知识点13 一元二次方程的代数应用2018--2

一、选择题

1. （2018黑龙江省龙东地区，15，3分）  某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（    ）

A．4  B．5  C．6  D．7

【答案】C

【解析】设有x个班级参赛，依题意列方程得，解得x1＝－5（舍去），x2＝6，∴有6个班级参赛．

【知识点】一元二次方程的实际应用

2. （2018广西南宁，11，3）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A．80(1＋x)2＝100  B．80(1－x)2＝100  C．80(1＋2x)＝100  D．80(1＋x2)＝100

【答案】A，【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年的蔬菜产量为80(1＋x)吨，2018年蔬菜产量为80(1＋x) (1＋x)吨．预计2018年蔬菜产量达到100吨，即80(1＋x) (1＋x)＝100，即80(1＋x)2＝100．

3. （2018·宁夏，5，3）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是                      （    ）

4.若A．300(1＋x)＝507                      B．300(1＋x)2＝507

C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507            D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507

【答案】B．

【解析】∵2018年初获利润300万元，年利润平均增长率为x，

∴2019年初获利润300(1＋x)元，2020年初计划利润为300(1＋x)2．

又∵2020年初计划利润达到507万元，

∴应列方程是300(1＋x)2＝507．

∴选B．

【知识点】一元二次方程的应用；增长率问题

4. （2018四川眉山，10，3分）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（     ）

A．8%    B．9%    C．10%     D．11%

【答案】C，【解析】设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可得：6000(1＋x)2＝4860，解方程得：

x1＝0.1＝10%，x2＝－1.1(舍去)．故答案为C．

二、填空题

1. （2018内蒙古通辽，15，3分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为             ．

【答案】x(x－1)＝21

【解析】设邀请x个队，由于每个队都要赛（x－1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x－1)＝21，故答案为：x(x－1)＝21．

三、解答题

1. 阅读材料题（本题共12分）

 25. （2018年黔三州，25,12）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.

 例如;图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n由多少个点？

  我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个；图3中黑点个数是6×3=18个；……，所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是         、          .

【思路分析】根据图1、图2、图3，…，黑点数分别是6×1=6、6×2=12、6×3=18，

…，可以猜想图10中黑点数为6×10=60，图n中黑点数为6×n=6n.

【答案】60,6n  

【知识点】图形规律探索

请你参考以上“分块计数法”先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有       个圆圈；第n个点阵中有       个圆圈；

【答案】61   3n-3n+1(或3n(n-1)+1)

【解析】根据分法1，每个图形分成了3块，第1个图形有1个小圆圈，第2个图形有3×[2×（2-1）]+1个小圆圈,第3个图形有3×[3×（3-1）]+1个小圆圈，,第4个图形有3×[4×（4-1）]+1个小圆圈，…，第n个图形有3×[n×（n-1）]+1个小圆圈. 所以第5个点阵中有3×[5×（5-1）]+1=15×4+1=61个圆圈；第n个图形有3×[n×（n-1）]+1=3n(n-1)+1个小圆圈.

【知识点】归纳猜想

 (2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵.

【思路分析】设第n个点阵的小圆圈个数为271，根据问题（1）结论列方程解决.

【解题过程】设第n个点阵的小圆圈个数为271，则

3n(n-1)+1=271，整理得n2-n-90=0，解得n1=-9(不符合题意，舍去)，n2=10.

所以，第10个点阵中小圆圈个数为271个.

【知识点】构建一元二次方程，归纳猜想

2. （2018辽宁省沈阳市，21，8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本.

【思路分析】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，则等量关系为一月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）×（1-生产成本的下降率）=3月份的生产成本. 将相关数量代入，即可列出方程并求解.

（2）用3月份的生产成本×（1-生产成本的下降率）即可求得4月份该公司的生产成本.

【解题过程】解：（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得

400=361. 解得=5%， =1.95.

∵1.95＞1，∴ =1.95不符合题意舍去.

答：每个月生产成本的下降率为5％.

（2）361×（1-5％）=342.95（万元）.

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.

【知识点】一元二次方程的应用；增长率问题.

3. （2018四川巴中，25，12分）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法.

例知：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…….按此规律，求图10、图n有多少个点?我们将每个图形分成完全相同的6块，如每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个；图3中黑点个数是6×3＝18个；…….所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是      、         .

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有      个圆圈；第n个点阵中      有个圆圈.

（2）小圆圈的个数会等于271吗?如果会，请求出是第几个点阵.

【思路分析】

根据规律不难求得图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个；

（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）＋1＝3n2﹣3n＋1，

（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．

【解答过程】图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个，故答案分别为60个、6n个；

（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3＋1＝7个，第3个点阵中有：3×6＋1＝17个，第4个点阵中有：4×9＋1＝37个，第5个点阵中有：5×12＋1＝60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）＋1＝3n2﹣3n＋1，故答案分别为60，3n2﹣3n＋1；

（2）3n2﹣3n＋1＝271，n2﹣n﹣90＝0，（n﹣10）（n＋9）＝0，n1＝10，n2＝﹣9（舍），

∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．

4. （2018湖北十堰，21，7分）已知关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12＋x22＝11，求k的值．

【思路分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0，解之可得．

（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．

【解答过程】（1）∵关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋k－1＝0有实数根，

∴△≥0，即[－（2k－1）]2－4×1×（k2＋k－1）＝－8k＋5≥0，

解得k≤．

（2）由根与系数的关系可得x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2＋k－1，

∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（1－2k）2－2（k2＋k－1）＝2k2－6k＋3，

∵x12＋x22＝11，

∴2k2－6k＋3＝11，解得k＝－1或k＝4，

∵k≤，∴k＝4（舍去），

∴k＝－1．