知识点24 线段垂直平分线、角平分线、中位线2018--1

这是一份知识点24 线段垂直平分线、角平分线、中位线2018--1，共25页。试卷主要包含了 ．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为（ ）
A.20 B. 16
C. 12 　 D.8

第7题图
【答案】B
【解析】ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以O为AC的中点，又因为E是AB中点，所以EO是△ABC的中位线，AE=AB，EO=BC，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD中AD=BC，AB=CD，所以周长为2(AB+BC)=16
【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线

2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在中，，，，，分别为，，的中点，若，则的长度为（ ）

A． B．1 C． D．
【答案】B
【思路分析】1.由∠ACB=90°，∠A=30°，BC的长度，可求得AB的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF的长.
【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，，∴AB=4，CD=AB，∴CD=×4=2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF=CD=×2=1，故选B.
【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理

3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M．若BC＝7，则MN的长为（ ） ．
A． B．2 C． D．3

第8题图
【答案】C，
【解析】∵△ABC的周长为19，BC＝7，
∴AB＋AC＝12．
∵∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∴BA＝BE，N是AE的中点．
∵∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，∴AC＝DC，M是AD的中点．
∴DE＝AB＋AC－BC＝5．
∵MN是△ADE的中位线，
∴MN＝DE＝．
故选C.
【知识点】三角形的中位线

4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE//BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2,（ ）
A. 若2AD>AB，则3S1>2S2 B. 若2AD>AB，则3S1<2S2 C. 若2AD2S2 D. 若2AD

【答案】D
【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB即AD=BD时S1，S2的关系，然后再考虑AD>BD时S1，S2的变化情况。
【解题过程】当2AD=AB即AD=BD时2 S1= S2，则3S1<2S2。当2ADAB时，不确定。
【知识点】中位线及面积大小比较


5. （2018浙江湖州，8，3）如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝EF B．AB＝2DE
C．△ADF和△ADE的面积相等 D．△ADE和△FDE的面积相等
E
A
F
B
D
C

【答案】C
【解析】选项A，∵D为BC的中点，∴所以BD＝CD．∵FD＝CD，∴FD＝BD．∴∠B＝∠BFD．∵∠C＝∠DFE，∴ ∠B+∠C＝∠BFD+∠DFE．∴∠FAE＝∠AFE．∴AE＝FE．选项A正确．
选项B，∵E为AC的中点，D为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线．∴AB＝2DE．选项B正确．
选项C，∵BF∥DE，∴△ADF和△ADE的高相等．但不能证明AF＝DE，∴△ADF和△ADE的面积不一定相等．选项C错误．
选项D，△ADE和△FDE同底等高，面积相等，选项D正确．故选C.
【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角
1. （2018湖北黄冈，4题，3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为
A.50° B.70° C.75° D.80°

第4题图
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=25°,所以∠BAC=95°,因为DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°，所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B
【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质

2. （2018湖南郴州，7，3）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A.6 B.2 C.3 D.

【答案】D
【思路分析】判断出OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，根据角平分线的性质可得∠MOB=30°，然后根据“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半”列式计算即可得解．
【解析】解：由题意得OP是∠AOB的平分线，过点M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，
∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=OM=3，故选C．

【知识点】角平分线的性质，尺规作图

3. （2018甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（ ）
A.4 B.5 C.342 D.34

【答案】B.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点.
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴OE是△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜边的中线，
∴OB=12AC=5.
【知识点】矩形的性质，中位线的性质

4. （2018河北省，6，3）尺规作图要求：
ⅰ．过直线外一点作这条直线的垂线；
ⅱ．作线段的垂直平分线；
ⅲ．过直线上一点作这条直线的垂线；ⅳ．作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
l
第6题图
P
①
A
B
O
②
·
③
B
A
④
l

P


则正确的配对是（ ）
A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ B． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ D． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】D
【解析】根据不同的作图方法可以一一对应． ②的已知点在直线外，所以对应ⅰ，④的已知点在直线上，所以对应ⅲ．
【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线

5. （2018河北省，8，3） 已知，如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
A
B
P
C
第8题图

【答案】B
【解析】要证明PA＝PB需要作出AB上的中线（或垂线或∠APB的角平分线）．选项B中作出的辅助线同时满足了两个条件，不正确．故选B．
【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一


6.（2018贵州安顺，T8，F3）已知△ABC （AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）



【答案】D
【解析】选项A，该作图痕迹表示AB=PB，不符合题意；选项B，该作图痕迹表示作线段AC的垂直平分线交BC于点P，即PA=PC，不符合题意；选项C，该作图痕迹表示AC=PC，不符合题意；选项D，该作图痕迹表示作线段AB的垂直平分线交BC于点P，即PA=PB，故PA+PC=BC,符合题意.故选D.
【知识点】尺规作图.

7. （2018湖北荆门，11，3分）如图，等腰中，斜边的长为，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为（ ）

A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】解：连接OM，CM，OC.

∵OQ⊥OP，且M是PQ的中点，
∴OM=PQ.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴CM=PQ，
∴OM=CM，
∴△OCM是等腰三角形，
∴M在OC的垂直平分线上.
∵当P在A点时，点M为AC的中点，当P在C点时，点M为BC的中点，
∴点M所经过的路线长为AB=1.
故选C.
【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性质

8. （2018湖北省襄阳市，7，3分） 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于24cm长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为(▲)
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm

【答案】B
【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故选B.
【知识点】线段垂直平分线

9.（2018陕西，8，3分） 如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF

【答案】D
【思路分析】连接AC、BD交于点O．利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EH＝BO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与AO的关系，即得出AB与EF的关系．
【解题过程】连接AC、BD交于点O．
O

∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF=AC．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=AC，AC⊥BD．
∴EF=AO．
同理：EH=BO．
∵EH=2EF．
∴BO=2AO．
在Rt△ABO中，设AO=x，则BO=2x．
∴AB=AO．
∴AB=EF，故选择D．
【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理

二、填空题
1. （2018四川泸州，题，3分） 如图5，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 .


第16题图
【答案】18
【解析】做△ABC的高AH，因为S=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为EG是腰AC的垂直平分线，连接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值为AF的长度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周长的最小值为18
H

【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理

2. （2018四川内江，23，6） 如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为 ．

【答案】12
【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大．
【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝ (BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四边形ABCD的面积＝(AD＋BC)×CD，∴当AB∥l时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为×6×4＝12．

【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；
3. （2018四川广安，题号14，分值：3） 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=____.

第14题图
【答案】2.
【解析】过点E作ED⊥OA，于点D.
∵EF∥CO，
∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°.
∵∠AFE是△OEF的外角，
∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE，
∴OF=EF.
∵OE是∠AOC的平分线，CE⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=CE=1.
在Rt△EFG中，∠EFA=30°EG=1，
∴EF=2EG=2，
即OF=2.

【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质

4. （2018四川省南充市，第13题，3分）如图，在△ABC中，平分，的垂直平分线交于点，，，则 度．

【答案】24
【解析】解：设∠C的度数为x
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=x，∵∠FAE=19°，∴∠AFB=∠FAC+∠C=( x+19°)+x=2x+19°，∵AF平分∠ABC，∴∠BAF=∠FAC= x+19°，∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°，即70°+（2x+19°）+(x+19°)=180° ，解得：x=24°.故答案为：24.
【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余

5. （2018湖南衡阳，17，3分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么的周长是 ．

【答案】16
【解析】解：在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∵点O为AC的中点，OM⊥AC，
∴MO为AC的垂直平分线，
∴MC=MA，
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD）=16．
【知识点】


6. （2018江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、BD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 .（用含α的式子表示）
第14题图

【答案】
【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90°－α，∵E、F分别为AC、BD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E为AC的中点，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α.
【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质

7. （2018山东省济宁市，13，3）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件_______，使△BED与△FDE全等.

【答案】答案不唯一，如：点D是BC的中点或者DF∥AB.
【解析】当D是BC的中点时，△BED≌△FDE.∵E，F分别是边AB，AC的中点，∴EF∥BC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，ED∥AC，∴四边形BEFD是平行四边形，∴△BED≌△FDE，因此，答案为：D是BC的中点．
【知识点】全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质1. （2018武汉市，16，3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___________


【答案】
【思路分析】延长BC至点F，使CF=AC，由题意得DE是△ABF的中位线，△ACF是底角为30°的等腰三角形，作CG⊥AF，垂足为G，可求得AF的长，从而求出DE的长.
【解题过程】延长BC至点F，使CF=AC，∵DE平分△ABC的周长，AD=BC，∴AC+CE=BE，∴BE=CF+CE=EF，∴DE∥AF，DE=AF，∠CAF＝∠ACB＝30°.作CG⊥AF，垂足为G，则∠AGC=90°，AF＝2AG＝2AC×∠CAF＝2×1×30°＝，∴.

【知识点】三角形的中位线 等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系

2. （2018河南，15，3分）如图, ∠MAN = 90°,点C在边AM上,AC = 4,点B为边AN上一动点,连接BC, 与关于BC所在直线对称．点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接A'E．当为直角三角形时, AB的长为___________．
（第15题）


【答案】4或
【思路分析】根据题意，易得EF∥AB，∠＝∠CAB＝90°，∠1＝∠2＝∠3．
当为直角三角形时，分两种情况讨论：①∠＝90°时，∠＝2∠2，所以∠+∠3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，从而AB＝＝．②∠＝90°时，∠＝90°．根据对称，∠＝∠＝45°，进而判断出是等腰直角三角形，从而求出AB＝AC＝4．
【解题过程】
　　
图1 图2
解：∵∠MAN = 90°，与关于BC所在直线对称．
∴∠＝∠CAB＝90°，∠＝∠CBA
又∵点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F
∴，EF∥AB.
当为直角三角形时，由题意得，∠不能为直角，则
①如图1，∠＝90°时，∠+∠3＝90°
∵EF∥AB，∴∠＝∠＝∠1+∠2＝2∠1.
又∵,∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2,
∴AB＝＝.
②如图2，∠＝90°时，
∵EF∥AB,∴∠＝∠＝90°．
由对称可得，∠＝∠＝45°，
∴是等腰直角三角形∴AB＝AC＝4.
综上所述， AB的长为4或
故答案为：4或
【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数

三、解答题
1. (2018山东青岛中考，15，4分)已知：如图，，射线上一点.
求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

【思路分析】作线段BD的垂直平分线与∠ABC的平分线，交于点P，连接BP，PD，则△PBD就是求作的三角形．
【解题过程】解：作图如下：

【知识点】尺规作图——角平分线、垂直平分线

1. （2018湖北鄂州，18，8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE＝EF；
（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．

【思路分析】
【解析】解：（1）证明：∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝CD，又∵DB＝DC，∴EF＝ DB，在Rt△ABD中，∵点E为DB的中点，∴AE是斜边BD上的中线，∴AE＝ DB，∴AE＝EF；
（2）如下图（1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠EAF＝60°，
又∵∠DAB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠BAF＝30°－∠1，∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β，∵AE是斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠1＝∠ADB＝α，∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°．

【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质

2. （2018四川攀枝花，20，8）(本小题满分8分)已知△ABC中，∠A=90°.
（1）请在图8中作出BC边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)如图9，设BC边上的中线为AD.
求证:BC=2AD.


【思路分析】（1）用尺规作图作出线段BC的中垂线，目的是作出线段BC的中点D，然后连接线段AD即为所求。
【解题过程】
(1)如图(1)所示：


(2) 如图(2),作AB边的中点E,连接ED，∵BE=EA,BD=DC,∴ED∥AC,
∵∠BAC=90°,∴∠BED=90°，∴DE⊥AB，∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴AD=BD=DC，∴BC=2AD。
【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。


3. （2018湖北省孝感市，20，7分）如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作的平分线交于点；
②作边的垂直平分线，与相交于点；
③连接，.
请你观察图形解答下列问题：

（1）线段，，之间的数量关系是________；
（2）若，求的度数.
【思路分析】（1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.
(2)根据等腰三角形的性质可得∠ACB=，再有三角形的内角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性质可得=∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.
【解题过程】解：（1）线段，，之间的数量关系是:（或相等）.
（2）∵平分，，，
∴，.
∵是线段的垂直平分线，
∴，∴.
∵是的外角，
∴.
∴.
∴.

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.


4. （2018·北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图：

①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延
长线于点B；
②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依据）．
【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQ＝CB；最后过点P、Q作直线即可；（2）由作图易知PA＝AB，CQ＝CB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线．
【解题过程】
17．解：（1）如下图所示：

（2）PA，CQ；依据：①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形的中位线平行于第三边；③两点确定一条直线．
【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理