2017成都三诊

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成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则(   )A．         B．       C．       D．2．已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（　）A．      B．5      C．       D．3．在等比数列中，，公比．若，则(   )A．11 　  B．10  　C．9  　　D．8 4．是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201，则下列叙述不正确的是(   )A．这12天中有6天空气质量为“优良”         B．这12天中空气质量最好的是4月9日       C．这12天的指数值的中位数是90         D．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知平面向量，，向量与垂直，则实数的值为(   )A．       B．       C．        D．6．已知双曲线，直线．若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为(   )A．1 　  B．2  　　C． 　　  D．47．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为(   )A．6 　  B．7 　 C． 8 　 D．98．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　）A．     B．    C．       D．9．已知抛物线的焦点为，点．若线段与抛物线相交于点，则 (   )A．   　  B．       C．         D．10．已知函数．给出下列命题：①函数的值域为；②为函数的一条对称轴；③为奇函数；④，对恒成立．其中的真命题有(   )A．①②     B．③④ 　  C． ②③   　 D．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(   )A． 　   B．  　  C．   　  D．12．在递减等差数列 中，．若，则数列的前项和的最大值为 (   )A．   　 B．  　 C． 　  D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则的值为          ．14．若变量满足约束条件，则的最小值为          ．15．已知函数，其中．若曲线在点处的切线方程为，则          ．16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为          ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．  17．的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的长．18．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，为线段的中点．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：年龄受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系； 年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持   不支持   合计   （Ⅱ）若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率．参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．21．已知函数．（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）设函数，在（Ⅰ）的条件下，试判断在上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．23．选修4-5：不等式选讲已知．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围．             试卷答案一、选择题1-5:CABCD       6-10:BDAAD      11、12：CD二、填空题13．1          14．-3           15．-1           16．10三、解答题17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得．∵，∴．化简，得．∵，∴．∵，∴．（Ⅱ）由余弦定理，得．已知，∴，即．解得或（不合题意，舍去）．∴的长为3．18．解：（Ⅰ）如图，记．∵底面是边长为2的菱形，，∴，且，．∵四边形是矩形，平面平面，∴平面．∵，为线段的中点，∴．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知平面．∴．则在正方形中，，．∴．∴．∵，且平面，∴平面．19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下列联表： 年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据列联表中的数据，得到的观测值为．∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．（Ⅱ）“对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件，对年龄在的5个受访人中，有4人支持，1人不支持发展共享单车，分别记为．则从这5人中随机抽取2人的基本事件为：，，，．共10个．其中，恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含．共6个．∴．∴对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持发展共享单车的概率是．20．解：（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为．∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，∴．又，∴．由，得．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设．联立消去，得．此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得，．∴．∵原点到直线的距离，∴．由，得．又，∴据基本不等式，得．当且仅当时，不等式取等号．∴面积的最大值为．21．解：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立．设函数，．则．∵，∴．∴当时，．∴在上单调递减．∴当时，．∴，即的取值范围是．（Ⅱ），．∴．设，则．由，得．当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减．且，，．据（Ⅰ），可知．（ⅰ）当，即时，即．∴在上单调递减．∴当时，在上不存在极值．（ⅱ）当，即时，则必定，使得，且．当变化时，，，的变化情况如下表：-0+0--0+0-↘极小值↗极大值↘∴当时，在上的极值为，且．∵．设，其中，．∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．∵，∴．∴当时，在上的极值．综上所述：当时，在上不存在极值；当时，在上存在极值，且极值均为正．注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．22．解：（Ⅰ）由消去参数，得．即直线的普通方程为．∵，， ∴．即曲线的直角坐标方程为．（Ⅱ）由，得．代入方程，得．已知为曲线上任意一点，故可设，其中为参数．则点到直线的距离，其中.∴点到直线的最小距离为．23．解：（Ⅰ）当时，不等式即为．当时，不等式可化为，∴；当时，不等式可化为，∴；当时，不等式可化为，∴．综上所述：原不等式的解集为．（Ⅱ）∵ ，∴ ．∴函数的值域．∵，∴．解得或．∴的取值范围是．