2022秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷（新高考专用）含解析答题卡

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绝密★考试结束前
2022年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考专用）01
数学
本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·浙江金华）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（       ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可；
【详解】解：∵AB为底面直径，
∴将圆柱侧面沿“剪开”后， B点在长方形上面那条边的中间，
∵两点之间线段最短，故选： C．
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．
2．（2022·贵州黔东南）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（       ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，．

的几何意义是线段与的长度之和，
当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．
取得最小值时，的取值范围是；故选B．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解．
3．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】∵在中，，∴
在中，，故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
4．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有意义，则．其中假命题的个数是（     ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．
【详解】解：①，故原命题是假命题；
②数据1，3，3，5的平均数为 ，所以方差为，是真命题；
③，是真命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
⑤使代数式在实数范围内有意义，则，即，是真命题；
∴假命题的个数是2．故选：C
【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,

解得, 故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
6．（2022·湖北恩施）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，k为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（       ）

A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式中自变量h的取值范围是
D．P与h的函数解析式为
【答案】A
【分析】根据函数图象求出函数解析式即可求解．
【详解】解：将点代入
即解得，
A.当时，，故A正确；
B. 当时，，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B不正确；
C. 函数解析式中自变量h的取值范围是，故C不正确；
D. P与h的函数解析式为，故D不正确；故选：A
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键．
7．（2022·重庆）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【答案】A
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】由分式方程的解为整数可得：解得：
又题意得：且∴且，
由得：由得：
∵解集为∴解得：
综上可知a的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A．
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．
B．因为，不等边两边同时乘-3得到，故原选项错误，此项不符合题意；
8．（2022·湖南岳阳）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（       ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·江苏·模拟）如图是国家统计局发布的年月至年月的全国居民消费价格涨跌幅，其中同比，环比．

则下列说法正确的是（       ）
A．年月至年月全国居民消费价格环比的极差为
B．年月至年月全国居民消费价格同比的中位数为
C．这个月中，年月全国居民消费价格最低
D．年比年全国居民消费平均价格增长大于
【答案】AB
【分析】计算出年月至年月全国居民消费价格环比的极差，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；根据涨幅可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.
【详解】年月至年月全国居民消费价格环比的最大值为，最小值为，
所以其极差为，A项正确；
年月至年月全国居民消费价格同比（单位：）从小到大依次为
、、、、、、、、、、、、，
其中位数为，B项正确；
从环比来看，假设2020年全国居民消费平均价格为1，经计算可得2020年12月全国居民消费平均价格，C项错误；
年比年全国居民消费价格平均增长为
，D项错误．故选：AB.
10．（2022·山东潍坊）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（       ）
A．若，则 B．对角线相等的四边形是矩形
C．函数的图象是中心对称图形 D．六边形的外角和大于五边形的外角和
【答案】ABD
【分析】根据有理数的乘法、矩形的判定定理、反比例函数的性质、多边形的外角性质逐一判断即可．
【详解】解：A、当b=0，a≠0时，则，该选项符合题意；
B、如图：四边形ABCD的对角线AC=BD，


但四边形ABCD不是矩形，该选项符合题意；
C、函数的图象是中心对称图形，该选项不符合题意；
D、多边形的外角和都相等，等于360°，该选项符合题意；故选：ABD．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例．
11．（2022·黑龙江大庆改编）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的是(     )
A.；
B.；
C.高斯函数中，当时，x的取值范围是；
D.函数中，当时，．
【答案】BCD
【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：A.，故原说法错误；
B.，正确，符合题意；
C.高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意；
D.函数中，当时，，正确，符合题意；故选：BCD．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．
12．（2022·四川自贡·改编）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论正确的是（       ）
A.c≥−2 ； B.当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
C.若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； D.当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】ACD
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断A；根据二次函数的增减性判断B；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断C；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断D．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故A正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故B错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故C正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故D正确；故选：ACD．
．   
【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·南师附中九年级模拟）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人_____元才能确保不亏本．（实际上，飞机失事的概率远低于0.00005）
【答案】20
【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
【详解】解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000元，
故至少应该收取保险费每人＝20元，故答案为：20．
【点睛】此题主要考查概率的应用，解题的关键是根据概率的性质求出赔偿的钱数．
14．（2022·四川宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．

【答案】289
【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，①，②，
，③，
，解得或（舍去），
大正方形的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
15．（2022·广西玉林）如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
①        ②当时， ③        ④
则所有正确结论的序号是_____________．

【答案】②③
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误．
【详解】直线，
当时，，，，
四边形是菱形，，
A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，

在中，，，故①错误；
在双曲线上，
，，当时，，故②正确；
，，
点B在直线上，
，，，故③正确；
，故④错误；
综上，正确结论的序号是②③，故答案为：②③．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】         
【分析】由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】解：∵；∴，
∵，
∵，
∴a4=，
∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·山东潍坊）（10分）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：



小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：
（3分）

=28；（5分）
（2）


=，（8分）
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．（10分）
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
18．（2022·河北）（12分）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．

(1)求∠C的大小及AB的长；(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】(1)，
(2)见详解，约米
【分析】（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
(1)解：∵水面截线
，，
，
在中，，，
，
解得．（5分）
(2)过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：


水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．（12分）
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
19．（2022·湖南）（12分）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：

频数分布统计表
组别
时间（分钟）
频数


6


14








4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的　，　；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？
(4)若组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)18；8
(2)见解析
(3)240人
(4)
【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可；
（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
(1) 18；8（2分）
提示：抽取的总人数为：（人），
∴m=50×36%=18，
∴n=50-6-14-18-4=8，
故答案为：18，8；
(2)频数分布直方图补全如下：
（6分）
(3)（人，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；（8分）
(4)
列表如下：

男1
男2
女1
女2
男1

（男1，男
（男1，女
（男1，女
男2
（男2，男

（男2，女
（男2，女
女1
（女1，男
（女1，男

（女1，女
女2
（女2，男
（女2，男
（女1，女


由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．（12分）
【点睛】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．（2022·贵州毕节）（12分）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
(1)解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．（4分）
(2)解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．（8分）
(3)解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．（12分）
【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
21．（2022·吉林）（12分）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为．

(1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示）
(2)当点落在边上时，求的值；(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)2x (2)1
(3)
【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x；
（2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）；
（3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可．
(1) 2x（2分）
提示：当Q点在AC上时，
∵∠A=30°，∠APQ=120°，
∴∠AQP=30°，
∴∠A=∠AQP，
∴AP=PQ，
∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒，
∴AP=2x，
∴PQ=2x；
(2)
当M点在BC上，Q点在AC上，如图，

在（1）中已求得AP=PQ=2x，
∵四边形QPMN是菱形，
∴PQ=PN=MN=2x，，
∵∠APQ=120°，
∴∠QPB=60°，
∵，
∴∠MNB=∠QPB=60°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△MNB是等边三角形，
∴BN=MN，
∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，
∴x=1（s）；（6分）
(3)
当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s），
即x的取值范围为：，
当M点刚好在BC上时，
在（2）中已求得此时x=1，
分情况讨论，
即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，
∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，
过Q点作QG⊥AB于G点，如图，

∵∠APQ=120°，
∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°，
∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：；
当x＞1，且Q点在线段AC上时，
过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图，

∵，
∴∠MNB=∠QPN=60，
∵∠B=60°，
∴△ENB是等边三角形，
同理可证明△MEF是等边三角形
∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，
∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，
∴BN=6-AN=6-4x，
∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，
∵MH⊥EF，
∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，
∴△MEF的面积为：，
QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，
∵菱形PQMN的面积为，
∴重叠部分的面积为，
当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图，

∵∠CPB=∠CBA=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC=PB，
∵AP=PQ=2x，
∴AP=PB=2x，
∴AB=AP+PB=4x=6，则x=，
即此时重合部分的面积为：，；
当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图，

∵AP=2x，
∴PB=AB-AP=6-2x，
∵∠QPB=∠ABC=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合，
∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=，
∴，
∴此时重叠部分的面积，
综上所述：．（12分）
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
22．（2022·湖北鄂州）（12分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．   

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】(1)（0，），， (2)，4）或（，4 ） (3) (4)或
【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
(1)解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，（2分）
(2)解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；（5分）
(3)解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；（8分）

(4)解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，∴，∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，∴，
综上所述，或（12分）

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．