2021-2022学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 年月日至月日，第届冬奥会在中国北京市和张家口市联合举办．下列冬奥元素中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞的责任，其中数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 任意画一个三角形，其内角和是
B. 经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯
C. 投一枚骰子，朝上一面的点数是
D. 从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率(    )

A.
B.
C.
D.

7. 等腰三角形的周长是，其中一边长为，则这个等腰三角形底边的长度为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 如图，表示了自变量与因变量的关系，当每增加时，增加(    )

A.
B.
C.
D.

9. 年月日，京张高铁轨道全线贯通，它是年北京冬奥会的重要交通保障设施．全线运营后高铁将通过清华园隧道穿越北京市城市核心区，如图所示，当高铁匀速通过清华园隧道隧道长大于火车长时，高铁在隧道内的长度与高铁进入隧道的时间之间的关系用图象描述大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，按以下方法作一个角的平分线：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点画射线，射线即为所求．这种作图方法的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：；；；其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 若点在轴上，则的值为______．
14. 已知三角形的两边长分别为和，第三边长为，若为整数，请写出一个适合的值为______．
15. 等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为______．
16. 下表反映的是高速公路上匀速行驶的汽车在行驶过程中油箱的剩余油量升与时间时与之间的关系，该关系可以表示为______．

17. 如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为若，，则的长是______．

18. 如图，在中，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 先化简．再求值：，其中，．
21. 如图，，，请写出与的数量关系，并证明你的结论．

22. 如图，在正方形网格上有一个，三个顶点都在格点上，网格上的最小正方形的边长为．
    作关于直线的对称图形不写作法
    求的长．
    求的面积．

23. 在一个不透明的口袋里装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同．
    事件“从口袋里随机摸出一个球是绿球”发生的概率是______；
    事件“从口袋里随机摸出一个球是红球”发生的概率是______；
    从口袋里取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，若随机摸出白球的概率是，求的值．
24. 如图，，，，求的度数．
    解：，
    ____________
    又，______
    ____________
    ____________
    ，
    ______．

25. 已知动点以的速度沿如图所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图所示，若，请回答下列问题：
    
    图中______，______，______．
    求图中，的值；
    分别求出当点在线段和上运动时与的关系式．
26. 方法呈现：如图：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．
    解决此问题可以用如下方法：
    延长到点，使，再连接，可证≌，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______直接写出范围即可这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；
    探究应用：
    如图，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；
    问题拓展：
    如图，在四边形中，，与的延长先交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义解决此题．
本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：故选B．
乘号前的数应为，指数是负数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故A不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯，是随机事件，故B符合题意；
C、投一枚骰子，朝上一面的点数是，是不可能事件，故C不符合题意；
D、从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理，随机事件，不可能事件，必然事件的特点，判断即可．
本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算不正确；
B.，故选项B计算不正确；
C.，故选项C计算正确；
D.与不是同类项，不能加减，故选项D计算不正确．
故选：．
利用同底数幂的乘、除法法则、积的乘方法则、合并同类项法则、逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的乘、除法法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
根据题意可求得，由平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：观察这个图可知：白色区域块的面积占总面积块的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：．
根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：若为等腰三角形的腰长，则底边长为，，故不符合三角形的三边关系；
若为等腰三角形的底边，则腰长为，此时三角形的三边长分别为，，，符合三角形的三边关系；
等腰三角形的底边长为，
故选：．
分为两种情况：是等腰三角形的腰或是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
 

8.【答案】 

【解析】解：当自变量时，，
当时，，
当每增加时，增加，
故选：．
利用自变量与因变量的关系进行计算即可．
本题考查常量与变量，理解常量与变量的意义是正确解答的前提，设自变量的值，代入计算因变量的值是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可知火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时逐渐变大，火车完全进入后一段时间内不变，当火车开始出来时逐渐变小，故反映到图象上应选D．
故选：．
先分析题意，把各个时间段内与之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的函数关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得，，
而为公共边，
所以根据“”可判定≌，
所以，即平分．
故选：．
利用基本作图得到，，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可判断≌．
此题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
是的垂直平分线，
，
，
同理：，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，延长至，使，设与交于点，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，故是正确的；
，
，故正确；
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故是不正确的；
≌，
，
，
，故是正确的，
综上所述：其中正确的有．
故选：．
因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明≌，则，，所以是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故是错误的．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据点在轴上的点横坐标为，得：，
解得：．
故答案为：．
根据点在轴上的点横坐标为求解．
此题考查了点与坐标的对应关系，熟记坐标轴上的点的特征是解答本题的关键．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
为整数，
或或，
故答案为：或或．
首先根据三角形的三边关系定理确定出的取值范围，再找出符合条件的偶数即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
已知等腰三角形的一个内角为，则这个角有可能是底角，也有可能是顶角，所以应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为，当这个角是底角时，则顶角的度数，
故其顶角的度数为或．
故填或．  

16.【答案】 

【解析】解：由表格中数据的变化规律可知，行驶时间每增加小时，油箱内的余油量就减少升，
所以油箱的剩余油量升与时间时与之间的关系式为，
故答案为：．
根据表格中数据的变化规律进行计算即可．
本题考查函数关系式，理解表格中两个变量的对应数值的变化规律是得出正确答案的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由折叠得：
，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
先在中，利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，，，然后可证∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了翻折变换折叠问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：延长至，使，连接，作于，

则垂直平分，
，
当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长，
在中，由勾股定理得，，
，
由面积法得，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
延长至，使，连接，作于，得，当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长，利用面积法求出的长，从而得出答案．
本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，利用三角形的面积求垂线段的长是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；



；


；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算乘方，再算乘除，即可解答；
利用多项式乘单项式的法则，进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

21.【答案】解：结论：．
理由：，
，
，
，
，
≌，
． 

【解析】结论：只要证明≌即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图所示：即为所求；

在网格中构建，
在中，，，


；

的面积为：

． 

【解析】直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用勾股定理得出的长；
利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法、勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：不透明的口袋里装有个白球和个红球，
“从口袋里随机摸出一个球是绿球”发生的概率是；
故答案为：；

不透明的口袋里装有个白球和个红球，
“从口袋里随机摸出一个球是红球”发生的概率是；
故答案为：；

根据题意得：
，
解得，
则的值是．
根据口袋中没有绿球，不可能摸出绿球，从而得出发生的概率为；
用红球的个数除以总球的个数即可；
设放入个白球，根据概率公式列出算式，求出的值即可得出答案．
此题考查了概率的定义：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

24.【答案】  两直线平行，同位角相等  等量代换    内错角相等，两直线平行    两直线平行，同旁内角互补   

【解析】解：，
两直线平行，同位角相等．
又，
等量代换．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，同旁内角互补．
，
．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
由平行线的性质可得，从而可得，则可判定，故有，则可求的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

25.【答案】解：，，；
，
；
由图知，点在上运动时，，
，即；
由图知，点在上运动时，，
，即． 

【解析】解：由图可知从运动时间为，
，
同理，
，
故答案为：，，；
见答案；
见答案．
因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；
由图象可知的值就是面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决；
先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积．
本题考查了动点问题的函数图象，涉及数形结合的数学思维，通过图象找出对应图形的线段长度，很好的考查了学生分析问题和看图的能力．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，延长到点，使，连接，
是的中点，
，
，
≌，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
延长至点，使，连接、，如图所示．

同得：≌，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：
，
；
，理由如下：
如图，延长，交于点，

，
，
在和中，
，，，
≌，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
由已知得出，即，为的一半，即可得出答案；
延长至点，使，连接，，可得≌，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得≌，从而可得，即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．