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2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法教学设计
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这是一份2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法教学设计，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点，情境与问题，典型例题，尝试与发现，探索与研究等内容，欢迎下载使用。
教材分析：
函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
教学目标：
（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；
（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。
【教学重点】
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.
【教学难点】
1.求函数的定义域和值域
回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。
教学过程
一、函数的概念
我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。
（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【情境与问题】
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作
y=f（x），x∈A，
其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合
{y∈B|y=f（x），x∈A}
称为函数的值域.
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示。
值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数
f（x）=2x+1，x∈R与y=2s+1，s∈R
应该看成同一个函数.习惯上，人们总用x表示自变量，y表示因变量.
更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如
y=， ，x∈R与g（x）=|x|，x∈R
表示同一个函数.
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。
在上述约定下，以下表达式都可以表示函数f（x）=2x+1，x∈R：
f（x）=2x+1，
y=2x+1.
【典型例题】
例1 求下列函数的定义域：
（1）f（x）= （2）g（x）=
解 （1）因为函数有意义当且仅当
x+1≥0
解得x＞-1，所以函数的定义域为
（-1，+∞）
（2）因为函数有意义当且仅当
x≠0
x+2≠0
解得x≠0且x≠-2，因此函数的定义域为
（-∞，-2）∪（-2，0）∪（0，+∞）
以下都是求函数定义域常用的依据：
（1）分式中分母不能为零；
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零.
例2 设函数g（x）=的值域为S，分别判断-和3是否是S中的元素.
解 由于≥0恒成立，所以=-无解，因此-∉S.
当=3时，可解得x=8，即g（8）=3，所以3∈S.
例2的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域.
例3 已知f(x)=
（1）求f（-1），f（0）和f（2）；
（2）求函数f（x）的值域.
【尝试与发现】
判断方程 是否有解，由此给出求函数f（x）值域的一种方法。
解 （1）由已知可得
f（-1）=
f（0）=
f（2）=
（2）（方法一）因为x≥0，所以x2+1≥1恒成立，从而可知
又因为当x的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，因此所求函数的值域为（0，1].
（方法二）假设t是所求值域中的元素，则关于x的方程 应该有解，即 应该有解，从而
即 解得0例3（2）中的方法一实质上用的是不等式的性质.
二、函数的表示方法
前面我们所接触到的函数y=f（x）中，绝大多数f（x）都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）=2x+1，这种表示函数的方法称为解析法.
前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.如果将这个函数记为i=f（y），则从表格中可以看出
f（2013）=152.6，f（2 015）=171.5
另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有
D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}
前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.
一般地，将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即
F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.
这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x，y）都在函数的图像F上.
用函数的图像表示函数的方法称为图像法.
从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.
例如，我们知道，一次的数y=-x+1的图像是一条直线，又易知图像过点（0，1）和（1，0），所以容易作出其图像如下图所示.
【典型例题】
例4 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f（x）元。假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的图像.
解 如果x∈[0，180]，则f（x）=5x；
如果x∈（180，260]，按照题意有
f（x）=5×80+7（x-180）=7x-360.
因此
f（x）= 5x，x∈[0，180]
7x-360，x∈（180，260]
注意到f（x）在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f（x）在每个区间上的图像都是直线的一部分，又因为
f（180）=5×180=900，
f（260）=7×60-360=1460，
由此可作出函数图像如下所示.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
【尝试与发现】
函数D（x）=1，x∈Q
=0，x∉Q 被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像吗？
可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图像不能形象地展示出来。
例5 设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数。如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由。
【尝试与发现】
依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数。
解 因为当n∈Z且x∈[n，n+1）时，有
y=n，
因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1）的区间内.因此给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数。
由上可看出，在每一个区间[n，n+1）内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如下图所示。
例5中的函数通常称为取整函数，记作
y=[x]，
其定义域是R，值域是Z
这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.
在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图像是一条垂直于y轴的直线.
例6已知函数y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.
解 函数的定义域为[0，+∞）.由y=在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，+∞）.
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示.
由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式.在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成，如例7所示.
例7 已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），求这个二次函数的解析式.
解 设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则
a-b+c=4，
c=1，
a+b+c=2.
由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为
y=2x2-x+1.
例8 已知f（x）=x2，求f（x-1）.
求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）.
【尝试与发现】
解 由已知可得
f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.
例8中，如果设g（x）=f（x-1），则有g（x）=x2-2x+1，因此g（x）与f（x）是不同的函数.
【探索与研究】
已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总结f（x）与f（x-1）的关系.
三、用信息技术作函数图像
利用计算机软件可以迅速作出函数的图像，从而可以观察函数的性质等。
在GeGebra中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图像.例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）：
f（x）=1/（x^2+1）
g（x）=sqrt（x）
h（x）=x^2
i（x）=h（x-1）
j（x）=if [0<=x<=1，x，if [1即可得到如下图所示的函数解析式和函数图像（最后的命令实际上是画出了分段函数的图像）.
教学反思
本节内容较为简单，学生容易吸收，但要注意抽象函数的定义域、值域的求解。
教材分析：
函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
教学目标：
（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；
（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。
【教学重点】
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.
【教学难点】
1.求函数的定义域和值域
回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。
教学过程
一、函数的概念
我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。
（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
【情境与问题】
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作
y=f（x），x∈A，
其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合
{y∈B|y=f（x），x∈A}
称为函数的值域.
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如g，h等表示。
值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数
f（x）=2x+1，x∈R与y=2s+1，s∈R
应该看成同一个函数.习惯上，人们总用x表示自变量，y表示因变量.
更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.例如
y=， ，x∈R与g（x）=|x|，x∈R
表示同一个函数.
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。
在上述约定下，以下表达式都可以表示函数f（x）=2x+1，x∈R：
f（x）=2x+1，
y=2x+1.
【典型例题】
例1 求下列函数的定义域：
（1）f（x）= （2）g（x）=
解 （1）因为函数有意义当且仅当
x+1≥0
解得x＞-1，所以函数的定义域为
（-1，+∞）
（2）因为函数有意义当且仅当
x≠0
x+2≠0
解得x≠0且x≠-2，因此函数的定义域为
（-∞，-2）∪（-2，0）∪（0，+∞）
以下都是求函数定义域常用的依据：
（1）分式中分母不能为零；
（2）二次根式中的被开方数要大于或等于零.
例2 设函数g（x）=的值域为S，分别判断-和3是否是S中的元素.
解 由于≥0恒成立，所以=-无解，因此-∉S.
当=3时，可解得x=8，即g（8）=3，所以3∈S.
例2的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域.
例3 已知f(x)=
（1）求f（-1），f（0）和f（2）；
（2）求函数f（x）的值域.
【尝试与发现】
判断方程 是否有解，由此给出求函数f（x）值域的一种方法。
解 （1）由已知可得
f（-1）=
f（0）=
f（2）=
（2）（方法一）因为x≥0，所以x2+1≥1恒成立，从而可知
又因为当x的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，因此所求函数的值域为（0，1].
（方法二）假设t是所求值域中的元素，则关于x的方程 应该有解，即 应该有解，从而
即 解得0
二、函数的表示方法
前面我们所接触到的函数y=f（x）中，绝大多数f（x）都是用代数式（或解析式）来表示的，例如f（x）=2x+1，这种表示函数的方法称为解析法.
前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法.如果将这个函数记为i=f（y），则从表格中可以看出
f（2013）=152.6，f（2 015）=171.5
另外，如果将这个函数的定义域记为D，值域记为S，则有
D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}
前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系.
一般地，将函数y=f（x），x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即
F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.
这就是说，如果F是函数y=f（x）的图像，则图像上任意一点的坐标（x，y）都满足函数关系y=f（x）；反之，满足函数关系y=f（x）的点（x，y）都在函数的图像F上.
用函数的图像表示函数的方法称为图像法.
从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可.但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实.因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.
例如，我们知道，一次的数y=-x+1的图像是一条直线，又易知图像过点（0，1）和（1，0），所以容易作出其图像如下图所示.
【典型例题】
例4 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180m3的部分，水价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3，其要缴纳的水费为f（x）元。假设0≤x≤260，试写出f（x）的解析式，并作出f（x）的图像.
解 如果x∈[0，180]，则f（x）=5x；
如果x∈（180，260]，按照题意有
f（x）=5×80+7（x-180）=7x-360.
因此
f（x）= 5x，x∈[0，180]
7x-360，x∈（180，260]
注意到f（x）在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此y=f（x）在每个区间上的图像都是直线的一部分，又因为
f（180）=5×180=900，
f（260）=7×60-360=1460，
由此可作出函数图像如下所示.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
【尝试与发现】
函数D（x）=1，x∈Q
=0，x∉Q 被称为秋利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗？你能作出这个函数的图像吗？
可以看出，狄利克雷函数的定义域为R，值域为{0，1}，但它的图像不能形象地展示出来。
例5 设x为任意一个实数，y是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数。如果是，作出这个函数的图像；如果不是，说明理由。
【尝试与发现】
依照题意填写下表，然后判断对应关系是否是函数。
解 因为当n∈Z且x∈[n，n+1）时，有
y=n，
因为任何一个实数x，都必定在某个形如[n，n+1）的区间内.因此给定一个x，有唯一的y与之对应，所以这种对应关系是函数。
由上可看出，在每一个区间[n，n+1）内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如下图所示。
例5中的函数通常称为取整函数，记作
y=[x]，
其定义域是R，值域是Z
这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.
在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一个常数函数，它的值域是{7}，图像是一条垂直于y轴的直线.
例6已知函数y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.
解 函数的定义域为[0，+∞）.由y=在y≥0时有解可知，函数的值域为[0，+∞）.
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如下图所示.
由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式.在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成，如例7所示.
例7 已知二次函数的图像过点（-1，4），（0，1），（1，2），求这个二次函数的解析式.
解 设函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则
a-b+c=4，
c=1，
a+b+c=2.
由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函数解析式为
y=2x2-x+1.
例8 已知f（x）=x2，求f（x-1）.
求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）.
【尝试与发现】
解 由已知可得
f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.
例8中，如果设g（x）=f（x-1），则有g（x）=x2-2x+1，因此g（x）与f（x）是不同的函数.
【探索与研究】
已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式吗？试总结f（x）与f（x-1）的关系.
三、用信息技术作函数图像
利用计算机软件可以迅速作出函数的图像，从而可以观察函数的性质等。
在GeGebra中，只要输入函数的表达式，就可以得到对应的图像.例如，依次输入以下各行内容（每输完一行之后按回车键）：
f（x）=1/（x^2+1）
g（x）=sqrt（x）
h（x）=x^2
i（x）=h（x-1）
j（x）=if [0<=x<=1，x，if [1
教学反思
本节内容较为简单，学生容易吸收，但要注意抽象函数的定义域、值域的求解。
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