高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质优秀一课一练

2.21不等式及其性质人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若，且，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，都是正实数，设，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，给出下列不等式：；；；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 已知，，都是负数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，且，则下列四个数中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 英国数学家泰勒以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世由泰勒公式，我们能得到其中为自然对数的底数，，，其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则下列结论中不恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法正确的是(    )

A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
D. “”是“关于的方程有实根”的充要条件

10. 对于实数，，，其中，下列不等式式恒成立的有(    )

A.  B.
C.  D.

11. 对于实数，，，下列命题中正确的是(    )

A. 若则；
B. 若，则；
C. 若，则；
D. 若，，则，．

12. 下列结论正确的有(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，则的取值范围是          ．
14. 已知均为大于的实数，给出下列五个论断：，，，，以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题          ．
15. 孙子算经是我国南北朝时期公元世纪的数学著作在孙子算经中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个正整数为，当时，符合条件的所有有          个．
16. 已知，，则的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 实数，满足，．

求实数，的取值范围．

求的取值范围．

18. 已知且，试比较与的大小．
19. 已知，求证：．
20. 已知，比较与的大小．
21. 已知，，求证：；
    已知，，求证：．
22. 已知，，求证：

设，利用的结论证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的大小比较与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，且，可取，代入计算即可得出大小关系．

【解答】

解：采用特殊值法，，且，
可取，．
则，，，
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式性质及比较大小，属中档题．
根据不等式性质及作差法比较大小，对选项逐一分析即可作出判断．

【解答】

解：因为，的正负无法确定，故错误；

B.因为，的正负无法确定，故错误；

C.因为，的正负无法确定，故错误；

D.因为， ，所以，所以，故正确，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，属于中档题．
通过放大分母，可得，利用不等式的性质，可得，即可求解．

【解答】

解：由题意得：，
又，
所以．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：不等式的性质，作差法和赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用不等式的性质及作差法和赋值法的应用判断的结论．

【解答】

解：已知，
对于：故，故正确；
对于：，故正确；
对于：，当，时，则，，故错误；
对于：，故正确．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的基本性质，作差法比较大小．
根据不等式的性质，逐项判断即可．

【解答】

解：对于，由题意，则，选项A错误；
对于，由，可得，选项B错误；
对于，由不等式的可加性可知，由，可得，选项C错误；
对于，由，所以，选项D正确．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式性质和比较大小．
利用不等式性质，用作为媒介数比较大小得结论．

【解答】

解：因为且，所以，
则由得，
由得，
由得，即．
由得，
因此，，
所以最大．
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用题中给出的信息，列出不等式，然后根据选项中的数值，对进行赋值分析即可．
本题考查了信息题，解题的关键是正确的理解信息，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进行研究．

【解答】

解：根据题意可得，，
即，
当时，，
当时，，
所以正整数的最小值为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力．
将，转化为，利用不等式的基本性质判断，的正误，利用完全平方公式判断的正误，利用特殊值判断的正误．

【解答】

解：因为，所以所以，即，故A，B正确．

因为，所以，又，所以故C正确．

当时，，故D错误．

故选：

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假，属于中档题．
直接利用简易逻辑，充要条件，逐个判断即可得出答案．

【解答】

解：对于：若，满足，但，故A错误；
对于：存在量词命题的否定为全称量词命题，故B正确；
对于：，满足，但，故C错误；
对于：方程有实数根，
所以，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查应用不等式性质比较大小，考查基本不等式的应用，属于中档题．
由题意，各选项可按以下办法判断正确与否，用不等式性质判断，利用基本不等式判断，使用作差法，判断．

【解答】

解：由不等式性质，已知，两边同时加上，不等号不变，
故成立，选项正确
由不等式性质，已知，如果为负数或零，则不成立，
故不是恒等式，选项错误
由已知，
所以，
当且仅当时，等号成立，选项正确
，
由，可得，，
所以，
即成立，故D选项正确．
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题．
选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．

【解答】

解：时不成立； 
B.若，则，；
，，
 ，故B正确；
C.若，
则
，故C正确；
 若，，则，
所以，，故D正确． 
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，为基础题．

【解答】

解：若，则，
，不正确，B正确
若，则，，不正确，D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等关系与不等式，属中档题．
令，，解出，后代入到后变成，再利用，的范围可求得．

【解答】

解：令，，
则，，
，
故答案为：

14.【答案】已知为大于的实数，若，，则． 

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的性质比较大小，属于中档题．

选择两个条件根据不等式性质推出结论即可，答案不唯一如选，根据作差法可得到．

【解答】

解：已知均为大于的实数，选择推出．

，，

则，

所以，
则命题为：已知为大于的实数，若，，则．

故答案为：已知为大于的实数，若，，则．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．
设，，，则，，，然后对进行分类讨论可得，即可求出的取值范围，从而求出答案；

【解答】

解：  由题设，，，则，，，

当时，不存在；
当时，不存在；

当时，，满足题意；

当时，不存在；

当时，不存在，其中．

故，
解得，
即符合条件的共有个．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的性质求取值范围，难度一般．
设，列方程组求解，，然后即可求解范围．

【解答】

解：依题意设，
则，解得，
所以，，
则．
故答案为．

17.【答案】解：，，
，
，
，，
，
；
设，
，解得
，
，，
，，
，
即． 

【解析】本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于中档题．
由不等式的同号相加法则进行化简求范围；
设，则，解得，由不等式的性质计算即可．
 

18.【答案】解：可得
当时，；
当时，，；
当且时，，．
综上可知：当时，；
当时，；
当且时，． 

【解析】本题考查了作差法比较两个数的大小、分类讨论等基础知识与方法，属于中档题．
通过作差和分类讨论即可得出．
 

19.【答案】证明：法一：作差法，
，，，，
，
；
法二：综合法，，
，
不等式两边同除以得，
又，． 

【解析】本题考查不等式的证明，不等式的性质，作差法、综合法的应用，关键是对不等式证明方法的熟练掌握，属于中档题．
法一作差法：通过作差整理可得，结合已知，即可证明；
法二：综合法由及不等式性质，可得到，不等式两边同除以，且结合不等式性质可得．
 

20.【答案】解：，
，
，．
又，

．
．

【解析】本题主要考查不等式的大小比较，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据题意利用作差法及不等式的性质即可得到结果．
 

21.【答案】证明：



，
，，
，，
，当且仅当时，等号成立，
故，即得证．
证明：，，
，
要证，
只需证，
只需证，
只需证，即，，这是已知条件，故不等式得证． 

【解析】本题主要考查不等式的证明，掌握作差法和分析法是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合作差法，即可证明．
由，，可得，再结合分析法，即可求证．
 

22.【答案】解：，，，．
当时，，，
，，
又当时，，
所以， 

【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题．
作差，利用不等式的性质证明．
先证明，再证明．