2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列不等式变形正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3. 在中，，若，平分交于点，且：：，则点到线段的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 七年级选修击剑课的学生共有人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为，男生人数为，则下列方程组中，能正确计算出、的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若方程组的解满足，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

7. 大金同学通过高尔夫球选修课知道高尔大球表面有个凹洞，可以减少空气阻力，并增加球的升力，让高尔夫球飞得更远．凹洞的平均深度约为，用科学记数法表示为______
8. 命题“三角形的外角和是”是______填真、假命题．
9. 计算：______．
10. 若，，则______．
11. 已知，，则______．
12. 已知、是二元一次方程组的解，则代数式______．
13. 不等式的非负整数解是______．
14. 若不等式组有解，则的取值范围是______ ．
15. 如图，是的角平分线，从下列四个条件：，，，中选一个条件，能使≌的有______填序号

16. 已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则______

三、解答题（本大题共10小题，共68分）

17. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
18. 分解因式：
    ；
    ．
19. 解方程组．
    直接写出方程组的解是______．
20. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21. 如图，在中，，点在上，，点在上，
    若，求的度数．
    当的度数是______时，是直角三角形．

22. 定义一种运算：，请解方程：．
23. 问题探究：已知、是实数，求证：．
    结论应用：已知、是实数，且，求的最小值．
24. 已知：如图，、相交于点，，，点、在上，．
    求证：≌；
    判断线段、的关系，并说明理由．

25. 颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．颜主任准备购买、两种奖品共个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，问：
    、两种奖品的单价分别是多少元？用二元一次方程组解决问题
    种奖品至少买几个？用一元一次不等式解决问题
    在购买方案中最少费用是______元．
26. 【探究结论】
    如图，，为形内一点，连结、得到，则、、的关系是______直接写出结论，不需要证明：
    【探究应用】利用中结论解决下面问题：
    如图，，直线分别交、于点、，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：．
    如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法判断选项；根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据积的乘方和同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A符合题意；

若，则
选项B不符合题意；

若，则，
选项C不符合题意；

，时，，
选项D不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，：：，
，，
平分，，
，
故选：．
先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案．
本题考查角平分线，解题的关键是求出的长度，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得，即；根据某班共有学生人，得．
列方程组为：．
故选：．
此题中的等量关系有：
该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；
男生人数女生人数．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
，
，
．
故选：．
将方程组中两方程相减，表示出，代入中，即可求出的范围．
此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，，
，
故选：．
先求出，再根据三角形内角和定理可得，，从而可得，即可求解．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用和的内角关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

8.【答案】真 

【解析】解：命题“三角形的外角和是”是真命题，
故答案为：真．
利用多边形的外角和进行判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
将已知两个等式相除，再根据同底数幂的除法法则进行解答便可．
本题主要考查同底数幂的除法的应用，关键是灵活应用同底数幂的除法法则解题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
得：，
则，
故答案为：
利用完全平方公式计算即可求出所求．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原方程组变形为，


，
的值为，
故答案为：．
把方程组中第二个方程的两边同时除以可得，然后再利用平方差公式进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：整理得：，
移项得：，
系数化为得：，
故不等式的非负整数解为，．
故答案为：，．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键根据题意，利用不等式组取解集的方法即可得到的范围．
【解答】

解：不等式组有解，
，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，
，
，
，由证明≌，正确；
，延长到使，可证≌，得，再证，证得，从而可证≌，正确；
，由证明≌，正确；
，不能证明≌，错误．
故答案为：．
先由角平分线定义得出，再根据全等三角形的判定解答即可．
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．本题也考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，角平分线定义．
 

16.【答案】 

【解析】解：由折叠知：，．
，，

．

，

，


．





．
故答案为：．
利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

，
当时，
原式

． 

【解析】先算乘方，再算乘法；
先展开，去括号，合并同类项，化简后将字母的值代入即可．
本题考查整式运算及化简求值，解题的关键式掌握完全平方，平方差公式及相关的整式运算法则．
 

18.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
原式整理后，利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
根据中方程组的解得：，
解得：．
故答案为：．
方程组利用加减消元法求出解即可；
仿照中方程组的解确定出所求即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：，
由不等式移项得：，
整理得：，
解得：，分
由不等式去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，分
则不等式组的解集为分
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，分
 

【解析】将不等式组的两不等式分别记作和，由不等式移项，将的系数化为，求出的范围，由不等式左边去括号后，移项并将的系数化为求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解来找出不等式组的解集．
 

21.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
，
，，
；
当的度数是或时，是直角三角形．
理由如下：
当的度数是时，是直角三角形．
当，
时，是直角三角形．
故答案为：或．
根据平行线的性质可得，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得；
根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用直角三角形定义即可得结论．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理．
 

22.【答案】解：，，
当时，即，
则，
解得不合题意，舍去；
当时，即，
则，
解得符合题意；
由上可得，的解是． 

【解析】根据题意和新定义，利用分类讨论的方法，可以得到相应的不等式和方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的思想解答．
 

23.【答案】证明：，
，
；
解：、是实数，且，
．
故的最小值是． 

【解析】根据完全平方公式即可证明；
根据，依此可求的最小值．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，，
在和中，
，
≌；
解：，，理由如下：
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，可得，由“”可证≌，可得，，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：、两种奖品的单价分别是、元．
设购买种奖品个，则购买种奖品个，
种奖品的数量不小于种奖品数量的，
，
，
又为整数，
．
种奖品至少买个．
设购买总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
故答案为：．
设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据“购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值．
设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据购买种奖品的数量不小于种奖品数量的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出．
设购买总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
 

26.【答案】  或 

【解析】解：过点作，

，
，，
，
．
，
等量代换，
故答案为：；
证明：由可知：，
平分，
，
，
，
，
；
由知：，
设，则，
，
，
，
又，
，
解得，
又是的外角，
，
的度数为整数，
或，
或，
故答案为：或．
过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
由可知：，由角平分线的定义结合可得，再根据三角形的内角和定理可证明结论；
由知：，设，则，可求得，结合度数的取值范围可求解的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．