2021-2022学年北京市房山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市房山区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若，则的对顶角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年月日发现猴痘疫情，猴痘是一种病毒性人畜共患病，人类中出现的症状与过去在天花患者身上所看到的症状相似．猴痘病毒颗粒较大，呈菠萝果状，直径约为厘米．将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果是关于，的方程的解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是(    )

A. 了解一批图形计算器的使用寿命
B. 了解北京市全部学校课后服务的开展情况
C. 了解某班学生对“北京冬奥精神”的知晓率
D. 了解共青团员学习习近平在中国共产主义共青团成立周年大会上的讲话情况

6. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，直线过点，且，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列因式分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 某班班主任调查了本班学生一周的居家体育锻炼时间，统计数据如下表所示：

则该班学生一周的居家体育锻炼时间的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10. 如图，三个图形都是边长为的小正方形组成的网格，其中图有个小正方形，所有线段的和为，图有个小正方形，所有线段的和为，图有个小正方形，所有线段的和为，按此规律，则第个图中所有线段的和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. ______．
12. 分解因式：______．
13. 如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，若，则______，依据是______．

14. 如图，四边形，点是的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定这个条件是______．

15. 若有理数，满足，则的值为______．
16. 若用一组，的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______．
17. 九章算术卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，根据题意列出方程组为______．
18. 现有，，，，九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中表中已出现的数字不再重复使用，每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．

三、计算题（本大题共1小题，共5分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共49分）

20. 因式分解：．
21. 解方程组：．
22. 解不等式组，开写出它的所有整数解．
23. 按要求画图，并解答问题：
    已知：如图，平分．
    在射线上取一点，过点作直线，交于点；
    若，求的度数．

24. 已知，求代数式的值．
25. 填空，完成下列说理过程：
    已知：如图，点，分别在线段，上，，．
    求证：．
    证明：已知，
    ______
    已知，
    ______
    __________________
    ______

26. 某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，该公司销售台型车和台型车，可获利万元，销售台型车和台型车，可获利万元．
    求销售一台型，一台型新能源汽车的利润各是多少万元？
    该公司准备采购，两种新能源汽车共台，利润不低于万元，则至少需要采购型新能源汽车______台．
27. 为了更好地贯彻、落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见以及教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行，更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及在家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：
    信息一：抽取部分学生平均每周做家务时间如下表所示：单位：小时

信息二：抽取部分学生平均每周做家务时间扇形统计图如下所示：

：
：
：
：
根据以上信息，回答下列问题：
这次抽样调查的学生人数是______，对应的扇形圆心角的度数是______；
请补全表中的空缺信息；
该校有名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间大于小时的学生人数．

28. 如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
    
    如图，形中，若，，则______；
    如图，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若，则的对顶角的大小为．
故选：．
根据对顶角的性质解答即可．
本题考查对顶角，掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：不等式的解集在数轴上表示为：

故选：．
根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：了解一批图形计算器的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.了解北京市全部学校课后服务的开展情况，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.了解某班学生对“北京冬奥精神”的知晓率，适合使用全面调查，因此选项C符合题意；
D.了解共青团员学习习近平在中国共产主义共青团成立周年大会上的讲话情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，然后再利用平角定义进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式分解因式得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：该班学生一周的居家体育锻炼时间的中位数是，众数为，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

10.【答案】 

【解析】解：第一个图形有个小正方形，所有线段的和为，
第二个图形有个小正方形，所有线段的和为，
第三个图形有个小正方形，所有线段的和为，
，
按此规律，则第个网格中所有线段的和为；
故选：．
根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：这些数是偶数；这些数是三个数的积；三个因数中有一个数是，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大，可得第个网格中所有线段的和为．
本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据单项式除以单项式的法则计算即可．
本题考查了整式除法，单项式除以单项式，把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式．单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解即可．
本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】  同角或等角的余角相等 

【解析】解：如图，
，，
．
依据是同角或等角的余角相等．
故答案为：，同角或等角的余角相等．
如图，根据题意可得，，等量代换可得，再由余角的性质即可得出答案．
本题主要考查了余角，熟练掌握余角的定义进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：当时，则．
故答案为：答案不唯一．
直接利用平行线的判定方法得出答案．
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
得，；
因此．
故答案为：．
首先根据非负数的性质得到，，然后整体相加即可得出的值．
本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于．
 

16.【答案】   

【解析】解：当，时，
则，，
满足，但不满足，
故选：，．
找到满足且不满足的一对、的值即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题错误可以举出反例，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

18.【答案】         

【解析】解：甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是，甲先填，
第二个数字为，第四个数字为，
乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字，
第三个数字为或或，第五个数字为或或，且不能与第三个数字相同，
即第三个数字有种选法，第五个数字有种选法，
满足条件的填法有种，
故答案为：；，，，表中数据答案不唯一．
根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字知，甲每次都选数据中最大的数字，再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可．
本题主要考查排列与组合的知识，熟练根据各个数字的可能性判断组合的种数是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后计算零次幂和负整数指数幂，再计算加减．
本题考查了二次根式、实数的运算，准确熟练地运用法则进行计算是解题的关键．先算乘方或开方，后算乘除，再算加减，有括号先算括号里面的，如果没有括号，同级运算要从左到右依次进行．
 

20.【答案】解：原式
． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

21.【答案】解；，
由得，，
将代入得，，
解得，
将代入得，，
方程组的解为． 

【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有、、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：如图，

平分，
，
，
，
． 

【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，然后利用邻补角的定义计算出的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
 

24.【答案】解：原式

，
，
，
故原式． 

【解析】直接利用多项式乘多项式以及完全平方公式化简，进而合并同类项，再把已知整体代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
 

25.【答案】两直线平行，内错角相等  等量代换      同位角相等，两直线平行  两直线平行，同旁内角互补 

【解析】证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
先根据得出，等量代换得到判定，进而得出结论．
本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键熟练掌握平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

26.【答案】 

【解析】解：设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，
根据题意得：，
解得，
答：销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元；
设采购型新能源汽车台，，则采购型新能源汽车台，
利润不低于万元，
，
解得，
为整数，
最小取，
即至少需要采购型新能源汽车台，
故答案为：．
设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，根据题意得：，解得销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元；
设采购型新能源汽车台，由利润不低于万元，得，解得，而为整数，即知即至少需要采购型新能源汽车台．
本题考查二元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程组和不等式．
 

27.【答案】       

【解析】解：这次抽样调查的学生人数是：，
对应的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：，；
样本中：的学生人数为：人，
补全表格为：

人，
答：估计该校平均每周做家务的时间大于小时的学生人数为人．
由的频数除以百分比得出这次抽样调查的学生人数；用乘以类学生人数的百分比得出对应的扇形圆心角的度数；
用总人数减去其它组的频数即可求解；
用样本估计总体即可．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：过作，

，
，
，，
，
故答案为：；
．
理由：过点作交于点，

，
，，
，
由可得，
，
，
；
如图，当，位于两侧时，

，，
，
，，，
，
即；
当，位于同侧时，

，，
，
，，，
，
即．
综上，或．
过作，利用平行线的性质计算可求求解；
过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合的结论可求解；
可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分解计算求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．