知识点32 矩形、菱形与正方形

这是一份知识点32 矩形、菱形与正方形，共50页。试卷主要包含了 下列说法，正确的个数有等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. （2018广西省桂林市，11，3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于所在的直线AM对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为( )

A．3 B． C． D．
【答案】C．
【思路分析】连接BM，由题意可得△ADM≌△AEM≌△ABF，由此可以证得△EAF≌△BAM，则FE＝BM，计算出BM的长即可．
【解题过程】如下图（1），连接BM，则由题意可得，△ADM≌△AEM≌△ABF，∴∠BAF＝∠EAM，BA＝AM，AF＝EA，∴∠ BAF＋∠ BAE＝∠EAM＋∠ BAE，即∠ EAF＝∠BAM，则在△EAF和△BAM中，∵，∴△EAF≌△BAM（SAS），∴FE＝BM，又∵DM＝1，在正方形ABCD中，AB＝3，∴CM＝3－1＝2，CB＝3，∠C＝90°，∴BM＝∴FE＝BM＝，故选C．

【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；勾股定理；全等三角形的性质及判定

2. （2018海南省，14，3分） 如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开，拼成如图2所示的□KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且□KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27

【答案】A
【思路分析】可设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，根据四边形OPQR是正方形，可用y、z的代数式表示x．根据□KLMN的面积为50，可得x、y、z的等量关系，再把用y、z的代数式表示x的值代入，可得正方形EFGH的面积z2的值．
【解题过程】设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，∵四边形OPQR是正方形，∴RQ=RO，∴x－z=z－y，∴x=2z－y①；∵□KLMN的面积为50，∴xy+z2+(z－y)2=50，把①代入，得(2z－y)·y+z2+(z－y)2=50，∴2zy－y2+z2+z2-2yz+y2=50，整理，得2 z2=50，∴z2=25，∴正方形EFGH的面积= z2=25，故选择B．
【知识点】矩形的性质，正方形的性质，完全平方公式，整式加减

3. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．

∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．

4. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，9，3分） 如图，正方形ABCD中，AB6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
　 A．1 B．1．5 C．2 D．2．5

【答案】C
【思路分析】根据折叠及正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE，在Rt△CGE中，根据勾股定理求出DE的长．
【解题过程】∵△ABG沿AG对折至△AFG，∴ABAF，GBGF＝3．∵四边形ABCD是正方形，∴ABADAF．∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）．∴DEEF．设DE，则EFDE，GE，CE．在Rt△CGE中由勾股定理得．∴．解得．故选C．
【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理

5. （2018湖北省咸宁市，16，3）如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且,将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为(0°＜＜120°且≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD。有下列结论：
①AD=CD；②∠ACD的大小随着的变化而变化；③当=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD的面积的最大值为
其 中 正 确 的 是 _____________(把 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上 ）

【答案】①③④
【思路分析】连结OC，先根据对称性及求出∠ACD的大小为定值，再对四个结论逐一进行判断
【解题过程】连结OC，∵点A关于直线OM′的对称点C，由对称性可得OA=OC，CD=AD，故①正确；
∵OA=OC ∴∠COD=∠AOD=
由对称性可OM′垂直平分AC ∴∠OCA=90°-
∵OA=OB，OA=OC ∴OB=OC
∵∠BOC=120°-2 ∴∠BCO=30°+
∴∠BCA=90°-+30°+=120°
∴∠ACD=180°-120°=60°
故②错误；
∵CD=AD ∴△ACD为等边三角形
当=30°时，∠AOC=60° ∴△ACO为等边三角形
∴OA=OC=CD=AD ∴四边形OADC为菱形
故③正确；
要使△ACD的面积的最大值即AC要最大
当＝90°，A、O、C在一条直线上AC最大
∴△ACD的面积的最大值为
故④正确

【知识点】轴对称的性质；等边三角形的性质和判定；等腰三角形的性质；菱形的判定

6.（2018浙江嘉兴，8，3）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）


【答案】C 【解析】根据尺规作图以及菱形的判定方法．

7. （2018广西贵港，11，3分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是
A．6 B．3 C．2 D．4.5

【答案】C
【解析】作M关于AC的对称点，交AD与M′，显然EPM′在同一直线上，当EM′⊥AD时，EM′最短，此时PM＋PN最小（如答图）

依题意，sin∠DAC＝＝
所以EM′＝AC·sin∠DAC＝6×＝2
即PM＋PN最小值为2，故选C．

8. (2018湖南湘西州，17，4分) 下列说法，正确的个数有( )
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】：B


9.（2018上海，5，4分）己知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B     B．∠A=∠C     C．AC=BD     D．AB⊥BC
【答案】B，【解析】∵∠A=∠B，AD∥BC∴∠A=∠B=90°，故A选项正确；∵∠A=∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判断；∵对角线相等平行四边形是矩形，故C选项能判断，∵AB⊥BC，∴∠B=90°，故D选项能判断.

10. （2018贵州贵阳，5，3分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【解析】∵E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，EF＝3，∴EF是△ABC中位线，BC＝2EF＝6.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，AB＋BC＋CD＋DA＝6×4＝24.



11. （2018黑龙江哈尔滨，8，3）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为( )

A． B．2 C．5 D．10

【答案】C，【解析】由菱形性质可知BO＝DO＝4，∠AOB＝90°，直接使用tan∠ABD＝，可知AO＝3，由勾股可求得AB＝5


12. ．（2018湖北恩施州，11，3分） 如图3所示，在正方形 ABCD中，G 为 CD边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD交 AG 于 F 点，已知 FG ＝２，则线段 AE 的长度为（ ）
A．6 B． 8 C．10 D．12

11．【答案】D 【解析】∵正方形 ABCD，G 为 CD边中点，∴AB：DG＝2:1，∵AB∥CD ，∴AB：DG＝AF：FG，∵FG＝2，∴AF＝4，又∵△ADG≌△ECG，∴AD＝CE，AD：BE＝1:2，∵AD∥BE，∴AF：FE＝AD：BE，∴EF＝8，∴AE＝12，故选D

13. （2018湖北十堰，6，3分）菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【答案】B
【解析】菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选B．

14. （2018·宁夏，7，3）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°

【答案】D．
【解析】如下图，易知2∠3＝∠1＋180°＝220°，从而∠3＝110°，又由平行线的性质，得∠2＋∠3＝180°，进而∠2＝70°，故选D．

【知识点】矩形的性质；平行线的性质；翻折

15. （2018四川眉山，12，3分）如图，在ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C，【解析】连接AF并延长与BC的延长线相交于点M，易证△ADF≌△CFM，∴AF＝MF，又∵AD＝BC，DC＝AB＝2AD，∴AB＝BM，∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；延长EF、BC，相交于点G．容易证明△DEF≌△CGF，∴FE＝FG，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴∠EBG＝90°，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得EF＝BF，②正确；由于BF是△BEG的中线，∴S△BEG＝2S△BEF，而S△BEG＝ S四边形DEBC，所以S四边形DEBC＝2S△EFB，故③正确；设∠DEF＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠G＝x，又因为FG＝FB，∴∠G＝∠FBG＝x，∴∠EFB＝2x，∵CD＝2AD，F为CD中点，BC＝AD，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF＝x，∴∠CFE＝∠CFB＋∠BFE＝x＋2x＝3x＝3∠DEF，故④正确；故本题答案为D．


16.（2018浙江舟山，8，3）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）


【答案】C 【解析】根据尺规作图以及菱形的判定方法．


二、填空题
1. （2018黑龙江省龙东地区，3，3分） 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是菱形．
【答案】答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等．
【解析】根据“……的平行四边形是矩形”来判定矩形，常见的有两种思路，一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；二是根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定方法


2. （2018黑龙江省龙东地区，8，3分） 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接CE．过点B作BG⊥CE于点G．点P是AB边上另一动点，则PD＋PG的最小值为________．

【答案】
【思路分析】由问题“PD＋PG”考虑到“最短路径问题”，点D为定点，因此考虑作点D关于AB轴对称的点M，连接PM，GM，则MP＝DP．根据两点之间线段最短，当点M，P，G不在同一条直线上时，PM＋PG＞MG，即DP＋PG＞MG；当点M，P，G在同一条直线上时，PM＋PG＝MG，即DP＋PG＝MG，因此，当PD＋PG取最小值时，点M，P，G在同一条直线上，此时，DP＋PG＝MG．进一步得到：当MG取得最小值时，DP＋PG随之取得最小值．下面分析MG何时取得最小值．注意到问题与点G有关，点G是△BCG的直角顶点，△BCG的斜边为定值，因此，其斜边的一半也为定值，因此取BC中点N，连接GN，则GN的长为2．结合定点M，可知MN也为定值．再分析点G，无论点E怎样变化，点G始终在以N为圆心，NG长为半径的圆上．根据三角形两边之差小于第三边，可知，当点M，G，N不在同一直线上时，MG＞MN－GN，进一步可知，当点G在线段MN上时，MG＝MN－GN，此时MG最小，最小值为MN－GN．如答图2所示，易知MN的长，进一步可得结果．

图1 图2
【解题过程】如图2，作点D关于AB轴对称的点M，取BC中点N，连接MN，交AB于点P，以BC为直径画圆，交MN于点G，连接并延长CG，交AB于点E，连接BG．则DP＝MP，∴DP＋PG＝MP＋PG＝MG＝MN－GN．作NQ⊥AD，则MN＝＝，∴MN－GN＝－2，∴PD＋PG的最小值为－2．
【知识点】轴对称的性质；线段的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的三边关系

3. （2018四川乐山，14，3） 如图6，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连接CE，则∠BCE的度数是 .

图6
【答案】22.5°
【解析】本题考查的是正方形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用其性质.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°，在△ACE中，∵AC=CE，∴∠ACE=∠AEC（180-∠ACB）=67.5°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，故答案为22.5°.
【知识点】正方形的性质 等腰三角形的性质

4. (2018甘肃省兰州市,16,4分) 如图,M､N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AB交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是
. N
第16题图
M
F
E
D
B
A
C

【答案】2-2
【解析】连接BD交AC于O,取AD中点P,由于AM=BN, ∠ADM=∠BCN=90°,AD=BC,所以△ADM≌△BCN,所以DM=CN,当点M与点D重合时CF=CD=6,当点M与点C重合时CF=CO=3, 观察图形可以确定点F在以AD为直径的圆弧上运动,CF的最小值为CP与圆弧的交点｡由勾股定理得CP=2,CF的最小值为2-2.
【知识点】正方形 动点问题

5. （2018年黔三州，17,3）已知一个菱形的的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是 .
【答案】23
【解析】由菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为3，菱形较短对角线的一半为22-（3）2=1. 根据菱形面积等于两对角线乘积的一半有：12×23×2=23.
【知识点】菱形性质，勾股定理，菱形面积计算

6.（2018江苏扬州，17，3）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．

【答案】
【思路分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解题过程】由折叠得：∠CBO=∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO=∠BOA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，在△ODE和△BAE中，&∠D=∠BAO=90°&∠OED=∠BEA&OE=BE，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，设DE=AE=x，则有OE=BE=8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D作DF⊥OA，∵S△OED=12OD•DE=12OE•DF，∴DF=125，OF=42-(125)2=165，则D（165，﹣125）．故答案为（165，﹣125）．

【知识点】图形变换翻折（折叠），平面直角坐标系，点的坐标，矩形的性质

7. （2018广西贵港，16，3分）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C ′ 与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为 ．
D
A
E
B
B′
C′
C
F
M

【答案】70°
【解析】依题意∠B＝∠B′＝∠B′MD＋∠B′MA＝90°，所以∠B′EA＝90°－50°＝40°，所以∠B′EB＝180°－∠B′EA＝140°，又∠B′EF＝∠BEF，所以∠BEF＝∠B′EB＝70°，故应填：70°．

8. （2018江苏徐州，14，3分）若菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则其面积为 cm2.
【答案】24

9.（2018江苏镇江，12，2分）如图，点E，F，G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________．
（第12题图）

【答案】27．
【解析】如答图所示．在边CD上取点H，使CH＝CD，连接FH，GH，AC，BD，AC与BD相交于点O，EG交AC于点P，FH交BD于点Q，则由对称性可知，四边形EFGH是平行四边形，且EG∥BD∥FH，EF∥AC∥GH，点O在FG上，S四边形OPEQ＝2S△OPG＝2S△OFQ．因为△EFG的面积为6，所以S△OPG＝S△OFG＝，S四边形OPEQ＝3．因为EP∥OB，设S△AEP＝．所以＝＝＝，即S△AOB＝．同理S△BQE＝S△AOB＝，所以S四边形OPEQ＝＝＝3，解得＝，所以S△AOB＝9×＝，所以S菱形ABCD＝4 S△AOB＝4×＝27．
（第12题答图）


10. (2018辽宁葫芦岛，14，3分)如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为__________．


【答案】(2，－3)，
【解析】关于x轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，点A与点C关于x轴对称，点A的坐标为(2，3)，故点C的坐标为(2，－3)．

11. （2018山东莱芜，15，3分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是_______．

【答案】2
【解析】设正三角形的边长为x，由面积为2，可知边长为×x×x＝2，解得x＝2；由正方形的面积为2，可知边长为，∴图中阴影部分的面积是(2－)＝2．故答案为2．
【知识点】图形的平移；正三角形面积的计算；正方形的面积计算


12. （2018上海，18，4分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图5），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图6，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是 .

【答案】 ，【解析】如图，将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中，设宽AF为a，则高CF为，因为形ABCD的边长为1，所以BF为，以Rt△BCF中，由勾股定理得，解之得.



13. （2018四川巴中，17，3分）已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是 .

【答案】.
【解析】如图，根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可求这个菱形的另一条对角线AC＝2＝2，∴这个菱形的面积＝×2×2＝2.

14. （2018湖南省株洲市，14，3）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．
O
A
B

C

D
Q
P
第14题图

【答案】2．5
【思路分析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD．
∴OD＝BD＝5．
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线．
∴PQ＝DO＝2.5．故填2.5．
【知识点】矩形的性质，三角形中位线

15. （2018·宁夏，16，3）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁___________张A8的纸．

【答案】16．
【解析】设A0纸的长为a，则A1纸的长为a，A2纸的长为a，A3纸的长为a，A4纸的长为a，……，A8纸的长为a，从而由＝16，故一张A4的纸可以裁16张A8的纸．
【知识点】规律探究题；数形结合思想

16.（2018辽宁锦州，14，3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相关于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD =24，则OH的长为




【答案】.3，【解析】：先用菱形的面积公式求出AC，再根直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

三、解答题
1. （2018省市，题号，分值） 如图，是菱形的对角线，，
（1） 请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接,求的度数.

【思路分析】（1）根据尺规作图步骤作垂直平分线，保留痕迹即可；（2）先利用菱形性质求得∠DBA的度数，再利用垂直平分线性质求得∠ABF的度数，进而求得∠DBF的度数.
【解题过程】（1）如图直线MN为所求

（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB，AD∥AB，
∵∠DBC=75°，
∴∠ADB=75°，
∴∠ABD=75°
∴∠A=30°
∵EF为AB的垂直平分线
∴∠A=∠FBE=30°，
∴∠DBE=45°

【知识点】菱形性质；线段垂直平分线性质；尺规作图

2. （2018省市，题号，分值）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）求证：△DEF是等腰三角形.

【思路分析】（1）由折叠找出所有等边、等角寻找全等三角形的判定条件；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．
【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中，，
∴△ADE≌△CED（SSS）．
（2）由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形．



【知识点】矩形性质；轴对称的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定

3. （2018广西省柳州市，23，8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.

第23题图
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长.
【思路分析】(1)根据菱形的定义计算；
(2)根据菱形的性质得出菱形的对角线之间的位置与数量关系求解.
【解题过程】(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为8. ………………2分
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，且∠AOB＝90°. ………………5分
在Rt△AOB，∴OB＝＝＝. ………………7分
∴BD＝2OB＝2. ………………8分
【知识点】菱形的性质

4. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.
【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；
（Ⅲ）.
详解：（Ⅰ）∵点，点，
∴，.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∵矩形是由矩形旋转得到的，
∴.
在中，有，
∴ .
∴.
∴点的坐标为.

（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.
又点在线段上，得.
由（Ⅰ）知，，又，，
∴.
②由，得.
又在矩形中，，
∴.∴.∴.
设，则，.
在中，有，
∴.解得.∴.
∴点的坐标为.

（Ⅲ）.
点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.

5. （2018年江苏省南京市，20，8分）如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.

【思路分析】（1）利用圆周角与圆心角的关系得到角之间的关系或延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系来解答；
（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质得出四边形的四条边相等，从而得到四边形是菱形．
【解题过程】（1）证法1：∵.
∴点、、在以点为圆心，为半径的圆上.
∴.
又，
∴.
证法2：如图①，作的延长线.
∵，
∴.
又，
∴.
同理.
∴，
即.
又，
∴.

（2）证明：如图②，连接.
∵，，，
∴.
∴，.
∵，，
∴，.
又.
∴，
∴.
又，，
∴，
∴四边形是菱形.

【知识点】等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 菱形的判定

6.（2018贵州省毕节市，24，12分）如图,在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
(1)求证:△APD≌△BQC；
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形．

【思路分析】（1）先证明四边形CDPQ是平行四边形，再根据四边形ABCD是平行四边形可证得∠1＝∠3，利用SAS定理即可证得:△APD≌△BQC；（2）由AH是⊙O的切线以及CF是⊙O的直径，再由AH∥BC，可证得△ABC是等边三角形，从而求得∠ACF的度数；（3）先根据△APD≌△BQC和∠ABP+∠BQC=180°可证得∠ABP＝∠APB，从而得到AB＝AP，进而证得AB＝AP＝PQ＝BQ，即可证得:四边形ABQP为菱形．
【解题过程】证明：（1）∵CQ∥DB,即CQ∥DP, 又∵CQ=DP,∴四边形CDPQ是平行四边形，∴PD＝CQ，BD∥CQ,∴∠2＝∠3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，则在△APD和△BQC中，∵，∴△APD≌△BQC（SAS）；
（2）∵△ADP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∠APD＝∠BQC，又∵∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＋∠APD＝180°，又∵∠APB＋∠APD＝180°，∴∠ABP＝∠APB,∴AB＝AP, ∵四边形CDPQ是平行四边形，∴CD＝PQ,又∵AB＝CD，∴AB＝AP＝PQ＝BQ，∴四边形ABQP为菱形．

【知识点】平行四边形的性质和判定；全等三角形的性质和判定；等腰三角形的判定；菱形的判定；平行线的性质

7. （2018湖南娄底，24，9）如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.

(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
【思路分析】（1）要证明，需要证明这个关键条件，根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形即可。
（2）通过对角线互相平分先证明是平行四边形，在根据对角线垂直进一步证明是菱形
【解题过程】
解：（1） OA=OC，OB=OD
四边形ABCD是平行四边形
AD//BC

又 （对顶角相等）OA=OC

（2）菱形
理由：由（1）得
OE=OF
OE=OF OB=OD
四边形BEDF是平行四边形
又
四边形BEDF是菱形
【知识点】三角形全等、特殊四边形的性质与判定

8. （（2018吉林长春，22，9分））在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE.
【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.
（1） 求证：BE=FG
（2） 连结CM.若CM=1，则FG的长为 ________.
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ________.


【思路分析】（1）通过平移GF，将图2的问题转化为图1的问题，利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质解决问题.
（2）通过直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线成绩的一半解决问题。
【解题过程】（1）证明：将GF平移到AH处，则AH∥GF，AH=GF
∵GF⊥BE，∴AH⊥BE，∴∠ABE+∠BAH=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴ＡB＝BC, ∠ABH=∠BCE=90°
∴∠ABE+∠CBE=90°
∴∠BAH=∠CBE
在△ABH≌△BCE中
∠BAH=∠CBE
ＡB＝BC
∠ABH=∠BCE
∴△ABH≌△BCE
∴BE=AH
∴BE=FG
H

（2）2
应用：在Rt△BCE中，∠BCE=90°，CM是BE边上的中线，∴BE=2CM=6，由（1）得BE=CG=6，又∵ME=BE=3，且BE⊥CG，∴S四边形GMCE==9.
【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定及性质，以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.

9.（2018吉林省，16, 5分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

【思路分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；
【解题过程】证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF。
【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定．

10. （2018吉林省，24, 8分）．如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为　菱形　；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

【思路分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
（3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．

【解题过程】（1）证明：如图1，∵DE∥AC，∴∠DEF=∠EFC
∵∠DEF=∠A，∠A=∠EFC
∴EF∥AB
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）菱形
理由如下：∵点D为AB中点，∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，∴DE=AC，
∵AB=AC，∴AD=DE，∴平行四边形ADEF为菱形，
故答案为：菱形；
（3）结论：四边形：AEGF为矩形，
理由：如图②，由①知四边形ADEF为平行四边形
∴AF∥DE，AD=EF,
∵EG=DE,∴AF∥EG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG, ∴AG=EF,
∴四边形AEGF为矩形。
【知识点】平行四边形、矩形、菱形的判定
11. （2018江苏扬州，24，10）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC=10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．

【思路分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，∴△AFD≌△BFE，∴AD=EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCB，∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，
∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，
∴tan∠ABE=EFBF=3，∵BF=102，∴EF=3102，∴DE=310，
∴S菱形AEBD=12•AB•DE=12⋅10•310=15．
【知识点】全等三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定

12. （2018辽宁省沈阳市，18，8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.

第18题图
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是 .
【思路分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得出该平行四边形的一个角为直角，即可证明四边形OCED是矩形.
(2)由菱形的性质和矩形的性质，可知菱形ABCD的面积=4=4×=2=2×1×2=4.
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形.
∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形.
(2)解：4
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；全等三角形的判定；矩形的性质及判定.

13. (2018湖南湘西州，21，8分) 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
A
B
C
D
E
第21题图

【解答过程】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠A＝∠B．
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
(2)【解答过程】∵AB＝6，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝3．
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，根据勾股定理可得：
DE＝＝＝5．
∵△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE＝5．
又∵矩形ABCD，
∴CD＝AB＝6．
∴DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16．
即△CDE的周长为16．

14. （2018内蒙古包头，22，8分）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，连接BD，
点E在AB上，且∠BDE＝15°，DE＝，DC＝.
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积；
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【思路分析】（1）先求出∠ADE＝30°，在Rt△AED中用锐角三角函数求出AE、AD的长，再由等腰直角三角形的性质得出AB的长，用AB的长减去AE的长就得出BE的长；
（2）用△DEB的面积加上△BDC的面积即得四边形DEBC的面积.
【解题过程】如答案图1.
解：（1）在四边形ABCD中，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°
∵AB＝AD
∴∠ABD＝∠ADB＝45°
∵∠BDE＝15°
∴∠ADE＝30°
在Rt△AED中,∵DE＝
∴AE＝sin30°·＝，AD＝cos30°·＝6，
∴AB＝AD＝6
∴BE＝
（2）过点D作DF⊥BC于点F
∴∠BFD＝90°
∵∠BAD＝∠ABC＝90°
∴四边形ABFD是矩形
∴BF＝AD＝6，DF＝AB＝6
在Rt△DFC中,∵DC＝
∴FC＝
∴BC＝
∴

【知识点】等腰直角三角形的性质；三角函数；三角形的面积


15. （2018内蒙古通辽，22，7分）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
A
B
D
C
F
E

【思路分析】（1）现根据E是AD的中点，说明AE＝DE，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DEB，然后利用“角角边”证明三角形全等即可；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【解题过程】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
又∵AE∥BC，∴∠AFE＝∠BDE，∠EAF＝∠EDB
∴△AEF≌△DEB
（2）四边形ADCF是矩形
证明：∵AF∥CD，且AF＝CD
∴四边形ADCF是平行四边形
∵△AEF≌△DEB
∴AF＝BD
∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线，
∵AB＝AC
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°
∴四边形ADCF是矩形．

16.（2018广西南宁，23，8）如图，在ñABCD 中， AE⊥BC， AF⊥CD，垂足分别为 E、 F，且 BE＝DF．
（1） 求证：ñABCD 是菱形；
（2） 若 AB＝5，AC＝6，求ñABCD 的面积．
A
B
E
C
F
D
第23题图

【思路分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，由题目 AE⊥BC，AF⊥DC 得出∠AEB＝∠AFD＝90°，因为 BE＝DF，由ASA证明△AEB≌△AFD，可得出AB＝AD，根据菱形的判定，即可得出四边形 ABCD 为菱形；
（2）由平行四边形的性质得出 AC⊥BD， AO＝OC＝AC＝3，在 Rt△AOB 中，由勾股定理BO＝ 可求 BD， 再根据菱形面积计算公式可求出答案.
【解答过程】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵AE⊥BC， AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD(ASA)．
∴AB＝AD，
∴四边形 ABCD 是菱形．
A
B
E
C
F
D
第23题图
O

（2）如图，连接BD交AC于点O
∵由（1）知四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝ AC＝ ×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
在Rt△AOB中，BO＝ ＝ ＝4 ，
∴BD＝2BO＝8，∴SñABCD＝AC×BD＝×6×8 ＝24．

17. （2018贵州贵阳，24，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC边上的一点，且BP＝2CP.
（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；

① ②
【思路分析】（1）用尺规作线段CD垂直平分线，垂足E即为CD边上的中点E;(2)要判断EB是否平分∠AEC，判断△ABE是否为等边三角形，结合反证法说明AE>AB即可；
【解析】（1）如图所示，点E为CD边中点；


（2）EB不能够平分∠AEC.由于E为CD中点，则△ADE≌△BCE， 则AE＝BE，若EB平分∠AEC，则∠DEA＝∠AEB＝∠CEB＝60°，由于DE＝，所以AD＝与AD＝2相矛盾，在（1）的条件下，EB不能平分∠AEC。

18. （2018黑龙江哈尔滨，27，10）已知:在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y＝x＋与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．
(1)如图1，求点A的坐标;
(2)如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB＝60°，
点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AF连接AF、EF，若∠AFE＝30°，求AF2＋EF2的值;
(3)如图3，在(2)的条件下，当PE＝AE时，求点P的坐标．

(图1) (图2) (图3)


【思路分析】
（1）易求B、C两点坐标，转换线段长勾股就可求出BC，加上菱形性质，求得AO．
（2）由（1）问所求易证△ABC为等边三角形，连接CE、CF得到一组旋转全等型，全等后易证得△CEF为等边三角形，因为∠AFE＝30°所以△ACF是直角三角形，易得出AF2＋CF2＝AC2＝72＝49
（3）延长CE、FA交于点H可得到一个30°，60°为内角的直角三角形，在BP上截取TB＝AP连接TC构造出△ACP≌△BCT从而证出△APF为等边三角形，解斜求出BF＝，AT＝，BP＝3，作PQ⊥AB垂足为点Q作PK⊥OC垂足为点K则四边形PQOK为矩形，求出OK和OQ．

【解答过程】
(1)解:∵y＝x＋ ∴B（，0）C(0，)∴BO＝ ，CO＝
在Rt△BCO中BC＝＝＝7∵四边形ABCD为菱形
∴AB＝BC＝7 ∴AO＝AB－BO＝7＝ ∴A(，0)
(2) ∵AO＝＝BO，CO⊥AB∴AC＝BC＝7∴AB＝AC＝BC∴△ABC为等边三角形
∴∠ACB＝60°∵∠APB＝60°∴∠APB＝∠ACB∵∠PAG＋∠APB＝∠AGB＝∠CBG＋∠ACB
∴∠PAG＝∠CBG，连接CE、CF∵AE＝BF∴△ACE≌△BCF∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF
∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠ACF＋∠BCF＝∠ACB＝60°∴△CEF为等边三角形
∴∠CFE＝60°EF＝FC∵∠AFE＝30°∴∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝90°
在Rt△ACF中∴AF2＋CF2＝AC2＝72＝49∴AF2＋EF2＝49

(3)由(2)知△CEF为等边三角形∴∠CEF＝60°EC＝EF，延长CE、FA交于点H
∵∠AFE＝30°，∠CEF＝∠H＋∠EFH∴∠H＝∠CEF－∠EFH＝30°∴∠H＝∠EFH∴EH＝EF
∴EC＝EH，连接CP∵PE＝AE，∠CEP＝∠HEA∴△CPE≌△HAE∴∠PCE＝∠H∴CP∥FH
∴∠HFP＝∠CPF，在BP上截取TB＝AP连接TC
由(2)知∠CAP＝∠CBT∵AC＝BC∴△ACP≌△BCT
∴CP＝CT，∠ACP＝∠BCT∴∠PCT＝∠ACP＋∠ACT＝∠BCT＋∠ACT＝∠ACB＝60°
∴△CPT为等边三角形∴CT＝PT，∠CPT＝∠CTP＝60°
∵CP∥FH∴∠HFP＝∠CPT＝60°∵∠APB＝60°∴∠APB＝∠AFP∴AP＝AF
∴△APF为等边三角形∴∠CFP＝∠AFC－∠AFP＝90°－60°＝30°
∴∠TCF＝∠CTP－∠TFC＝60°－30°＝30°∴∠TCF＝∠TFC∴TF＝TC＝TP
连接AT则AT⊥BP设BF＝m则AE＝PE＝m∴PF＝AP＝2m∴TF＝TP＝m，TB＝2m，BP＝3m
在Rt△APT中AT＝＝＝m
在Rt△ABT中AT2＋TB2＝AB2∴(m)2＋(2m)2＝72∴m1＝－(舍去)，m2＝
∴BF＝，AT＝，BP＝3，sin∠ABT＝＝
作PQ⊥AB垂足为点Q作PK⊥OC垂足为点K则四边形PQOK为矩形
则OK＝PQ＝BP·sin∠PBQ＝3×＝3，BQ＝＝＝6
OQ＝BQ－BO＝6－＝∴P（，3）


19.（2018湖北十堰，24，10分） 已知正方形ABCD与正方形 CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论;
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．


【思路分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答过程】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（3）如图3中，作MR⊥DE于R．

在Rt△CDE中，DE＝＝12，
∵DM＝ME，DM⊥ME，
又∵MR⊥DE，∴MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝＝＝
如图4中，作MR⊥DE于R．

在Rt△MRF中，FM＝＝，
故满足条件的MF的值为或．

20. （2018年浙江省义乌市，23，12）小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．

（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．
（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．
（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．
【思路分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF⊥CD，证明△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；（3）根据菱形的性质、结合（2）的结论解答，答案不唯一．
【解题过程】（1）证明：如图1，在菱形ABCD中，
∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，
∵∠EAF=∠B，
∴∠EAF+∠C=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵AE⊥BC，
∴AF⊥CD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF；
（2）证明：如图2，由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，
∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，

∴△AEP≌△AFQ，
∴AP=AQ；
（3）答案不唯一
层次一：①求∠D的度数。由菱形的性质可得∠D＝∠B＝60°
②分别求出∠BAD与∠BCD的度数。∠BAD＝∠BCD＝180°－∠B＝120°
③分别求BC、CD、DA的长。BC＝CD＝DA＝AB=4
④求菱形ABCD的周长。ABCD的周长＝4 AB＝16
层次二：①求PC+CQ的值。如图3，连接AC，∵AB=BC，B＝60°，∴△ABC为等边三角形，同理，△ADC也为等边三角形，由“三线合一”得BE=EC=CF=FD，由（2）得△AEP≌△AFQ，∴EP=FQ，∴BE+ EP= CF+ FQ，即BP=CQ，∴PC+CQ＝PC+BP＝BC=4
②求BP+DQ的值。由上面结论BP=CQ可得BP+DQ＝CQ +DQ＝CD＝4
③求∠APC+∠AQC的值。∵BP=CQ，BC＝CD，∴CP=DQ，∵AC=AD，AP=AQ，∴△ACP≌△ADQ，∠APC=∠AQD，∵∠AQD +∠AQC=180°，∴∠APC+∠AQC=180°
层次三：①求四边形APCQ的面积。连接AC、BD交于O，∵BE=EC=CF=FD，∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，OA=AB=2，OB=AB=2，
∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，∴四边形APCQ的面积=4．
②求△ABP与△AQD的面积和。∵△ACP≌△ADQ，∴△ABP与△AQD的面积和＝△ABP与△ACP的面积和＝△ABC的面积＝四边形ABCD的面积＝4
③求四边形APCQ周长的最小值。∵PC+CQ=PC+BP=BC=4为定值，∴要使四边形APCQ周长的最小，则AE与AF的值最小，即当AE⊥BC，AF⊥CD时最小，此时AE＝AF＝，∴四边形APCQ周长的最小值＝4+4

【知识点】菱形的性质；全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质

21. （2018浙江舟山，19，6） 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．
求证：矩形ABCD是正方形．

【思路分析】只要证明△ABE≌△ADF即可．
【解答过程】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
又∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．

22. （2018辽宁锦州，24，12分）如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上,连接BE,交AF于点G。
（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由：
（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变。
①如图2，若∠ADC=60°，求的值；
②如图3，若∠ADC=a（0°＜a＜90°），直接写出的值，（用含a的三角函数表示）。




【思路分析】（1）根据平行四边形、菱形的性质、找全等的条件求解。
（2） ∠ADC=60°得△EFD，△HAD是正三角形，设AB=x,AD=y,
由题意可得DF=x,GF=,BH=x+y,求解。
（3） (3)连接CF\过H作HM⊥AD,AB=x,AD=y,用三角函数与x、y分别表示DF=2xxosa,GF=,BH=x+,进而求解.
【解答过程】（1）BG=EG
理由如下：∵□ABCD∴AB∥CD,AB=CD
∵菱形CEDF∴EF∥CD,EF=CD，∴AB∥EF,AB=EF，∴∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG
∴BG=EG
(2) .
设AB=x,AD=y,
由题意可得DF=x,GF=,BH=x+y,

(3) Cosα