数学2.2.2 不等式的解集优秀课时训练

2.2不等式的解集人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设，为实数，不等式对所有成立，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，，，则下列说法错误的是．(    )

A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为

4. 九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形黄和两个小直角三角形朱、青将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是
   

由图和图面积相等得；

由可得；

由可得；

由可得．

A.  B.  C.  D.

5. 某商场对商品进行两次提价，现提出下面四种提价方案，提价幅度最大的一种是(    )

A. 先提价，后提价 B. 先提价，后提价
C. 两次均提价 D. 两次均提价

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若且，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 给出下列语句：

若，为正实数，，则；

若，，为正实数，，则；

若，则；

当时，的最小值为，其中结论正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法中，正确的是(    )

A. 不等式的解集是
B. “”是“”成立的充分条件
C. 函数的最小值为
D. “”是“”成立的必要条件

10. 下列命题正确的是(    )

A. 当，则
B. 的解集是全体实数
C. 设，则的最大值是
D. 若，则

11. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知、，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，，则的最大值为          
14. 若时，的最大值是__________．
15. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ ．
16. 已知，，且，则的最大值为__．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.  经观测，某公路段在某时段内的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间有函数关系：．

在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？

为保证在该时段内车流量至少为千辆小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

18. 设．

若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

在的条件下，求的最小值；

解关于的不等式．

19. 已知函数．

若的解集为或，求，的值

若存在使不等式成立，求的取值范围．

20. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点已知米，米，设的长为米
    
    Ⅰ要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
    Ⅱ求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值．
21. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米．
     

要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内

求当、的长度是多少时，矩形花坛的面积最小并求出最小面积．

22. 已知函数．

解不等式；

若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等．
设，利用核心喷泉区的面积为，表示出，进而可得整个项目占地面积关于的函数解析式，利用基本不等式即可得到结论．

【解答】

解：设，知 ，
整个项目占地面积为

．
当且仅当，即时取等号．
当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用不等式求最值问题，属于中档题．
根据不等式列出其可能情况，再联合求解即可．
【解答】
解：令，，
则，
所以，
，
，
由，
知，
故，
即最大值为．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式性质，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于中等题．
根据题意，利用不等式性质以及基本不等式逐项判断即可．

【解答】

解：由题意，对各选项依次进行分析：
对，因为正实数，满足，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，故有最大值，故A正确
对，因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以有最小值，故B正确．
对，利用基本不等式，有，
当且仅当，即时等号成立，故有最小值，故C正确；
对，由题意，得，
故，当且仅当时等号成立，
即有最大值，故D错误．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了演绎推理，考查了学生的分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
利用题目所给条件，结合三角形面积和勾股定理，逐项计算得结论．
【解答】
解：对于，因为图和图面积相等，所以，即，因此正确；
对于、因为内接正方形的边长，所以，
而于点，因此，即，
所以由得，因此，所以正确；
对于、因为为斜边的中点，所以，
因此由得，
即，因此正确；
对于、由得，
即，因此正确．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以商品提价为背景，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
逐一得到各选项两次提价后商品价格，再利用基本不等式比较大小即可．

【解答】

解：由题意不妨设商品原价为，
，选项两次提价后商品价格均为，
选项提价后商品价格为，
选项提价后商品价格为．
由，
，
，
，
提价幅度最大的为选项．
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
根据不等式的性质分别进行判断即可．

【解答】

解：若，则，，故A错误
因为，，则，故B错误
因为单调递减，且，则成立，故C错误；
因为，，，
所以，故 D正确．
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，属于中档题．
解决问题的关键是根据各个选项结合不等式的性质逐一分析判断即可．

【解答】

解：对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，，，正负不确定，所以不正确；
对于，可能为，所以有可能，所以不正确；
对于，  ，正确．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查基本不等式，不等式的实际应用，大小比较．
，若，，，；
，若，，，，作差判断即可；
不等式中，不等式的两边同乘以，判断结论即可；
，当时，，结合不等式的性质判断即可．
【解答】
解：对于，若，
，
故正确
对于，若，
则，
则，故错误
对于，若，则，故正确
对于，当时，
若的最小值为，
则，显然不成立，故错误，
因此，本题正确答案是：．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了必要条件、充分条件，不等式性质，不等式求解和基本不等式，属于中档题．
利用解分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法判断，利用充分条件的定义，结合不等式性质判断；利用基本不等式判断；利用正切函数的性质以及必要条件的定义判断．
【解答】
解：由得
解得：，解集为，故A错误；
因为当，时，一定有，所以充分性成立；
当时，如，满足，
但，不成立，即必要性不成立，

因此“，”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；

因为，
且仅当，即时取等号，而不可能成立，
所以不可能取得等号，则，故C错误；
因为当时，，所以“”不一定得出“”，
但“”一定能得出“”，
所以“”是“”成立的必要条件，故D正确．
故选BD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的性质，比较大小，基本不等式求最值，一元二次不等式的解法．
利用糖水不等式或作差比较法可以判断A正确；
根据可知B错误；
利用基本不等式可判断C正确；
根据不等式的性质可以判断D错误．

【解答】

解：
又

故，也可直接由糖水不等式得出答案，A正确；

的解集不是全体实数，B错误；

又  

的最大值为，C正确；
   ，D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，属于中档题．

由即可判定；由即可判定；由即可判定；由可得，再利用不等式的性质可判定．

【解答】

解：因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，A正确
因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，B正确
因为，均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确
因为，均为正数，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，不正确．
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养，属于中档题．

利用基本不等式可判断、选项的正误，利用导数可判断选项的正误，利用特殊值法可判断选项的正误．

【解答】

解：由，得当且仅当，且即，时等号成立，故A错误；

由题意可得，解得，则，

令，其中，则．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，即，当且仅当时等号成立，故B正确；

取，，则，但，故C错误；

当且仅当，时等号成立，故D正确．

故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
由不等式求解即可．

【解答】

解：对原题进行变形，有得到，
令，，于是原题等价于，求的最大值，
利用不等式，，得到，
当且仅当，即时取等号，
故答案为： ．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了利用基本不等式的性质求最值，可先变形为，再根据基本不等式性质可得到，即可得到原式最大值．

【解答】

解：，
即，
得到，
当且仅当，即时取等号，
，
即，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式的运用以及不等式求解，属于中档题．
不等式有解，即为不大于的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得的范围．
【解答】
解：正实数，满足，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
由恒成立，可得，
解得．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
由题意利用基本不等式求得的范围，可得它的最大值．
【解答】
解：，，且，
，
，当且仅当时，等号成立，
，
即，
解得，故的最大值为，
故答案为：．  

17.【答案】解因为，            
而，因此，
所以，                    
当且仅当，即时等号成立，
因此当汽车的平均速度千米小时时车流量最大．
因为要保证在该时段内车流量至少为千辆小时，
所以．
又因为，所以，
因此由得，
即，
即，解得，
所以汽车的平均速度应控制在千米小时到千米小时范围内． 

【解析】本题考查了不等式求解，利用基本不等式求最值，二次函数，基本不等式的实际应用和一元二次不等式的解法，是中档题．
利用基本不等式求最值，计算得结论；
利用基本不等式的实际应用得，再利用分式不等式的解法，结合二次函数得，再利用一元二次不等式的解法计算得结论．
 

18.【答案】解：．
故，
时，，不满足题意；
时，则
综上所述，．
由可知，
，
当且仅当时，等号成立．
故的最小值为．
，
当时，，解集为
当时，方程的两个根为．
不等式的解集为．
当时，
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为．
综上所述，时，解集为；
时，解集为
时，解集为
时，解集为
时，解集为． 

【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式求解以及不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意可知，时，，不满足题意；时，则，即可求解．
利用基本不等式求最值；
讨论不等式是否为二次不等式，讨论的范围求解解集．
 

19.【答案】解：因为，
所以等价于，

所以不等式的解集为或，

所以，是一元二次方程的根，且．

所以，解得．

因为等价于，

即，所以，
当时，．

存在，使得成立，即存在，使得成立．

令，，则．

令，则，

，当且仅当，即时等号成立，

所以，

所以的取值范围是

【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法及不等式的存在性问题，利用基本不等式求最值，考查分析计算能力，属于中档题．
将转化为，解得或，结合韦达定理可得，求出，即可．
由已知得，将问题转化为存在，使得成立，再利用基本不等式求得最值即可．
 

20.【答案】解：设的长为米

是矩形，，，

 ，

Ⅰ由，得 ，

，

或

长的取值范围是，

Ⅱ令，令，则，

当且仅当，即时取等号．

此时，，最小面积为平方米．

【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．
Ⅰ求出矩形的长与宽，计算其面积，利用面积大于平方米，建立不等式，即可求得的长的范围；

Ⅱ利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．

21.【答案】解：设的长为米

是矩形，，

 ，

由，得 ，

，

或

长的取值范围是，

令，令，则，

当且仅当，即时取等号．

此时，，最小面积为平方米．

【解析】本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．
求出矩形的长与宽，计算其面积，利用面积大于平方米，建立不等式，即可求得的长的范围；

利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．

22.【答案】解：Ⅰ原不等式化为，即．
当时，不等式化为，解得，故；
当时，不等式化为，解得，故；
当时，不等式化为，解得，故．
原不等式的解集为．
Ⅱ证明：，

，
当且仅当且时取等号．
又，


，
当且仅当时取等号．
成立． 

【解析】本题考查解绝对值不等式、绝对值不等式的性质和基本不等式求最值的应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
Ⅰ利用零点分段法即可求解；
Ⅱ利用绝对值不等式和基本不等式即可求证．