9.（2018贵州省毕节市，12，3分）如图,在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为( )
A．2:5 B．3:5 C．9:25 D．4:25
【答案】C．
【思路分析】证明△DEF∽△BAF，即可证得，可得△DEF与△BAF的面积之比．
【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠EDF＝∠ABF，∠DEF＝∠BAF，∴△DEF∽△BAF，又∵DE:EC=3:2,∴，∴，故选C．

【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质和判定；平行的性质

10. （2018吉林省长春市，6，3）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有杆不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为
（A）五丈 （B）四丈五尺 （C）一丈 （D）五尺
【答案】B
【解析】本题是利用相似求物高的问题，默认已知条件：太阳光是平行光线；同一时刻，甲物高/乙物高=甲影长/乙影长.看实际问题：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸.提取关键信息：标杆高度-----一尺五寸，标杆影长----五寸，竹竿高度----未知数，竹竿影长一丈五尺，画出草图，设竹竿高度为，建立数学模型：，解得=四丈五尺.
【知识点】相似，数学文化，方程思想.

11. （2018江苏扬州，8，3）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．① C．①② D．②③
【答案】A
【解析】由已知：AC=AB，AD=AE，∴；∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正确；
∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA；∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP•MD=MA•ME
所以②正确；
∵∠BEA=∠CDA，∠PME=∠AMD，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APD=∠EAD=90°；
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2=CP•CM，∵AC=AB，∴2CB2=CP•CM
所以③正确；故选A．
【知识点】相似三角形的性质和判定

12. （2018广西贵港，10，3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝
A．16 B．18 C．20 D．24

【答案】B
【解析】设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为（16＋S），由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，所以＝()2＝()2＝，解得S＝2，所以S△ABC＝16＋2＝18，故选B．

13. （2018贵州铜仁，6，4）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A.32 B. 8 C.4 D.16
【答案】C，【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC和△DEF的面积从为4︰1，且△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为4.

14. （2018内蒙古包头，12，3分）如图5，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD
＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，则
DF的长为 ( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接DE
∵∠BDC＝90°
∴DE＝BE＝＝2
∴∠CBD＝∠EDB＝30°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝30°
∴AB∥DE
∴△DEF∽△BAF
∴
易求得AB＝3，∴
∴,故选择D.


【知识点】相似三角形的性质；含有30°角的直角三角形的性质

15. （2018山东莱芜，12，3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G. 有以下结论：①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG·FC；④EG·AE=BG·AB．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C
【思路分析】结论①由AE＝AD＝BC显然成立；结论②可证明△AFE≌△CFB；结论③只要说明△FBG与△FCB不相似；结论④可过点F作FI⊥DC于点I，交AB于点H，利用△FEG∽△FDC和tan∠FAH＝tan∠BCG得证．
【解题过程】对于结论①，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠ADC＝90°；∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠CDE＝45°，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，又∵AD＝BC，∴AE＝BC，结论①正确；对于结论②，∵在△BFE中，∠BEF＝∠AED＝45°，而∠∠BFE＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，而∠AEF＝∠CBF＝135°，∴△AFE≌△CFB，∴AF＝CF，结论②正确；对于结论③，∵∠BFG＝∠CFB，而∠FGB＝∠FEB＋∠EFG＜45°＋90°＝135°＝∠FBC，∴△FBG与△FCB不相似，结论③不正确；对于结论④，过点F作FI⊥DC于点I，交AB于点H，∵DC∥AB，∴△FEG∽△FDC，∴＝，∴＝＝＝tan∠FAH，而＝＝tan∠BCG；又由△AFE≌△CFB，得∠FAH＝∠BCG，∴＝，∴EG·AE＝BG·AB．结论④正确；故答案为C．

【知识点】矩形的性质；全等三角形；相似三角形；锐角三角函数；等腰三角形的性质与判定


16.（2018黑龙江哈尔滨，10，3）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝


【答案】D，【解析】∵GE//BD∴＝又∵GF//AC∴＝∴＝


17. （2018湖北随州6，3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ）

A．1 B． C．－1 D．＋1
【答案】C．
【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．由于DE把△ABC分成面积相等的两部分，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，得＝()2＝，所以＝，故＝＝－1．

18. (2018湖南邵阳，8，3分)如图(三)所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x
轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是( )
A．2 B．1 C．4 D．2

图(三)
【答案】A，【解析】根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，可得＝，因为AB＝4，所以CD＝2．故选A．

19.（2018内蒙古包头，11，3分）如图4，在平面直角坐标系中，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2： 与直线l1在第一象限交于点C，若∠BOC＝∠BCO，则k的值为 ( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，令x＝0，得y＝1，∴OB＝1；令y＝0，得x＝，∴OA＝；
在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝
∵∠BOC＝∠BCO
∴BO＝BC＝1
∴AC＝3－1＝2
作CD⊥OA于点D
则△ADC∽△AOB
∴，即，得
将代入得,∴C（）
将C（）代入得，故选择B.


【知识点】一次函数的性质；相似三角形的性质

20. （2018年浙江省义乌市，7，4）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【答案】C
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD(对顶角相等) ，∴△AOB∽△COD
∴，∴CD =0.4m，故选择C
【知识点】相似三角形的应用


二、填空题
1. （2018广西省柳州市，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠DCA＝30°，AC＝，AD＝，则BC的长为_________.

第18题图

【答案】2或5
【解析】过点A作AE∥BC，AE与CD的延长线交于点E，则∠CAE＝90°.∵∠ECA＝30°，AC＝，∴AE＝1.设BC＝a，由AE∥BC可知△BCD∽△AED，∴＝，即＝，∴BD＝a.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝BC2＋AC2，得：(a＋)2＝a2＋()2，解得：a＝2或a＝5.故BC的长为2或5.

【知识点】勾股定理、相似三角形


2. （2018黑龙江省龙东地区，10，3分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2面积为S1，△B2C1B3面积为S2，△B3C2B4面积为S3，如此下去，则Sn＝________．

【答案】（或写成等其他形式）
【思路分析】首先要明确，图中所有的阴影直角三角形都是含30°的直角三角形，它们都是相似的，对于每一个含30°角的直角三角形，其三边之比为1：2：．在此基础上，利用相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
【解题过程】依题意得B1C＝1，B2C＝，B1B2＝，又B1B2＝B2C1，∴B2C1＝，∵∠C＝∠C1＝60°，∠B1B2C＝∠B2B3C1＝90°，∴△B1B2C∽∠B2B3C1，∴，∴＝；同理可得＝＝×；＝××；…，∴＝＝．∵＝＝＝，∴Sn＝×＝．
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的性质；勾股定理

3. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号17，分值3）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B(，3)在射线ON上，以 AB为直角边作Rt△以为直角边作第二个Rt△，以为直角边作第三个Rt△，……，依此规律，得 到Rt△，则点的纵坐标为_______.


【答案】
【解析】∵A（，1），B（，3），由图可知，x轴∥∥∥……
∴△∽△∽△……，∠=30°，AB=2，∴=2，=6，则点的纵坐标为9=3²，的纵坐标为27=3³，……，以此类推，的纵坐标为.∴的纵坐标为.
【知识点】相似三角形的判定与性质，特殊角三角函数的应用，坐标点与图象的关系.

4. （2018年黔三州，20,3）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 .

【答案】60
【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°.
∵∠BAC=45°，∴AE=EB.
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBE.
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，∴=，∴=.
整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60．
【知识点】三角形高，全等三角形、一元二次方程


5. （2018辽宁省沈阳市，16，3分）如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH，CH，当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= .

第16题图
【答案】
【解析】在△BDH和△ADB中，∴△BDH∽△ADB.
∴. ∴.
如图， AE⊥BC与点E，∵∠AHC=90°，∴∠CHD=∠AED=90°.
在△CHD和△AED中，∴△CHD∽△AED.
∴. ∴
∴
在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴BE=CE=BC=AB=.
∴由，得，即.
解得DE=. ∴BD=BE-DE=-=.
又∵AE=，
∴AD=.
∴由，得=.解得DH=.

【知识点】相似三角形的判定及性质；勾股定理；等边三角形的性质.

6. （2018青海，7，2分）如图3，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且,则= .

图3

【答案】
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC
∴==，∴==
【知识点】位似

7. （2018江苏常州，18，2）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是_______．

【答案】 【解析】如下图，当P在AC上运动时，都有PE∥BC，PG∥AB，∠APD=∠B，有三种相似，即△CPG∽△CAB，△APD∽△ABC，△APD∽△ABC，

当∠CPF=∠B时，点F如果与B重合如下图，
则△CBP∽△CAB，∴ ，求得CP=1，∴PA=3，

所以AP的取值范围是：.

8. (2018辽宁葫芦岛，16，3分)如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心，大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD分别交OP、ON于点E、F，若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝__________．


【答案】2，
【解析】由垂线的作法得AD⊥ON，由OP平分∠MON得∠PON＝30°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AOF∽△OEF，利用相似三角形的对应边成比例得＝．利用锐角三角函数求得OE， OF，OA可得．
解：∵AD⊥ON，∠MON＝60°，∴∠OAD＝30°．
∵∠PON＝∠MON＝30°，∴△AOF∽△OEF．∴＝．
∵EF＝1，∴OE＝2， OF＝．
∴＝．
∴OA＝2．

9.(2018辽宁葫芦岛，17，3分)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠得到△BEF，且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若，则＝__________．

【答案】，
【解析】连接EG，证△EFG≌△EDG．得DG＝FG，∠DEG＝∠FEG．又因为折叠，所以∠DEG＝∠FEG．所以∠BEG＝90°．∵，∴．∵AD＝BC＝BF，∴．∵△EFG∽△BFE，∴EF2＝BF·FG．∴EF＝BF．∴CD＝2 EF＝BF．即＝＝．


10. （2018内蒙古包头，18，3分）如图7，在£ ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，
且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF
的值为 .

【答案】
【思路分析】由3AE＝2EB得；由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC，所以求出的值，又因为S△AEF＝1，所以求出S△ABC＝，又因为AC是对角线，所以S△ADC＝，又因为，求出S△ADF=.
【解题过程】
解：∵3AE＝2EB
∴
∵EF∥BC易证得△AEF∽△ABC，
∴，
又∵S△AEF＝1，
∴S△ABC＝，
∵AC是对角线，
∴S△ADC＝，
又∵，∴S△ADF＝.

【知识点】平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质

11. （2018内蒙古包头，20，3分）如图9，在Rt△ACB中，∠ACB＝25°，AC=BC，D
是AB上的一个动点（不与点A、B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到
CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE.下列结论：

①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF·CA；
④若AB＝，AD＝2BD，则AF＝.
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【思路分析】该题运用旋转的性质推出△ACE≌△BCD；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AED；利用等腰直角三角形的三边关系及转化思想证明DE2＝2CF·CA；利用三角形和DE2＝2CF·CA这个结论求出AF的值.
【解题过程】①由题意易得∠BCD＝∠ACE，由“边角边”证明△ACE≌△BCD，故①正确；
②∵△ACE≌△BCD
∴∠CAE＝∠CBD＝45°
∵∠BCD＝25°
∴∠ACE＝∠BCD＝25°
∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝(180°－25°－45°)－45°＝65°，故②正确；
③∵∠CAE＝∠CED＝45°,∠ACE＝∠ACE
∴△ACE∽△ECF
∴，即
在Rt△DCE中，
DE2＝2CF·CA，故③正确；
④作DM⊥BC于点M
∴DM＝BM＝1
∴CM＝3－1＝2
∴DC＝CE＝
由③可知DE2＝2CF·CA，
∴
∴
∴,故④错误.

【知识点】旋转的性质；全等三角形的性质；相似三角形的性质


12. （2018上海，17，4分）如图4，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 .

【答案】 ，【解析】作AH⊥BC于点H，交GF于点I，设正方形的边长是x.因为△ABC的面积是6，所以，又因为BC=4，所以AH=3，AI=3－x，因为正方形DEFG，所以GF∥BC，所以,，解得，所以正方形的边长是.


13. （2018四川巴中，20，3分）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为 .

【答案】60.
【解析】先推导出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE＝BE，
利用同角的余角相等求出∠1＝∠2，然后利用“角边角”证明△AFE和△BCE全等；
求出BC的长为6＋4＝10，再根据全等三角形对应边相等可得AF＝BC＝10，然后求出△ACD和△BFD相似，设DF＝x．∵△ADC∽△BDF，∴，∴，
整理得x2＋10x﹣24＝0，解得x＝2或﹣12（舍弃），∴AD＝AF＋DF＝12，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×10×12＝60．故答案为60．



14. （2018贵州贵阳，15，4分）如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为 .

【答案】
【解析】过点A作AM⊥DG于M，交BC于N.由题意知，要使矩形EFGD的对角线最小，则该矩形为正方形.∵DG//BC，∴△ADG∽△ABC.设正方形EFGD边长为x，∴，即.解之，x＝.∴在Rt△EFG中，根据勾股定理知，对角线EF＝.



15. (2018湖南邵阳，12，3分)如图(六)所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：________________．

图(六)
【答案】：△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意写一对即可)，【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以△ADF∽△ECF；因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以△EBA∽△ECF; 因为△ADF∽△ECF∽△EBA，所以△ADF∽△EBA．

16.（2018L辽宁省抚顺市，题号17，分值3）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0)，O(0,0),B(8,-6),点M为OB的中点，以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A’O’B’,点M’为O’B’的中点，则MM’的长为_________.

【答案】或
【解析】由题可知，OA=8,AB=6,点O与点O’重合，∴OB=10，OM=5，OM’=.当△A’O’B’在第四象限时，MM’=OM-OM’=；当△A’O’B’在第二象限时，MM’=OM+OM’=.
【知识点】位似图形的性质，勾股定理.

17. （2018辽宁省抚顺市，题号18，分值3）如图，正方形AOBO的顶点A的坐标为A（0,2），为正方形AOBO的中心；以正方形AOBO的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形, 为正方形的中心；再以正方形的对角线为边，在的右侧作正方形,为正方形的中心；再以正方形的对角线为边，在的右侧作正方形，为正方形的中心；…；按照此规律继续下去，则点的坐标为______.

【答案】（）
【解析】由图可知，上有点，上有点, 上有点，…可得点在上，即点的纵坐标为点纵坐标的一半，横坐标与点，的横坐标相同.设直线交x轴于点C，∴Rt△COA∽Rt△CB∽Rt△C∽Rt△……这些直角三角形均为等腰直角三角形，且后一个三角形和前一个三角形的相似比为2:1，已知A（0,2），OC=OA，∴的纵坐标为，横坐标为，∴点（，）.
【知识点】等腰直角三角形的性质，图形与坐标点之间的关系，正方形的性质，相似三角形的性质，探索数字规律.

18. （2018·宁夏，12，3）已知＝，则的值是_______________．
【答案】－．
【解析】解法一：∵＝，
∴a＝b．
∴原式＝．
解法二：由题意可令a＝2k，b＝3k（k≠0），则原式＝．
【知识点】代数式的值；比例的基本性质

19.（2018云南，5，3分）如图，已知AB∥CD，若＝，则＝________．
（第5题图）

【答案】．
【解析】因为AB∥CD，所以△OAB∽△OCD，所以＝＝．

20. （2018浙江舟山，12，4） 如图.直线l1∥l2∥l3．直线AC交l1，l2，l3于点A、B、C；直线DF交l1，l2，l3于点D、E、F，已知， ．

【答案】2 【解析】∵，∴,∵l1∥l2∥l3，∴．

21. （2018辽宁锦州，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3:2，点A、B都在格点上，则点B1的坐标为

【答案】(-2,) ，【解析】：利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．注意象限与符号.


三、解答题
1. （2018海南省，23，13分）已知，如图11-1，在□ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图11-2，点G是边BC上任意一点(点G不与点B，C重合)，连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n·HK（ n为正整数)，求n的值．

【思路分析】（1）点E是AB中点，AD∥BC，易证得△ADE≌△BFE；（2）①AK∥HC，∠AKE=∠CHD，∠AEK=∠CDH，从而证得△AEK∽△CDH，，2AE=AB=CD，故HC=2AK；②由△AHD∽△GHF，得，2BG=AD=BF， ，易证得△AKD∽△CHF，，，HK=HD﹣KD=，故，因此求得n=4．
【解题过程】（1）证明：在□ABCD中，有AD∥BC，∴∠ADE=∠F，∵点E是AB中点，∴AE=BE，又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE．
（2）①在□ABCD中，有AB∥CD，AB=CD．∴∠AEK=∠CDH，∵AK∥HC，∴∠AKE=∠CHD，∴△AEK∽△CDH．∴．又∵E是边AB的中点，∴2AE=AB=CD，∴HC=2AK．
②当点G是边BC中点时，在□ABCD中，有AD∥BC，AD=BC，∴△AHD∽△GHF，∴．
由（1）得，△ADE≌△BFE，∴AD=BF，又∵G是BC中点，∴2BG=AD=BF，∴．
∵AD∥FC，∴∠ADK=∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH=∠CHK，∴∠AKD=∠CHF，∴△AKD∽△CHF．∴，∴，HK=HD﹣KD=，∴，∴n=4．
【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定

2. （2018黑龙江省龙东地区，26，8分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图1所示，求证：BC－DE＝；
（2）当点E在直线BD上移动时，如图2、图3所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

图1 图2 图3

【思路分析】由BC＝BD很容易发现：BC－DE＝BE，因此，此题事实上就是去判断BE与DF的数量关系，因此有两种基本思路，一是将DF向BE靠拢，二是将BE向DF靠拢．结合问题中的的数量关系，因此在“靠拢”的过程中要思考构造等腰直角三角形的几何模型．
思路1：根据前面的思考，结合∠ABD＝90°，因此考虑在AB上取一点G，使BG＝BE，如答图1，连接EG，则BE＝EG，接下来证明EG＝DF即可．
思路2：根据前面的思考，结合∠BDC＝45°，其对顶角也是45°，因此考虑过点F作BD的垂线，构造等腰直角三角形DFG，则FG＝DF，接下来证明FG＝BE即可．答图2，答图3，答图4，答图5都体现了这种思路．
此外，从相似三角形的角度也可以解决此题．
【解题过程】解：（1）证法1：如答图1，在AB上取一点G，使BG＝BE，连接EG，∵∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴△GBE是等腰直角三角形，∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵BC＝BD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠EDF＝135°，∴∠AGE＝∠EDF．∵BC＝BD，BC＝BA，∴BA＝BD，∴AG＝ED．∵∠AEF＝90°，∴∠FED＋∠AEB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠EAG，∴△FED≌△EAG，∴DF＝GE．在Rt△BEG中，由勾股定理得BE＝GE，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．
证法2：如答图2，作FG⊥BD，交BD延长线于点G，连接EC，则EA＝EC，∠BAE＝∠BCE，∵ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEG＝90°，∴∠FEG＝∠BCE，∵BC＝BD，∴∠BCD＝45°，∴∠BDC＝45°，∴∠FDG＝45°，∴∠ECD＝45°－∠BCE，∠EFD＝45°－∠FEG，∴∠ECD＝∠EFD，∴EC＝EF，∴AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝GF，在Rt△DFG中，由勾股定理得GF＝DF，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．
方法3：如答图3，取点F关于BD轴对称的点H，作FG⊥BD，交BD延长线于点G．类比方法2，问题可证．
方法4：如答图4，连接AD，作EH⊥BD，交AD于点H，作FG⊥BD，交BD延长线于点G．先证明△AHE≌△FDE，得AE＝EF，再证明△ABE≌△EGF，问题可证．
方法5：作FG⊥BD，交BD延长线于点G．∵∠EAB＝∠FEG，∠ABE＝∠EGF＝90°，∴△ABE∽△EGF，∴，∵AB＝BD，DG＝GF，∴，即，∴，∴BE＝DG，∴BE＝GF，在Rt△DFG中，由勾股定理得GF＝DF，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．
（2）图2中，猜想DE－BC＝DF．图3中，猜想BC＋DE＝DF．



答图1 答图2 答图3

答图4 答图5
【知识点】全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理

3. （2018黑龙江省龙东地区，28，10分） 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（－3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO＝．点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．
（1）求点D坐标；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．


【思路分析】对于（1），根据点B坐标和锐角三角函数值可求OC和BC的长，得到点C的坐标，根据菱形的性质得到CD的长，从而得到点D的坐标；对于（2），分两种情况，第一种，直线l扫过的图形是矩形，利用矩形面积公式即可求解，第二种，直线l扫过的图形是矩形和梯形的组合图形，分别利用面积公式即可求解；对于（3），分三种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质，求解过程用全等三角形的判定和性质即可．
【解题过程】解：（1）∵点B坐标（－3，0），∴OB＝3，∵sin∠CBO＝，∴OC＝4，BC＝5，C（0，4）．∵菱形ABCD，∴CD＝BC＝BA＝5，CD∥BA，∴D（5，4）．
（2）依题意知OP＝t，由（1）知OC＝4，OA＝BA－OB＝2．
①当0≤t≤2时，如答图1，S＝OP×OC＝4t；
②当2＜t≤5时，如答图2，AP＝OP－OA＝t－2，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠SAP，∴△CBO∽△SAP，∴，∴，∴SP＝，∴S△APS＝＝＝，∴SOASRC＝S矩形OPRC－S△APS＝4t－（）＝．
综上，S关于t的函数关系式为S＝．


答图1 答图2
（3）点Q的坐标为（，）或（1，－3）或（4，1）．
①如答图3，当BQ＝CQ时，延长PQ交CD于点M，∵∠BQC＝90°，∴∠BQP＋∠CQM＝90°，∵∠CQM＋∠QCM＝90°，∴∠BQP＝∠QCM，∴△BQP≌△QCM，∴CM＝QP，QM＝BP，又∵CM＝OP，∴OP＝QP＝t，∴QM＝PM－QP＝4－t，BP＝BO＋OP＝3＋t，∴4－t＝3＋t，∴t＝，∴Q1（，）．
②如答图4，当BQ＝BC时，∵∠CBQ＝90°，∴∠CBO＋∠PBQ＝90°，∵∠PBQ＋∠BQP＝90°，∴∠CBO＝∠BQP，∴△CBO≌△BQP，∴BP＝CO＝4，PQ＝OB＝3，∴OP＝BP－OB＝1，∴Q2（1，－3）．
③如答图5，当CB＝CQ时，∵∠BCQ＝90°，∴∠BCO＋∠OCQ＝90°，∵∠OCQ＋∠QCM＝90°，∴∠BCO＝∠QCM，∴△BCO≌△QCM，∴CM＝CO＝4，MQ＝OB＝3，∴PQ＝MP－MQ＝1，∴Q3（4，1）．
综上，点Q的坐标为（，）或（1，－3）或（4，1）．



答图3 答图4 答图5
【知识点】解直角三角形；全等三角形的判定和性质；菱形的性质；相似三角形的判定和性质

4. （2018山东省东营市，20，10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=,BO:CO=1:3,
求AB的长。
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）。
请问答：∠ADB= ， AB= .
请参考以上解题思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°，BO:OD=1:3,求DC的长。
(第24题图1)
(第24题图2)
(第24题图3)

【思路分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC与△DOB相似，于是得DO=，再利用三角形内角和定理可求得∠ABD=75°，所以∴AB=AD=4。
（2）同理，可过B作AD的平行线，利用相似可求得DC的长。
【解题过程】
（1） ∵BD∥AC
∴∠BDO=∠OAC=75°，
∵∠AOC=∠DOB
∴△DOB∽△AOC
∴
∵AO=
∴DO=.
∴AD=AO+DO=+=.
∵在△ABD中，∠BAO=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°，
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD=.
(2)解：过点B作BE∥AD交AC于点E
(第24题答案图)



∵AC⊥AD
∴∠DAC =∠BEA=90°
∵∠AOD =∠EOB
∴△AOD∽△EOB
∴
∵BO:OD=1:3
∴.
∵AO=
∴EO=
∴AE=
∵∠ABC=∠ACB=75°
∴∠BAC=30°,AB=AC.
∴AB=2BE
在Rt△AEB中，
即,得BE=4.
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中，
即,得CD=

【知识点】相似三角形的性质与判定方法，勾股定理，等腰三角形的性质与判定。

5. （2018四川乐山，1，3）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数；
（1）如图12.1，若k=1，则∠APE的度数为 ；
（2）如图12.2，若，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；
（3）如图12.3，若，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由.

图12.1 图12.2 图12.3
【思路分析】本题考查的是全等与相似的判定与性质的综合应用.（1）如下图，以AE、BE为边构造平行四边形AEPM，连接DM，易证△ACD≌△DBM，故△ADM为等腰直角三角形，∴∠AEP=∠DAM=45°；（2）作平行构造四边形ADBF是平行四边形，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△FAE∽△ACD，得到，然后将其转化为直角三角形中的两边的比，再利用特殊角的三角函数值即可得到∠FBE=∠APE=30°；（3）类比（2）中的方法构造平行四边形，照旧利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明∴△ACD∽△HEA，得到，然后将其转化到直角三角形中，利用特殊角的三角函数值得到∠ADH=∠APE=30°.

【解题过程】解：25.（1）∠APE=45° 3分
（2）（1）中的结论不成立，其理由如下：
作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于F，连接EF，
如图4所示，∵AF∥CB，BF∥AD，
∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，
∴BD=AF，BF=AD， 4分
∵，，
∴， 5分
又∵BD=AF，
∴，
又∵∠FAC=∠C=90°，
∴△FAE∽△ACD， 6分
∴，∠FEA=∠ADC，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.
∵AD∥BF，
∴∠EFB=90°. 7分
在Rt△EFB中，∵
∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，
∴（1）中的结论不成立. 8分

图4
（3）（2）中的结论成立，其理由如下：
作EH∥CD，HD∥BE，DH、EH相交于H，连接AH，如图5所示.
∵EH∥CD，HD∥BE，
∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，
∴BE=DH，EH=BD， 9分
∵，，
∴，
又∵BD=EH，
∴，
又∵∠HEC=∠C=90°，
∴△ACD∽△HEA， 10分
∴，∠HAE=∠ADC，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠HAE+∠CDA=90°，
∴∠HAD=90° 11分
在Rt△DAH中，
∵，
∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°，
∴（2）中的结论成立. 12分

图5
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；特殊角三角函数值的运用；
6.(2018甘肃省兰州市,26,8分)如图,在ABC中,过点C作CD//AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于点G.连接AD､CF.
（1） 求证:四边形AFCD是平行四边形;
（2） 若GB=3,BC=6,BF=,求AB的长.

【思路分析】(1) 由CD//AB,E是AC的中点,证明△AEF≌△CED，利用对角线互相平分证明四边形AFCD是平行四边形;
(2)利用△GBF∽△GCD，根据相似比求得CD，进而求得AB的长。
【解题过程】A
D
C
B
E
F
G
第26题图

∵E是AC中点，∴AE=CE,∵CD//AB,∴∠FAE=∠DCE,又∠AEF=∠CED,∴△AEF≌△CED, ∴EF=ED,∴四边形AFCD是平行四边形;
(2)∵CD//AB,∴△GBF∽△GCD, ∴GB:GC=BF:CD, ∴3:(3+6)=:CD,解得CD=,∴AB=BF+AF=BF+CD=+=6
即AB的长为6.
【知识点】平行四边形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 平行线的性质

7. （2018黑龙江绥化，24，6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠.
（1）如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长.

图1 图2
【思路分析】（1）确定两弧相交的两个交点，作出经过两个交点的直线，标出与边AB、BC的交点D、E和垂直符合即可；
（2）首先连接BP，设CE=x，则BE=PE=4-x，根据△PCE∽△ACB可得出x的值即CE的值进而得出BE的长，然后根据菱形的面积计算公式得出DE的长.
【解题过程】解：（1）作图如下：

（2） 连接BP.
∵四边形PEBD是菱形，
∴PE=BE.
设CE=x，则BE=PE=4-x.
∵PE∥AB，
∴△PCE∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴CE=，
∴BE=PE=.
在Rt△PCB中，
∵PC=，BC=4，
∴BP=.
又∵S菱形PEBD=BE·PC=DE·BP，
∴，
∴DE=.
【知识点】利用尺规作图作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，菱形的面积计算公式

8. （2018黑龙江绥化，28，9分）如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3,连接AE，DE⊥AE交于点F.
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）连接CF，求sin∠DCF的值；
（3）连接AC交DF于点G，求的值.

【思路分析】（1）首先根据矩形的性质可得AD∥BC，进而得出∠AEB=∠DAF，根据勾股定理可计算出AE的长，进而得出AE=AD，然后根据全等三角形的判定得出结论；
（2） 首先连接DE交CF于点H，根据△ABE≌△DFA可得DF=AB=CD，进而得出DE⊥CF，进而得出∠DCH=∠DEC，然后根据锐角三角函数的概念得出sin∠DCF=sin∠DEC=，进而得出答案；
（3） 首先过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，可得CK∥DF，进而得出，然后根据锐角三角函数的概念计算出EK，进而得出FK的长，进而得出答案.

【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF.
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠B=∠DFA.
在Rt△ABE中，AB=DC=4，BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AD，
∴△ABE≌△DFA.

（2） 连接DE交CF于点H.
∵△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，
∴EF=CE=2，
∴DE⊥CF，
∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°，
∴∠DCH=∠DEC.
在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，
∴DE=2,
∴sin∠DCF=sin∠DEC=.

（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K.
∴CK∥DF，
∴.
在Rt△CEK中，
EK=CE·cos∠CEK=CE·cos∠AEB=2×=，
∴FK=FE+EK=，
∴.

【知识点】矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的概念，平行线分线段成比例定理
9.（湖北省咸宁市，23，10）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1） 如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2） 如图2，在四边形ABCD中，，对角线BD平分.
求证： BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，.连接EG，若的面积为，求FH的长.

【思路分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况利用相似比求出CD或AD，即可画出图形；（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出•FE=8，即可得出结论．
【解题过程】解：（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴CD=10或CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，
（2）证明：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFG与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2=FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴EQ=FE•sin60°=FE，
∵FG×EQ=2，
∴FG×FE=2，
∴FG•FE=8，
∴FH2=FE•FG=8，
∴FH=2．
【知识点】相似三角形的判定和性质；锐角三角函数
10. （2018浙江嘉兴，24，12）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．
（3）应用拓展:
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．

图1 图2 图3
【思路分析】（1）求出BC边上的高的长和BC比较；
（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B为△AA′C的重心，知BC＝2BD，从而通过勾股定理，用BD表示出AC的长；
（3）分两种情况说明：AB＝和AC＝，画出图形．
【解答过程】（1）如图1，过点A作AD上直线CD于点D，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°
∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3
∴AD＝BC＝3
即是“等高底”三角形．

（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC
∵△A′BC与与△ABC关于直线BC对称，∴∠ADC＝90°
∵点B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，∴CD＝3x
∴由勾股定理得AC＝x，
∴
（3）①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，
“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2.
l1与l2之间的距离为2，AB＝BC
∴BC＝AE＝2，AB＝
∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°
设DF＝CF＝x
∵ l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，

∴，即．
∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝
Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C时，
点A′在直线l1上
∴A′C∥l2，即直线A′C与l2无交点
综上，CD的值为，，2
【其他不同解法，请酌情给分】


24题图1 24题图2 24题图3

2 4题图4 24题图5 24题图6

11. （2018吉林省，12, 2分）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=　100　m．

【答案】100
【解析】两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
易证△ABD∽△ECD，∴，即，∴AB=100.
【知识点】相似三角形的应用

12. （2018辽宁省沈阳市，24，12分）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．
（1）如图，当∠ACB=90°时：
①求证：△BCM≌△CAN；
②求∠BDE的度数；
（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是 （用含α的代数式表示）；
（3）若△ABC是等边三角形，AB＝，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长.
第24题图 第24题备用图1 第24题备用图2

【思路分析】（1）①由CA＝CB，BN＝AM，得CN=CM ，由“边角边”即可证明△BCM≌△CAN. ②由△BCM≌△CAN可知：∠MBC＝∠NAC.由AE＝DE可知：∠EAD＝∠EDA. 故由AG∥BC可知：∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC. 故可知：∠ADB =∠NAC，＋∠ANC=90°，故可得∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°.(2)当α=90°时，∠BDE的度数是90°.求法同（1）② ．当α≠90°时，∠BDE的度数是180°-α.通过∠BDE=∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α，即可求得.（3）分两种情况：
【解题过程】解：（1）①∵CA＝CB，BN＝AM，
∴CB-BN=CA-AM .∴CN=CM.
∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，△BCM≌△CAN.
②∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.
∵ EA=ED，∴∠EAD＝∠EDA.
∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠NAC.
∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.
∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°，∴∠BDE＝90°.
(2)当α=90°时，∠BDE的度数是α.同（1）②可求 ．
当α≠90°时，由（1）知：△BCM≌△ACN，∠MBC＝∠NAC.
又∵AG∥BC，AE＝DE，∴∠EAD＝∠ANC=∠EDA.
∴∠BDE=∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC＝∠ANC＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α.
故∠BDE的度数是α或180°-α.
（3）分两种情况：如图甲，作AI⊥BC与点I，DH⊥BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，AB＝，点N是BC边上的三等分点，
∴BN=，CN=.
又∵在等边△ABC中，AI⊥BC，∴BI=. ∴NI= BI- BN=.
∵点N是BC边上的三等分点，△ABC是等边三角形，AB＝，∴AM=BN==.
∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM . ∴==. ∴AD===CI.
∴点H与点C重合，即此时，DC⊥BC于点C.
∵△ADE是等腰三角形，且AD∥BC，∴三角形NFE为等腰三角形.
∴∠ANI=∠DFH. 又∵∠AIN=∠DCF，AN=EN-AE=EF-ED=DF，∴△ANI≌△DFC.
∴CF=NI=.
如图乙，作AH⊥BC与点H，EK⊥AD于点K，
∵△ABC是等边三角形，AB＝，点N是BC边上的三等分点，BN＝AM，
∴BN＝AM =，CN=CM=，AH=JK==.
又∵在等边△ABC中，AH⊥BC，∴BH=CH=. ∴NH= CH- CN=.
∵AH⊥BC，EK⊥AD， AH∥EK，∴∠HAN=∠KEA，∠AHN=∠EKA.
∴△ANH∽△EAK. ∴.
又∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM . ∴.
∴AD==. ∴AK=DK=.
∴EK==27. ∴EJ=EK-JK=.
∵AG∥BC，∴. ∴FN==.
∴CF=FN-CN=.
综上所述，线段CF的长为或.

甲 乙
或
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形与等边三角形的性质；平行线的性质；分类讨论思想 .

13. （2018青海，23，8分）如图12，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
（1）求证：AD=BF；
（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积.

【思路分析】（1）由ABCD是平行四边形可得AD∥BC，结合已知条件E为AB边上的中点，可证明△AED≌△BFE，即可得AD=BF；（2）由EB∥CD得△EFB∽FDC，利用相似三角形的性质可求得四边形EBCD的面积.
【解题过程】（1）解：∵点E是AB中点
∴AE=BE
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
又∵点F在CB、DE延长线上
∴AD∥BF
∴∠ADE=∠BFE
在△AED与△BFE中
∠ADE=∠BFE（已证）
∠ADE=∠BFE（对顶角）
AE=BE（已证）
∴△AED≌△BFE（AAS）
∴AD=BF
（2）
∵EB∥CD
∴△EFB∽FDC
∵△AED≌△BFE
∴ED=EF S△AED= S△BFE
∴EFDF=12
∴S△AEDS△BFE=142
∴设S△BFE为x ，S□EBCD为3x
4x=32
x=8
S□EBCD=3×8=24

【知识点】平行四边形的性质，相似三角形的性质
14. （2018山西省，21题，8分） 请阅读下列材料，并完成相应的任务
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法。著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：试问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY。(如图)解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD。第二步，在CB上取一点Y',作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'。第三步，过点A作AE∥A'Z'，交BD于点Z。第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X
则有AX=BY=XY
下面是该结论的部分证明
证明: ∵ AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ
又∵ ∠A'BZ'=∠ABZ。∴ △BA'Z'~△BAZ
∴ Z'A'ZA=BZ'BZ
同理可得Y'Z'YZ= BZ'BZ。∴ Z'A'ZA=Y'Z'YZ
∵ A'Z'= Y'Z'，∴ ZA=YZ。 …


















任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明;
（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；
（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BAZY放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是 .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
【解题过程】解（1）
答：四边形AXYZ是菱形
证明：∵ ZY∥AC，YX∥ZA,
∴ 四边形AXYZ是平行四边形
∵ ZA=YZ
∴ 四边形AXYZ是菱形
（2）证明：∵ CD=CB，
∴ ∠1=∠2
∵ ZY∥AC
∴ ∠3=∠2
∴ YB=YZ
∵ 四边形AXYZ是菱形，
∴ AX=XY=YZ
∴ AX=BY=XY
（3）D
【知识点】相似

15. （2018山西省，22题，3分） 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系。

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵ BE=AB， ∴ AE=2AB.
∵ AD=2AB，∴ AD=AE
∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC
∴ EMDM=EBAB . (依据1)
∵ BE=AB，∴EMDM=1. ∴EM=DM
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵ AD=AE，∴ AM⊥DE . (依据2)
∴ AM垂直平分DE.
反思交流:
（1） ①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
答：①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成线段成比例)。
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)
（2） 创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
证明：过点G作GH⊥BC于点H，

∵ 四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴ ∠CBE=∠ABC=∠GHC=90° . ∴ ∠1+∠2=90°
∵ 四边形CEFG为正方形,
∴ CG=CE，∠GEC=90°. ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3。
∴ △GHC≌△CBE
∴ GC=BE。
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AD=BC
∵ AD=2AB, BE=AB，
∴ BC=2BE=2HC.
∴ HC= BH
∴ GH垂直平分BC.
∴ 点G在BC的垂直平分线上
探索发现：
（3） 如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形GEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明。
答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）.
证明：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N

∴ ∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.
∵ 四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线
∴ ∠CBE=∠ABC=90°
∴ 四边形BENM为矩形
∴ BM=EN, ∠BEN=90°
∴ ∠1+∠2=90°
∵ 四边形CEFG为正方形
∴ EF=EC，∠CEF=90°
∴ ∠2+∠3=90°
∴ ∠1=∠3
∵ ∠CBE=∠ENF=90°
∴ △ENF≌△EBC.
∴ NE=BE.
∴ BM=BE.
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AD=BC
∵ AD=2AB，AB=BE
∴ BC=2BM，
∴ BM=MC
∴ FM垂直平分BC
∴ 点F在BC边的垂直平分线上。
【知识点】全等、垂直平分线、角平分线

16.（2018广西贵港，26，10分）已知：A，B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．
求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证：；
（3）若AO＝2，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．

【思路分析】（1）在OCBM中，先证OC∥BM且OC＝BM，再根据线段AO，BM均是直线l的垂线段得OCBM是矩形，再证OC＝BC，即可证明四边形OCBM是正方形；
（2）过B作BD⊥AO，再证明△ABD与△PBM相似，运用相似三角形的性质以及等量代换可得结论；
（3）运用相似三角形的性质与勾股定理进行计算．
【解答过程】（1）证明：由于线段AO，BM均是直线l的垂线段，
∴AO∥BM，∠OBM＝90°
∵点C是AO的中点，AO＝2BM，
∴CO∥BM，且CO＝BM
∴OCBM是矩形，
又∵点C是AO的中点，∠ABP＝90°，
∴CO＝CB，
∴OCBM是正方形．
（2）证明：过B作BD⊥AO（如答图），则BD＝MO＝OM
D

∵AO∥BM，∴DB⊥BM
∵∠ABD＋∠DBP＝∠MBP＋∠DBP＝90°
∴∠ABD＝∠PBM
∴Rt△ABD∽Rt△PBM
∴＝,
∵OM＝BD，
∴＝,
（3）AB＝；PB＝．

17. （2018江苏苏州，27，10分）问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为．
（1）当AD＝3时，＝_______；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点
（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．

【思路分析】 本题考查相似三角形的性质以及三角形面积的计算.
问1：（1）先求出△ADC的面积，再求出△CDE的面积与△ADC的面积的比，最后求出两三角形的面积比；
（2）类比（1）中的方法进行求解；
问题2：把梯形的问题转化为三角形的问题，仍然利用平行线截得线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方以及等式的性质来求解.
【解答过程】
解：问题1：（1）；
（2）解法一：∵AB＝4，AD＝m．∴BD＝4－m．
又∵CE∥BC，∴，∴．
又∵CE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．
∴．即．
解法二：过点B作BH⊥AC，垂足为H，过点D作DF⊥AC，垂足为F．
则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH．∴．
∵DE∥BC，∴，
∴．即．

问题2：解法一：分别延长BA，CD，相交于点D．
∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴．
∴OA＝AB＝4，∴OB＝8．
∵AE＝n，∴OE＝4＋n．
∵EF∥BC．
由问题1的解法可知，
∵．∴．
∴，即．
解法二：连接AC交EF于M．
∵AD∥BC，且AD＝BC，∴．
∴S△ADC＝S，S△ABC＝S．
由问题1的结论可知，．
∴S△EMC＝×S＝．
∵MF∥AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴，
∴S△CFM＝．
∴S△EFC＝S△EMC＋S△CFM＝＋＝，
∴．

18. （2018江苏镇江，25，6分）如图，一次函数＝（≠0）的图像与轴，轴分别交于A（－9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线与BC垂直，点E在直线位于轴上方的部分．
（1）求一次函数＝（≠0）的表达式；
（2）若△ACE的面积为1，求点E的坐标；
（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为________．
（第25题图）

【思路分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出直线的函数表达式，然后根据△ACE的面积求出边AC上的高，即为点E的纵坐标，再代入直线的函数表达式求得点E的横坐标；（3）过点作EF⊥轴于点F，利用相似三角形的对应边成比例求解．
【解答过程】（1）将A（－9，0），B（0，6）代入＝（≠0），得

解得＝，＝6．
∴一次函数＝（≠0）的表达式为＝．
（2）如答图所示，设直线与轴相交于点D．
∵BC⊥，
∴∠BCD＝90°＝∠BOC．
∴∠OBC＋∠OCB＝∠OCD＋∠OCB．
∴∠OBC＝∠OCD．
又∵∠BOC＝∠COD，
∴△OBC∽△为OCD．
∴＝．
∵B（0，6），C（2，0），
∴OB＝6，OC＝2．
∴＝．
解得OD＝．
∴D（0，）．
设直线的函数表达式为＝（≠0）．
把C（2，0），D（0，）代入，得

解得＝，＝．
∴直线的函数表达式为＝．
设E（，）．
∵A（－9，0），C（2，0），
∴AC＝11．
∵S△ACE＝1，
·∴×11×＝1．
解得＝．
∴E（，）．
（第25题答图1）
（第25题答图2）

（3）（11，3）．
提示：如答图所示，过点E作EF⊥轴，垂足为点F．
∵∠ABO＝∠CBF，∠AOB＝∠BCE＝90°，
∴△ABO∽△EBC．
∴＝＝＝．
∵∠BCE＝90°＝∠BOC，
∴∠BCO＋∠CBO＝∠BCO＋∠ECF．
∴∠CBO＝∠ECF．
又∵∠BOC＝∠EFC＝90°，
∴△BOC∽△CEF．
∴＝＝＝．
∴＝＝．
解得CF＝9，EF＝3．
∴OF＝11．
∴E（11，3）．

19.（2018江苏镇江，27，9分）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB＝46°，则∠DBE的度数为________°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CD所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG＝，求B′D的长；
【验一验】
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．


图1

图2
图3
图4

路分析：（1）利用矩形的对边AD∥BC知∠DBC＝∠ADB＝46°，由折叠知∠DBC＝DBC＝×46°＝23°．（2）由题意知MN是AB，CE相交所成锐角的平分线，据此可尺规作图画出MN；（3）因为DB′＝DF－B′F，将问题转化为求DF与B′F的长．先证△DGF是等腰三角形得DF＝DG＝9－＝，再在Rt△CDF中求得CF＝，于是B′F＝BF＝BC－CF＝9－＝，问题获解．（4）在Rt△IB′C中求tan∠B′IC的值；连接ID，在Rt△ICD中求tan∠DIC的值，根据tan∠B′IC与tan∠DIC是否相等判断．
【解答过程】（1）23．
（2）如答图所示．
答图1

（3）∵AG＝，AD＝9，
∴GD＝9－＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DGF＝∠BFG．
由折叠得∠BFG＝∠DFG．
∴∠DGF＝∠DFG．
∴DF＝GD＝．
又∵CD＝AB＝4，∠C＝90°
∴在Rt△CDF中，CF＝＝＝．
∴BF＝BC－CF＝9－＝．
由折叠得B′F＝BF＝．
∴B′D＝DF－B′F＝＝3．
（4）小明的判断不正确，理由如下：
在Rt△CDK中，∵KD＝3，CD＝4，
∴CK＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠ICK．
由折叠知∠A′B′I＝∠B＝90°．
∴∠IB′C＝90°＝∠D．
∴△CDK∽△IB′C．
∴＝＝，即＝＝，
设CB′＝，则IB′＝，IC＝．
由折叠得IB＝IB′＝．
∴BC＝BI＋IC＝＝＝9．
∴＝1．
∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3．
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC＝＝．
连接ID．在Rt△ICD中，tan∠DIC＝＝．
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC．
∴B′I所在直线不经过点D．
答图2



20.

21. （2018内蒙古包头，25，12分）如图12，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是AD上的一个动点.
（1）如图12①，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE.当OE＝DE时，求AE的长；
（2）如图12②，连接BE、EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G.当BE平分∠ABC时，求BG的长；
（3）如图12③，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D´处，过点D´作D´N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝1.
①求的值；②连接BE，△D´MH与△CBE是否相似？请说明理由.








【思路分析】（1）连接OA，通过证明△ODE∽△ADO，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长，再求出AE的长；（也可以通过作EM⊥OD,证明△DEM∽△DBA，利用相似三角形对应边成比例先求出ED的长，再求出AE的长）.
（2）先证△AEF≌△DCE，得出AF＝DE＝2，BF＝1，过点G作GK⊥BC于点K，证明Rt△CKG∽Rt△CBF，
利用相似三角形对应边成比例求出BG的长；（也可以通过证明△EFG∽△DEBF，利用相似三角形对应边成比例求出BG的长）.
（3）①因为这两个三角形同高不同底，利用相似三角形的性质求出底之比即可；
②先证△D´MH与△CBE是等腰三角形，再证明顶角相等即可.
【解题过程】（1）如答案图3.连接OA.

在矩形ABCD中，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝.
∵O是BD的中点
∴,
∴∠OAD＝∠ODA
∵OE＝DE
∴∠EOD＝∠ODE
∴∠EOD＝∠ODE＝∠OAD.
∴△ODE∽△ADO
∴
设AE＝x，则DE＝5－x
∴即8.5＝5（5－x）
∴x＝3.3，即AE＝3.3.
（2）如答案图4.在矩形ABCD中，

∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝45°.
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠ABE＝∠AEB
∴AE＝AB＝3
∴AE＝CD＝3
∵EF⊥EC
∴∠FEC＝90°
∴∠AEF+∠CED＝90°
∵∠A＝90°
∴∠AEF+∠AFE＝90°
∴∠CED＝∠AFE
∵∠A＝∠D＝90°
∴△AEF≌△DCE
∴AF＝DE＝2
∴BF＝1.
过点G作GK⊥BC于点K
∴∠EBC＝∠BGK＝45°
∴BK＝GK,∠ABC＝∠GKC＝90°
∵∠KCG＝∠BCF
∴Rt△CKG∽Rt△CBF
∴
设BK＝GK＝y，则CK＝5－y
∴解得
∴BK＝GK＝
∴在Rt△GKB中，BG＝
（3）如答案图5.

①在矩形ABCD中，∠D＝90°
∵AE＝1，AD＝5
∴DE＝4
∵DC＝3
∴EC＝5
根据折叠可得ED´＝ED＝4,D´H＝DH,∠ED´H＝∠D＝90°
∴D´C＝1
设D´H＝DH＝z，则HC＝3－z
在Rt△HD´C中，
∴，解得
∴
∵D´N⊥AD
∴∠AND´＝∠D＝90°
∴D´N∥DC
而∠NEM＝∠DEH
∴△EMN∽△EHD
∴
∵D´N∥DC
∴∠ED´M＝∠ECH
而∠MED´＝∠HEC
∴△ED´M∽△ECH
∴
∴
∴
∴.
②相似.
证明：根据折叠可得∠EHD´＝∠EHD,∠ED´H＝∠D＝90°
∴∠MD´H+∠ED´N＝90°
∵∠END´＝90°
∴∠NED´+∠ED´N＝90°
∴∠MD´H＝∠NED´
∵D´N∥DC
∴∠D´MH＝∠EHD
∴∠EHD´＝∠D´MH
∴D´M＝D´H
∵AD∥BC
∴∠NED´＝∠ECB
∴∠MD´H＝∠ECB
∵CE＝CB＝5
∴
∴△D´MH∽△CBE
【知识点】动点问题；相似三角形的性质；对称变换的性质

22. （2018山东莱芜，21，9分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC的的中点，将△ADE绕点A顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，连接BD′、CE′．如图1．
（1）求证BD′=CE′；
（2）如图2，当α=60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．

【思路分析】（1）证明△BD′A≌△CE′A即可；（2）先利用△ADD′是等边三角形得出∠ABD＝30°和∠BD′A=90°，再根据△BFD′∽△AFE′求出的值．
【解题过程】（1）证明：∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的的中点，
∴AD=BD=AE=EC．
由旋转可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE. ∴AD′= AE′．
∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．
（2）解：连接DD′，∵∠DAD′=60°，AD′=AD，∴△ADD′是等边三角形．
∴∠ADD′=∠AD′D=60°，∴DD′=DA=DB．
∴∠DBD′=∠DD′B=30°，∠BD′A=90°．
∵∠D′AE′=90°，∠BAE′=30°，∴∠BAE′=∠ABD′．又∠BFD′=∠AFE′，
∴△BFD′∽△AFE′．∴==．
在Rt△ABD′中，tan∠BAD′==，∴=．

【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；图形旋转的性质；等边三角形的判定

23. （2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE-BE；
（2）联结BF，如果，求证：EF=EP．

【思路分析】（1）证∴△BEA与△AFD全等即可（2）运用相似得比例，从而得到△BFP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得．
【解答过程】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BAE+∠ABE=90°， ∠BAE+∠DAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，
在△BEA与△AFD中， ，∴△BEA≌△AFD，∴BE=AF，
∴EF=AE-AF=AE-BE
(2) 在△AFD与△PEB中
∵∠DAF=∠BPE, ∠BEP=∠DFA=90°，∴△AFD∽△PEB，∴
∵且AF=BE，∴即
∵，∴BF=PB
在等腰三角形BFP中，∵BE⊥FP，∴EF=EP

24. （2018云南省昆明市，23，12分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°，将△ADP沿AP翻折得到△AD＇P， P D＇的延长线交AB边于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．
（1）求证：AD2＝DP·PC；
（2）判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若＝，求的值．

【思路分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可证得AD＝BC，然后证明∠DAP＝∠BPC，即可证得△ADP∽△PCB；（2）先证明四边形PMBN是平行四边形，然后由△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，可证得∠APM＝∠PAM，再根据∠APB＝90°，可证明∠PBA＝∠BPM，即可得证；（3）设DP＝a，可根据＝，AD2＝DP·PC，求得PC＝4 a，AB＝5a，PM＝BM＝a，然后证明△CFP∽△AFB，求得的值，再证明△AEM∽△CEP，求出的值，从而求出的值．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCD＝90°，又∵∠APB＝90°，∴∠DAP＋∠APD＝90°，∠APD＋∠BPC＝90°，∴∠DAP＝∠BPC，又∵∠D＝∠BCP＝90°，∴△ADP∽△PCB，∴，又∵AD＝BC，∴，AD2＝DP·PC；
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，即PN∥BM，又∵BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵△ADP沿AP翻折得到△AD＇P，∴∠APD＝∠AP D＇，又∵AB∥DC，∴∠APD＝∠APM＝∠PAM，又∵∠APB＝90°，∴∠APM＋∠PBA＝90°，∠APM＋∠BPM＝90°，∴∠PBA＝∠BPM，∴PM＝BM，∴平行四边形PMBN是菱形；
（3）设DP＝a，∵＝，∴AD＝2DP＝2 a，又∵AD2＝DP·PC，∴（2 a） 2＝a·PC，解得PC＝4 a，∴AB＝CD＝DP＋PC＝5a，又∵PM＝BM，∴PM＝BM＝a，∵AB∥DC，∴∠CPF＝∠ABF，又∵∠PFC＝∠BFA，∴△CFP∽△AFB，∴，∴，∵AB∥DC，∴∠CPE＝∠AME，又∵∠PEC＝∠MEA，∴△AEM∽△CEP，∴，∴，又∵，∴．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；平行线的性质；菱形的判定


25. (2018湖北黄石，24，9分)在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点(不与A、B、C重合)．
(1)如图1，若EF∥BC，求证：＝；
(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．

(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)
【思路分析】(1)根据相似三角形的判定和相似三角形的性质即可证明；
(2)分别过点C、F作AB的垂线，按照(1)中的证明思路即可证明；
(3)结合(2)中的结论，将△AEF分别△AEG和△AFG两部分求解.
【解答过程】(1)证明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
∴＝＝.
(2)证明：若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立.
分别过F、C作AB的垂线，垂足为N、H.
∵FN⊥AB，CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴＝，
∴＝＝＝.


(3)解：连接AG并延长交BC于M，连接BG并延长交AC于N，连接MN..

则M、N分别为BC，AC的中点，
∴MN∥AB且MN＝AB，
∴＝＝，且S△ABM＝S△ACM，
∴＝.
设＝a.由(2)可知：
＝＝×＝，＝＝a.
则＝＝＝＋＝＋a.
而＝＝a.
∴＋a＝a，解得：a＝.
∴＝×＝.

26.(2018湖南邵阳，25，8分)如图(十五)所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE.
(1)证明：四边形OEFG是平行四边形；
(2)将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图(十六)所示，连接GM，EN.
①若OE＝，OG＝1，求的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．(不要求证明)

【思路分析】本题考查中点四边形、旋转和相似三角形的知识．
(1)连接AC，利用三角形中位线定理及“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形OEFG是平行四边形；(2)①利用旋转的性质及“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”可判定△OEN∽△OGM，再根据相似三角形的性质可求得的值；②添加对角线AC＝BD，根据三角形中位线的性质可知OG＝OE，所以OG＝OM＝OE＝ON，再因为∠GOM＝∠EON，所以△OEN≌△OGM，故GM＝EN.
【解答过程】
解：(1)如图，连接AC．
∵点O、E分别是AB、BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OEAC．
同理GFAC．
∴OEGF．
∴四边形OEFG是平行四边形．

(2)如图，①利用旋转的性质可知
∠GOM＝∠EON，OG＝OM，OE＝ON．
∴ ．
∴ △OEN∽△OGM．
∴ ．
∵ OE＝，OG＝1，
∴ ．

②添加对角线AC＝BD，
理由：由(1)可知OEGFAC．
同理 OGEFBD．
利用旋转的性质可知，
∠GOM＝∠EON，OG＝OM＝OE＝ON
在△OEN与△OGM中，
，
∴ △OEN≌△OGM.
∴ GM＝EN.
（【答案】不唯一）

27. （2018湖南省株洲市，23，8）如图，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN．
A
T
M
D
C
B
N
第23题图


（1）求证：Rt△ABM≌Rt△ADN；
（2）线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝AD，求tan∠ABM的值．
【思路分析】（1）利用HL可证两直角三角形相似；（2）利用三角形相似及（1）的结论求解．

【解题过程】（1）∵AM＝AN，AB＝AD，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN．
（2）由（1）知∠DAN＋∠DAM＝∠BAM＋∠DAM＝90°．
又∵∠ABM＋∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠DAM．
又∵∠DTN＝∠ATM，
∴△AMT∽△DNT．
∴．
∵AT＝AD，
∴．
∴．
∴tan∠ABM＝tan∠ADN＝．
【知识点】三角形相似，正方形的性质，三角形全等

28. （2018·宁夏，19，6）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出
△A2B2C2，并写出点B2的坐标．

【思路分析】（1）利用平面直角坐标系中点关于x轴对称的规律，找到A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1，然后顺次连接这三个对称点即可；（2）根据以原点为位似中心的位似图形的坐标规律，将A、B、C三点的坐标均乘以－2，得到A2、B2、C2，然后顺次连接这三个对称点即可．
【解题过程】
解：如下图所示，B2(10，8)．

【知识点】轴对称；位似；网格作图

29.（2018四川眉山，25，9分）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB＝MN．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD＝1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．


【思路分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性质可以得到∠CAM＝∠BAM，AM⊥BC，由MN＝MB可得∠MNB＝∠MBN，再根据三角形内角和及外角性质即可证得．
（2）利用（1）结论可证得AN＝DN，再依据平行四边形性质，等量代换可得BC＝AN，在△AMB中用勾股定理可求得BM的长，即可求得BC的长．
（3）根据中位线的性质及线段的比例关系可以证得＝，再依据中位线的平行关系和已知垂直关系，证明∠NMF＝∠CBD，从而证明△MFN∽△BDC．
【解答过程】（1）∵AB＝AC，M为BC中点，∴AM⊥BC，∠CAM＝∠BAM，又∵AC⊥BD，∴∠CAM＝∠CBE．∵MN＝MN，∴∠MNB＝∠MBN，∵∠MNB＝∠MAB＋∠NBA，∠MBN＝∠CBD＋∠DBN，∴∠DBN＝∠DBC，即BN平分∠ABE．
（2）在△ABN与△DBN中，，∴△ABN≌△DBN，∴DN＝AN，∵四边形DNBC为平行四边形，∴BC＝DN，∴AN＝BC．在直角△AMB中，设BM＝x，则MN＝x，AN＝2x，
则x2＋(3x)2＝12 解得：x＝（负值舍去），∴BC＝．
（3）∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝AC．∵AC＝BD，∴FM＝BD，
即＝．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即＝，
∴＝．∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°．∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB．
∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°．∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．
∴△MFN∽△BDC．

30. （2018浙江舟山，24，12）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC边上一点，作∠CPE＝∠BPF，分别交边AC，AB于点E，F．

图1 图2

图3
（1）若∠CPE＝∠C（如图1），求证：PE＋PF＝AB．
（2）若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由．
（3）若点F与A重合（如图3），∠C＝27°，且PA＝AE．
　　　①求∠CPE的度数；
　　　②设PB＝a，PA＝b，AB＝c，试证明：．
【思路分析】（1）等腰三角形的性质及平四的性质即可证明；
（2）构造△BPF的全等形及利用平四的性质；
（3）构造△ABP的相似形．
【解答过程】（1）∵∠B＝∠C，∠CPE＝∠BPF，∠CPE＝∠C，
∴∠B ＝∠BPF ＝∠CPE，∠BPF ＝∠C，
∴PF＝BF，PE∥AF，PF∥AE，
∴PE＝AF．
∴PE＋PF＝AF＋BF＝AB．

24题图1
（2）猜想：BD＝PE＋PF，理由如下：
过点B作DC的平行线交EP的延长线于点G，
则∠ABC＝∠C＝∠CBG，
∵∠CPE＝∠BPF，
∴∠BPF＝∠CPE＝∠BPG，
又BP＝BP，
∴△FBP≌△GBP（ASA），∴PF＝PG.
∵∠CBD＝∠CPE，
∴PE∥BD，
∴四边形BGED是平行四边形，
∴BD＝EG＝PG＋PE＝PE＋PF．

24题图2
（3）①设∠CPE＝∠BPF＝x，
∵∠C＝27°，PA＝AE，
∴∠APE＝∠PEA＝∠C＋∠CPE＝27°＋x，
又∠BPA＋∠APE＋∠CPE＝180°，即x＋x＋27°＋x＝180°，
∴x＝51°，即∠CPE＝51°．
②延长BA至M，使AM＝AP，连结MP，
∵∠C＝27°，∠BPA＝∠CPE＝51°．
∴∠BAP＝180°－∠B－∠BPA＝102°＝∠M＋∠MPA，
∵AM＝AP，∴∠M＝∠MPA＝∠BAP＝51°，
∴∠M＝∠BPA，
而∠B＝∠B，
∴△ABP∽△PBM．
∴，
∴．
∵PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，
∴，
∴．

24题图3