重庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-06解答题中档题、提升题

这是一份重庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-06解答题中档题、提升题，共74页。试卷主要包含了，所以4135不是“共生数”，计算等内容，欢迎下载使用。

重庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-06解答题中档题、提升题
一．因式分解的应用（共4小题）
1．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
2．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．
3．（2021•重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．
4．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．
二．分式的加减法（共1小题）
5．（2022•重庆）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）；
（2）（1﹣）÷．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
6．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%．求a的值．
四．一元二次方程的应用（共2小题）
7．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
8．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．
五．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

11．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　 　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

七．二次函数综合题（共6小题）
12．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

13．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．


14．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

15．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ

八．平行四边形的性质（共2小题）
18．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．

19．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．

九．作图—基本作图（共1小题）
20．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）
在△ADC和△CFA中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴①　 　．
∵EF∥BC，
∴②　 　．
又∵③　 　，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④　 　．
S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．

一十．作图—复杂作图（共1小题）
21．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　 　①
∵AD∥BC，
∴　 　②
又 　 　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　 　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．

一十一．几何变换综合题（共6小题）
22．（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．


23．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

24．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．


25．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

26．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

27．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
28．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

一十三．条形统计图（共1小题）
29．（2020•重庆）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

一十四．数的整除性（共1小题）
30．（2020•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共4小题）
1．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A＝（a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A）＝，G（A）＝，
∴＝＝＝，
∵a+c＝12﹣b，为整数，
∴＝＝＝＝7+（1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，
∴a+c＝9，7，5，
①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+c＝7时，，
则A＝156或516；
③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
2．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．
【解答】解：（1）∵168＝12×14，
∵12和14十位数字相同，但个位数字2+4≠10，
∴168不是“合和数”．
∵621＝23×27，23和27十位数字相同，且个位数字3+7＝10，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，
∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”，
∴3≤m≤9，1≤n≤9，
则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，
∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．
∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5＝8或m+5＝12，
①当m+5＝8时，
或，
∴当m＝3时，n＝6或4，当m＝3时，n＝7或3，
∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，
②当m+5＝12时，
或，
∴当m＝7时，n＝6或4，当m＝7时，n＝8或2，
∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．
综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616．
3．（2021•重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【解答】解：（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”，
∵5+3＝2×（3+1），
∴5313是“共生数”，
∵6+7≠2×（3+4），
∴6437不是“共生数”；
（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），
设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0﹣9的数字，
∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，
∴0≤b≤4，
∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，
∴F（n）＝＝340a+33b+3，
由于n是“共生数”，
∴a+9﹣b＝2×（2a+b），
即a+b＝3，
可能的情况有：
，
当a＝1，b＝2时，n的值为1227，则F（n）的值为409，各数位上数字之和不是偶数，舍去，
当a＝2，b＝1时，n的值为2148，则F（n）的值为716，各数位上数字之和是偶数，
当a＝3，b＝0时，n的值为3069，则F（n）的值为1023，各数位上数字之和是偶数，
∴n的值是2148或3069．
4．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．
【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022 不是“勾股和数”，
∵52+52＝50，
∴5055 是“勾股和数”；
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵G（M）为整数，为整数，
∴c+d＝9，
∴P（M）＝＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
二．分式的加减法（共1小题）
5．（2022•重庆）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）；
（2）（1﹣）÷．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
6．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，，
解得：，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝10，
答：a的值为10．
四．一元二次方程的应用（共2小题）
7．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；
（2）由题意得：4500×7+2500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（4500×7+2500×5）（1+a%），
设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+m）（1﹣m）＝（9×7+25）（1+m），
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍），m2＝，
∴a＝8．
8．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；
根据题意得，，
解得：，
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），
解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝10，
答：a的值为10．
五．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣20）米，
由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，
解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝1.2m米，
由题意可得：，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴，n＝，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：

（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：

由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC＝＝12．
11．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：
m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；
（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．

【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，
解得：m＝﹣2，
即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，
当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，
当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；
（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，
∴x＜0或x＞4．

七．二次函数综合题（共6小题）
12．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，
∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，
∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，
∴x＝2t2﹣7t，
∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC＝∠PDE＝90°，
又∵PE∥x轴，
∴∠OCA＝∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为3+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．
此时，点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，0），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4＝6，
∴点M的坐标为（6，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．


13．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
∴，
∴．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，
∴AM＝，，
∴PM+，
∵B（0，3），A（4，0），
∴lAB：y＝﹣，
∴设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），
∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，
∵﹣，
∴开口向下，0＜m＜4，
∴当m＝1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；
（3）由y＝﹣知，对称轴x＝，
∴P'（2，），
∵直线l：x＝4，
∴抛物线向右平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣，
设D（4，t），C（c，﹣），
①AP'与DC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
②P'D与AC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，﹣），
③AD与P'C为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
综上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．
14．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2﹣3m﹣4），
作PH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝S△APH+S△DPH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝﹣＝1时，S△APD最大为8，

（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，
∴G的横坐标为，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴

∴G（）或G（）或G（），
15．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；

（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S＝×PH×（xB﹣xA）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，
∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；

（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；

设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；
联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；
②当BC为菱形的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．
16．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝2，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，2）；
则y＝ax2+bx+2＝a（x+）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2ax﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；

（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，

∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y＝﹣（x+）②，
联立①②并解得：x＝4，故点D（4，﹣），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣x+2，
当x＝3时，yCD＝﹣x+2＝﹣2，即点H（3，﹣2），
设点E（x，﹣x2+x+2），则点F（x，﹣x+2），
则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD＝×EF×OB+×（xD﹣xC）×BH＝×（﹣x2+x+2+x﹣2）×3+×4×2＝﹣x2+3x+4，
∵＜0，故S有最大值，当x＝时，S的最大值为，此时点E（，）；

（3）存在，理由：
y＝﹣x2+x+2＝﹣（x）2+，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣x2+，
点A、E的坐标分别为（﹣，0）、（，）；设点M（，m），点N（n，s），s＝﹣n2+；
①当AE是平行四边形的边时，

点A向右平移个单位向上平移个单位得到E，同样点M（N）向右平移个单位向上平移个单位得到N（M），
即±＝n，
则s＝﹣n2+＝﹣或，
故点N的坐标为（，﹣）或（﹣，）；
②当AE是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：﹣+＝n+，解得：n＝﹣，
s＝﹣n2+＝＝，
故点N的坐标（﹣，）；
综上点N的坐标为：（，﹣）或（﹣，）或（﹣，）．
17．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ

【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
八．平行四边形的性质（共2小题）
18．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．
（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
（2）求证：AE＝CF．

【解答】（1）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝50°，
∴∠EAO＝40°，
∵CA平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF．
19．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝，∠DCF＝，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF．
九．作图—基本作图（共1小题）
20．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）
在△ADC和△CFA中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴①　∠ADC＝∠F　．
∵EF∥BC，
∴②　∠1＝∠2　．
又∵③　AC＝AC　，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④　△ADB≌△BEA（AAS）　．
S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．

【解答】证明：

∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠ADC＝∠F，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵AC＝AC，
在△ADC与△CFA中
，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④△ADB≌△BEA（AAS），
∴S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．
故答案为：①∠ADC＝∠F，②∠1＝∠2，③AC＝AC，④△ADB≌△BEA（AAS）．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
21．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　∠A＝∠EFB，　①
∵AD∥BC，
∴　∠AEB＝∠FBE，　②
又 　BE＝EB，　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　△EDC≌△CFE（AAS），　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．

【解答】解：根据题意作图如下：

由题知，在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴∠A＝∠EFB，①
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，②
又 BE＝EB，③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，
故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．
一十一．几何变换综合题（共6小题）
22．（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．


【解答】（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BC＝AB＝4，
∴DP＝2；

（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，
∵∠AFM＝∠EFH，
∴∠AMF＝135°﹣∠EFH，
∵∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；

（3）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝，
根据勾股定理得，BE＝＝，
由折叠直，BE＝B'E＝，
∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，
由旋转知，EF＝EG，
∴点G在点A 右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B'G的最小值为B'E﹣EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为，
∴线段B′G的长度的最小值﹣．


23．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴CF＝DE＝AD；
（2）AG＝BC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，

∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝＝a，
由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴＝2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BG＝BH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝2a，
∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；
（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC，

∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BD＝PD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PD＝m，
∴BD＝PD＝m，
由（1）可知：CE＝BD＝m．
24．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．


【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，

在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；

（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，

∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．

（3）由（2）可知∠BFC＝120°，
∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），
∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，
此时tan∠APK＝＝，
∴∠HPK＞45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH＝∠QKH＝45°，
如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，
∵S△PHK＝•PK•HL＝•KH•PJ，
∴PQ＝2PJ＝2×＝2+
∴＝＝．

25．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；

（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；

（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．



26．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．

【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，
∴BG＝BF，∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形，
∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，
∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，
∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB＝3，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，
∴∠BCG＝∠DBC，
∴BF＝CF，
∴GF＝CF，
Rt△FDC中，CF＝＝＝2，
∴GF＝2，
Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，
∴FH＝CF﹣CH＝，
∴GH＝GF+FH＝，
Rt△GHD中，DG＝＝；
②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，
∴△EGF是等边三角形，
∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠EFH＝180°，
∴B、E、F、H共圆，
∴∠FBH＝∠FEH，
而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，
∴∠FEH＝30°，
∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，
∴EF＝HF＝GF①，
∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，
∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，
∴∠EPF+∠EGF＝180°，
∴E、P、F、G共圆，
∴∠GPF＝∠GEF＝60°，
∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，
∴∠BMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GPF②，
而∠GFP＝∠HFM③，
由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），
∴PF＝FM，
∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，
∴EP＝BP＝BN＝NP，
∴PF+NP＝FM+BN，
∴NF＝BM，
Rt△MHB中，MH＝BM，
∴NF＝MH，
∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，
Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，
Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，
∴BF＝BE+BH，
∴BE+BH＝BF；
补充方法：
构造等腰△BFM，使∠BFM＝∠EFH＝120°，且BF＝MF，如图：

∴∠FBM＝∠FBH＝30°，
∴BM与BH共线，
可证△BEF≌△MHF（SAS），
∴BE＝HM，
∴BE+BH＝HM+BH＝BM，
而∠BFM＝120°，且BF＝MF，可得BM＝BF，
∴BE+BH＝BF；
（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：

Rt△PMH中，HP＝MP，
∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BMK＝90°，
∵∠PML＝30°，
∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，
∴ML∥AC，
∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
而BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，
∴四边形GHND是矩形，
∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，
∴CD＝3，
又DN＝2NC，
∴DN＝GH＝2，
∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，
∴BM＝，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，
Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，
∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，
Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，
∴S△DPN＝PN•DN＝．
27．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝4，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵AE＝2，
∴DE＝AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EN＝CN，EG＝FG，
∴GN＝CF＝．

（2）结论：∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．

（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN≤5，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝，
∴KN＝，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，
∴HN＝NK•sin60°＝×＝，
∴S△ADN＝•AD•NH＝×4×＝7．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
28．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，

根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD＝BD＝450（米），
∴AC＝2AD＝900≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
一十三．条形统计图（共1小题）
29．（2020•重庆）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
a
7
45%
八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

【解答】解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由条形统计图可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，
c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%；
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）∵从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有1200×＝1080（人），
即估计参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．
一十四．数的整除性（共1小题）
30．（2020•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，4能被2整除，
675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；

（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），
∴a+a+5＝2a+5，
当a＝1时，2a+5＝7，
∴7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当a＝2时，2a+5＝9，
∴9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a＝3时，2a+5＝11，
∴11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当a＝4时，2a+5＝13，
∴13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．