第四章　指数函数与对数函数-单元测试卷-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

第四章　指数函数与对数函数

(满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列函数中,定义域和值域分别与函数y=eln x的定义域和值域相同的是(　　)

A.y=x B.y=ln x C.y=ex D.y=

2.“x>0”是“ex-1>1”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

3.由表格中的数据,可以判断方程ex+3x-2=0的根所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

4.函数f(x)=的图象大致为(　　)

5.已知a=log3,b=,c=log52,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>c>b　　　　　　　B.a>b>c

C.b>a>c　　　　　　　D.c>b>a

6.已知函数f(x)=若f(m)+2f(-m)>0,则实数m的取值范围为(　　)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　　　　B.(-1,0)∪(0,1)

C.(-∞,-e)∪(0,e)　　　　　　　D.(-∞,-1)∪(0,1)

7.已知函数f(x)=-ex-2x+4,其中e是自然对数的底数,若f(a-6)+f(a2)>8,则实数a的取值范围是(　　)

A.(2,+∞)　　　　　　　B.(-3,2)

C.(-∞,-3)　　　　　　　D.(-∞,-3)∪(2,+∞)

8.若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(x)对任意的实数x都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2 019]上的零点最少有(　　)

A.2 020个 B.1 768个 C.1 515个 D.1 514个

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.若a>b,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.lg a2>lg b2　　　　　　　B.2-a<2-b

C.<　　　　　　　D.a3>b3

10.设函数f(x)=ln(x2-x+1),则下列说法正确的是(　　)

A. f(x)的定义域为R

B. f(x)是定义域内的增函数

C. f(x)的值域为R

D. f(x)的图象关于直线x=对称

11.已知函数f(x)的定义域为R, f(x+4)=f(x), f(x+1)=f(1-x),且当x∈[-1,1]时, f(x)=|4x-1|,则以下结论正确的是(　　)

A. f(2 022)=0

B.G(x)=f(x)-在[-2,4]上的零点之和为6

C. f(x)在区间[4,5]上单调递减

D. f(x)在[2,6]上的值域为[0,3]

12.若0<x1<x2<…<xn<1,则下列结论正确的有(　　)

A.lo(lox2)<lo(lox2)

B.lo(lox2)>lo(lox2)

C.lo(lox2)+lo(lox3)+…+lo(loxn)+

lo(lox1)>0

D.lo(lox2)+lo(lox3)+…+lo(loxn)+

lo(lox1)<0

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.求值:+lg-lg 25=　　　　. 

14.已知f(x)=是R上的增函数,那么实数a的取值范围是　　　　. 

15.已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是偶函数,则a=　　　　, f(x)的最大值为　　　　. 

16.已知函数f(x)=x2-2x+loga在内恒小于零,则实数a的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数f(x)=log2(+x) (a∈R)满足f(x)+f(-x)=0.

(1)求a的值;

(2)若函数g(x)=2f(-x)+1-,证明:g(x2-x)≤.

8.(12分)(1)已知-=3,求的值;

(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log945.

19.(12分)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.

(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;

(2)若不等式m·[1-f(x)]>+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求m的取值范围.

20.(12分)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:

为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.

(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;

(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),根据(1)中模型说明该型号汽车应在哪条车道以什么速度行驶时W最小.

21.(12分)已知函数f(x)=3x+(k-2)·3-x(x∈R)为奇函数.

(1)求实数k的值;

(2)若∀x∈[-2,-1],不等式f(x)+m·3x≤6恒成立,求实数m的最大值;

(3)若函数g(x)=λf(x)-(3x+3-x)2-5在[1,+∞)上有零点,求实数λ的取值范围.

22.(12分)已知函数f(x)=3x+a·3-x为偶函数.

(1)求实数a的值;

(2)若关于x的不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;

(3)设函数g(x)=f(x)+x-3-x-3的零点为x0,求证:<f(x0)<.

答案全解全析

1.D　函数y=eln x的定义域和值域均为(0,+∞),

函数y=x的定义域为R,值域为R,

函数y=ln x的定义域为(0,+∞),值域为R,

函数y=ex的定义域为R,值域为(0,+∞).

函数y=的定义域和值域均为(0,+∞).故选D.

2.B　由ex-1>1,可得x-1>0,即x>1,

当x>0时,x>1不一定成立,当x>1时,x>0一定成立,

因此“x>0”是“ex-1>1”的必要不充分条件.故选B.

3.A　设f(x)=ex+3x-2,由题表可得, f(0)<0, f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)均为正数,又f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)单调递增,所以方程ex+3x-2=0的根所在的区间为(0,1),故选A.

4.A　易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D.

因为f(1)=0,当0<x<1时, f(x)<0,所以排除B.故选A.

5.C　∵=log3<log3<log33=1,∴<a<1.

∵>50=1,∴b>1.

∵0=log51<log52<log5=,∴0<c<.

∴b>a>c.故选C.

6.D　当m>0时,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0,

即-ln m>0,解得0<m<1.

当m<0时,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,

即ln(-m)>0,解得m<-1.

综上,实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1).故选D.

7.B　令g(x)=f(x)-4=-ex-2x,则g(-x)=-e-x+2x=ex-+2x=-g(x),又g(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g(x)为奇函数.则不等式f(a-6)+f(a2)>8,等价于f(a-6)-4>-[f(a2)-4],即g(a-6)>-g(a2)=g(-a2),

易知g(x)为R上的减函数,

所以a-6<-a2,即a2+a-6<0,解得-3<a<2.故选B.

8.C　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,故f(x)为奇函数.

又f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=f(x).

易得f(0)=0, f(-3)=-f(3)=0,

所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,

故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,

又2 019=252×8+3, f(2 016)=f(0)=0, f(2 017)=f(1)=0,

f(2 019)=f(3)=0,

故函数在区间[0,2 019]上的零点最少有252×6+3=1 515(个).故选C.

9.BD　当a=2,b=-3时,满足a>b,但lg a2<lg b2,>,∴A、C错误;

∵a>b,∴-a<-b,又∵指数函数y=2x为R上的增函数,∴2-a<2-b,∴B正确;

∵幂函数y=x3在R上为增函数,a>b,∴a3>b3,∴D正确.故选BD.

10.AD　A正确,∵x2-x+1=+>0恒成立,∴f(x)的定义域为R;

B错误,函数f(x)=ln(x2-x+1)在上是增函数,在上是减函数;

C错误,由x2-x+1=+≥,可得f(x)=ln(x2-x+1)≥ln,∴函数的值域为;

D正确, f(x)的图象关于直线x=对称.故选AD.

11.ABD　∵f(x+4)=f(x), f(x+1)=f(1-x),

∴f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0,A正确;

易得f(x)的图象关于直线x=1对称,画出f(x)的部分图象如下:

由图可知,G(x)=f(x)-在[-2,4]上有6个零点,且零点之和为3×2=6,B正确;

由图象及对称性可得, f(x)在[4,5]上单调递增,在[2,6]上的值域为[0,3],故C错误,D正确.故选ABD.

12.AD　先证明对任意a,b∈(0,1),a<b,c,d∈(0,1),c<d,有logc(logab)<logd(logab),证明如下:

因为0<a<b<1,所以f(x)=logax在(0,+∞)上单调递减,

所以f(a)>f(b)>f(1),即0<logab<1,

记t=logab,则0<t<1,g(x)=logtx在(0,+∞)上单调递减,

故g(c)>g(d)>g(1),即0<logtd<logtc,

故0<logct<logdt,代入t=logab,得logc(logab)<logd(logab),

取a=c=x1,b=d=x2,可得选项A正确,B错误;

lo(lox2)+lo(lox3)+…+lo(loxn)+lo(lox1) <lo(lox2)+lo(lox3)+…+lo(loxn)+lo(lox1)

=lo(lox2·lox3·…·loxn·lox1)=lo1=0,

故选项D正确,选项C错误.故选AD.

13.答案　7

解析　原式=-lg 4-lg 25=9-(lg 4+lg 25)=9-lg 100=9-2=7.

14.答案　

解析　因为f(x)=是R上的增函数,

所以解得≤a<5.

故a的取值范围是.

15.答案　;

解析　因为函数f(x)=(a>0,a≠1)是偶函数,

所以f(x)=f(-x),即=,整理得a2x=3x,故a=,

则f(x)==,

又()x+=+≥2,当且仅当x=0时,等号成立,

所以f(x)≤,

所以函数f(x)的最大值为.

16.答案　

解析　f(x)=x2-2x+loga 在内恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)在x∈上恒成立,结合函数y=(x-1)2与y=loga(x-1)的图象(图略),可得解得≤a<1.

17.解析　(1)因为f(x)+f(-x)=0,

所以log2(+x)+log2(-x)=0,(2分)

即log2a=0,解得a=1.(5分)

(2)证明:由(1)知f(x)=log2(+x),

所以g(x)=+1-=1-x,(8分)

则g(x2-x)=1-x2+x=-+≤.(10分)

18.解析　(1)因为-=3,

所以==a+a-1+1=(-)2+3=9+3=12.(6分)

(2)因为18b=5,所以b=log185,(8分)

所以log945===.(12分)

19.解析　(1)依题意得b=1,(2分)

由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1.(4分)

因此f(x)=-+1,其定义域为R,

又f(-x)=-+1=-+1= f(x),故函数f(x)是偶函数.(6分)

(2)不等式m·[1-f(x)]>+1可化为m>,

依题意知m>对任意的x∈[-2,2]恒成立.(8分)

令y=,x∈[-2,2],则m>ymax,(9分)

令t=,

当x∈[0,2]时,t∈,

y==t+,当t=时,y取得最大值,最大值为;(10分)

当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],

y==t3+t,当t=4时,y取得最大值,最大值为68. (11分)

综上,m的取值范围为m>68.(12分)

20.解析　(1)填表如下:

(2分)

由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增函数.

Q(v)=0.5v+a在[40,120]上是减函数,不符合题意.(3分)

若选择Q(v)=av+b,代入(40,5.2),(60,6),

得解得(4分)

则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,

与实际数据相差较大,所以不符合.(5分)

经观察,函数模型Q(v)=av3+bv2+cv最符合实际,代入(40,5.2),(60,6),(100,10),

则解得

∴Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v.(8分)

(2)∵W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,(10分)

∴当v=80时,W取得最小值9,

故该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小.(12分)

21.解析　(1)因为f(x)=3x+(k-2)·3-x(x∈R)是奇函数,

所以f(0)=1+(k-2)=0,解得k=1,(2分)

此时f(x)=3x-3-x,经检验,符合题意,故k=1.(3分)

(2)若∀x∈[-2,-1], f(x)+m·3x≤6,即m·3x≤6-3x+3-x恒成立,

则m≤=6·3-x+(3-x)2-1在x∈[-2,-1]上恒成立.(5分)

设t=3-x,-2≤x≤-1,则3≤t≤9,

令y=6t+t2-1=(t+3)2-10,

当t=3时,y取得最小值26,

所以m≤26,即实数m的最大值为26.(7分)

(3)(3x+3-x)2=(3x-3-x)2+4=[f(x)]2+4,

则g(x)=λf(x)-[f(x)]2-9.(9分)

设u=3x-3-x,x≥1,

当x≥1时,易知函数u=3x-3-x为增函数,则u≥3-=.

若g(x)在[1,+∞)上有零点,

则函数y=λu-u2-9在u∈上有零点,(10分)

故λu=u2+9,即λ=u+在u∈上有解.(11分)

∵u+≥2=6,当且仅当u=3时取等号,

∴λ≥6,即λ的取值范围是[6,+∞).(12分)

22.解析　(1)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即3x+a·3-x=3-x+a·3x恒成立,(2分)

所以a=1.经检验,a=1符合题意.(4分)

(2)由(1)可得f(x)=3x+3-x.

设3-x+3x=t,则t∈[2,+∞),

不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,等价于t2-mt-2≥0恒成立,

即m≤t-在t∈[2,+∞)上恒成立.(6分)

因为y=t-在[2,+∞)上单调递增,

所以=2-=1,

故m≤1,即m的取值范围为(-∞,1].(8分)

(3)证明:易得g(x)=3x+x-3,易知g(x)在R上单调递增,(9分)

因为g(log32)=2+log32-3<0,g(log32.5)=2.5+log32.5-3>

log3-0.5=0,g(x)的图象连续不断,所以由函数零点存在定理可得x0∈(log32,log32.5),

令u=3x,log32<x<log32.5,则2<u<2.5,

易知y=u+在(2,2.5)上单调递增,则f(x)在(log32,log32.5)上单调递增,(11分)

所以f(log32)<f(x0)<f(log32.5),

即<f(x0)<.(12分)