高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课时作业

3.1.2  函数的表示

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是　　

A．  B．  C．   D．

答案

解析 考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，

由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除；

再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与轴平行，由此排除，

之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定正确，不正确．故选：．

2. 函数的图像是　　

A． B．C．D．

答案

解析 函数，

作出函数图象为：

故选：．

3. 已知函数，若，则的值是(　　)

A． B．或 C．或 D．或或

答案

解析 由题意，当时，，得，又所以；

当时，，得，舍去．

故选：．

4. 函数，，则下列等式成立的是(　　)

A．     B． C．    D．

答案

解析 根据题意得，，  

故选：．

5. 若，则的解析式为(　　)

答案

解析 函数，

设，则，，

，

，．故选：．

二、多选题

6.已知函数用列表法表示如表，若，则可取（　　）

A.               B.             C.                 D.

答案

解析 结合表格可知，当时，，则，

当时，；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时满足题意；
当时，，此时满足题意．
故选：．

三、填空题

7.设，则的值为　   　．

答案

解析 ，

．

8.若函数的图象如图所示，则其表达式为__________．

答案  .

9.已知一次函数满足，且，则的解析式为　     　．

答案

解析 一次函数满足，且，

设，则，

解得，，

的解析式为．

四、解答题

7.已知函数．

(1)求；(2)若，求的值；(3)作出函数的图象．

答案 (1)    (2)或或   (3)略

解析 (1)，．

(2)当时，，，

当时，，，

当时，，，

综上所述，的值为或或．

(3)函数的图象，如图所示，

8.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品(百台)，其总成本为万元，其中固定成本为万元，并且每生产台的生产成本为万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入满足，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：

(1)要使工厂有盈利，产品数量应控制在什么范围？

(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？

答案 (1)   (2) 元/台

解析 依题意，，设利润函数为，则

(1)要使工厂有盈利，即解不等式，当时，

解不等式．即．

．

当时，解不等式，得．

．

综上，要使工厂盈利，应满足，

即产品应控制在大于台，小于台的范围内．

(2)时，，

故当时，有最大值．

而当时，所以，当工厂生产万台产品时，盈利最多．

又时，(元台)，故此时每台产品售价为(元台)．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1.为庆祝深圳特区成立40周年，2020年10月11日深圳无人机精英赛总决赛在光明区举行，全市共39支队伍参加．如图反映了某学校代表队制作的无人机载重飞行从某时刻开始15分钟内的速度(单位：米分)与时间(单位：分)的关系．若定义“速度差函数“为无人机在时间段为内的最大速度与最小速度的差，则的图象为　　

A． B． C．  D．

答案

解析由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，

“速度差函数” ．

当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到，

．

当时，翼人做匀减速运动，从开始下降，，

．

当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数” ，

结合所给的图象，故选：．

2. 某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头.被加工为头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述分别与的关系的是　　

A．  B． C． D．

答案

解析 要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存罐头，

即当，时，

当时，，对照图象舍去．

要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，

即当时；当，时；

，故选：．

3.若，是，这两个函数中的较小者，则的最大值为(　　)

A．2　　　　B．1      C．－1      D．无最大值

答案

解析 由题目可获取的信息是：

①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；

②是两个函数中的较小者．

解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出的图象，再求其最大值．

在同一坐标系中画出函数，的图象，

如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数的图象．

故时，，应选．

4. 若函数对于任意实数恒有，则等于(　　)

A． B． C． D．

答案

解析 函数对于任意实数恒有，

令，则：．

则，

解方程组得：．

故选：．

5.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围为(　　)

A． B． C． D．

答案

解析 函数的图象，如图，

不妨设，则关于直线对称，故，

且满足；

则的取值范围是：；

即．

故选：．

二、多选题

6. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（　　）

A.            B.               C.                  D.

答案

解析 因为，

当时，由得，，解得或，
故或，
当时，由得，，解得或，
故，
所以，作出函数大致图像，如图所示，

因为在区间上的值域为，
则当时区间长度最小，当时区间长度最大，
故区间长度的范围，
结合选项可知，符合题意．
故选：．

三、填空题

7.已知则不等式的解集是　   　．

答案

解析 ①当时，即，，

由可得，

即，

当即时，，

由可得，即，，

综上不等式的解集为.

8.已知函数与轴有个交点，则实数的取值范围是　 　．

答案

解析 函数与轴有个交点，

且在上与轴有个交点，

，解得 ，

故答案为：．

9.已知函数，则____．

答案

解析 因为，

，

所以．

四、解答题

10.已知函数与与的图像关于对称，求的解析式.

答案

解析 设为上任一点，且 为关于点的对称点

则，解得：

 点在上    

把代入得：，整理得，

. 

11.已知，对于任意实数，等式，求的解析式.

答案

解析 对于任意实数等式恒成立，

不妨令则有

再令得函数解析式为：

12.某商品近一个月内天)预计日销量(件与时间(天的关系如图所示，单价(万元件)与时间(天的函数关系如图2所示，(为整数)

(1)试写出与的解析式；(2)求此商品日销售额的最大值？

答案  (1) ，  (2)

解析 (1)是一次函数，过两个点

，

是分段函数，当时，是一次函数，过两个点，

此时，

当时，是一次函数，过两个点，此时

(2)设日销售额是天数的函数，则有

当时，，

当或时，最大值为万元．

当时，在是减函数，

故万元，

，时，当或时，最大值为万元．

答：第天与第天的日销售额最大，最大值为万元．

培优第三阶——高考沙场点兵

1. (2022•海淀区校级模拟)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(     )

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶千米 

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 

C．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油 

D．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案 D

解析 对于，由图象可知当速度大于 时，乙车的燃油效率大于，

当速度大于 时，消耗升汽油，乙车的行驶距离大于，故错误；

对于，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故错误；

对于，由图象可知当速度为 时，甲车的燃油效率为，即甲车行驶时，耗油 升，故行驶小时，路程为，燃油为升，故错误；

对于，由图象可知当速度小于 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故 正确；

故选：．

2.(2020•汉中二模)设，则的值为(     )

A． B． C． D．

答案 B

解析 ，

．故选：．

3.(2016•山东校级模拟)已知函数，若，则实数的值等于(     )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 B

解析 函数，，

若，，故选：．

4.(2022•北京)设函数，若存在最小值，则的一个取值为 　 　；的最大值为 　　．

答案 ，

解析 当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，满足题意；

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，

需满足，解得：；

当时，函数图像如图所示，不满足题意，

当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；

综上所述：的取值范围是，

故答案为：，．