2022年湖北省武汉市东西湖区中考数学质检试卷（二）（5月份）（含解析）

2022年湖北省武汉市东西湖区中考数学质检试卷（二）（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在一个装有个红球和个白球的袋子中随机摸三个，其中有一个是红球，这个事件是(    )

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件

3. 下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. “龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程和时间的关系其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子下列叙述正确的是(    )

A. 赛跑中，兔子共休息了分钟
B. 乌龟在这次比赛中的平均速度是米分钟
C. 比赛过程中，兔子的平均速度比乌龟的平均速度快
D. 乌龟追上兔子用了分钟

8. 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为的值，然后把这张放回去，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为的值，则点在第一象限的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形和正方形的顶点分别在半圆的直径和圆周上，若，则半圆的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数在第一象限交点的横坐标为，则二元一次方程的根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简的结果是______．
12. 防疫期间，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中测量名学生的体温，结果如下：，，，，，，单位：这组数据的众数是______．
13. 计算：______．
14. 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为______参考数据：，，

15. 已知二次函数，对称轴为，与轴交于点，与轴有两个不同的交点，其中一个交点在和之间．在下列四个结论中：；若为实数，则总有；；若抛物线过点，则其中正确的是______填写序号
16. 如图，在中，，，点为边上一点，将线段绕点逆时针旋转交于点，则长度的最大值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组：．
    请按下列步骤完成解答：
    Ⅰ解不等式，得______ ；
    Ⅱ解不等式，得______ ；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

18. 四边形中，，平分交于点，于点，已知，．
    求的度数；
    求证：．

19. “分钟跳绳”是体育中考项目之一某中学为了解九年级学生“分钟跳绳”的情况，随机抽取部分九年级学生，测试其分钟跳绳成绩，按标准依次分为，，，四个等级进行统计男女生分别按相应标准，并绘制成如下两幅不完整的统计图请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    在这次调查中共抽取了______ 名学生，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角大小为______ ；
    所抽取学生“分钟跳绳”测试成绩的中位数会落在______ 等级；
    、等级为优秀，若该校九年级共有名学生，请你估计该校还未获优秀的学生约在多少人？
     

20. 如图，是的直径，垂直与过点的切线，交与于，连接．
    求证：平分；
    若的半径为，，求劣弧的长度．

21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
    直接写出的度数，______；
    先取格点，使，若与交于点，则______；
    在线段上画点，使．

22. 夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款盒装雪糕分、两种，不可拆开售卖共盒，两款雪糕的成本均为元盒，假设购进的所有雪糕均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．
    设雪糕销售单价为元为整数，所获总利润为单位：元，已知当销售单价时，雪糕的销量为盒，在此基础之上，每增加元，销量就会减少盒．雪糕的销售单价恒为元，设卖出雪糕所获总利润单位：元．
    用含的代数式表示下列各量：
    雪糕的销量为______盒，雪糕的销量为______盒；
    卖出雪糕所获利润______；
    卖出雪糕所获利润______．
    在此次销售中，雪糕店所获总利润为单位：元，则当为多少时有最大值，并求出该最大值．
    每售出一盒型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出元，若总利润的最大值为元，请直接写出的值．
23. 已知，矩形中，，点在的延长线上，于点，交边于点，
    如图，当时，求证：≌；
    如图，连接，
    当时，求的值；
    当时，直接写出______．
     

24. 如图，抛物线交轴于、两点点在点的左侧，交轴负半轴于点，已知用“”表示面积．
    求抛物线的解析式；
    在直线下方的抛物线上取一点，连接交于点，当时，求点的坐标；
    如图，点、均在抛物线上，设点的横坐标为，点的横坐标为，，连接，连接、分别与轴交于点、，，请问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的表示的方法，实数的相反数为．
故选：．
根据相反数的表示方法解决此题．
本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的表示方法是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在一个装有个红球和个白球的袋子中随机摸三个，其中有一个是红球，这个事件是随机事件，
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大，
，
，
的取值范围为：．
故选：．
直接利用反比例函数的性质得出，进而得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
赛跑中，兔子共休息了分钟，故选项A不合题意，
乌龟在这次比赛中的平均速度是米分钟，故选项B不合题意，
乌龟比兔子先到达分钟，故选项C不合题意，
乌龟追上兔子用了分钟，故选项D符合题意，
故选：．
根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中点在第一象限的有种结果，
所以点在第一象限的概率为，
故选：．
根据题意列出图表，即可表示所有可能出现的结果，从中找到点落在第一象限的结果数，继而根据概率公式求解可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，

设，
四边形是正方形且顶点和在圆上，
，，
，四边形是正方形，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得或舍去
当时，，
则半圆的半径是．
故选：．
连接，，设，则，在和中利用勾股定理列出等式计算的值，进一步求出半径即可．
本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是根据圆的半径相等这一条件添加辅助线并列出方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数和反比例函数在第一象限交点的横坐标为，
，
，
方程的一个根为，
，
，
故选：．
根据图象上点的坐标特征得出，即可得出，从而得出方程的一个根为，然后根据根与系数的关系即可求得．
本题是综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，确定方程的一个根为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可解答．
本题考查了二次根式的性质与化简．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
将分式通分，按照同分母的分式的加减法法则化简即可得出答案．
本题考查了分式的加减法，掌握把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，

则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为，
故答案为：．
作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
，，
，
抛物线与轴交于点，与轴有两个不同的交点，其中一个交点在和之间，
抛物线的开口只能向下，从而，
由抛物线的对称性可知：抛物线与轴的另外一个交点在和之间，
时，，
即，故不符合题意．
，，
，
，
，故符合题意．
由于抛物线与轴有两个不同的交点，其中一个交点在和之间，
时，，即，
，故不符合题意．
由题意可知：时，，
，故符合题意．
故答案为：．
根据题意给出的条件可知，，，然后根据抛物线的对称性以及点在抛物线上时，对应纵坐标与的大小关系即可求出答案．
考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点有关．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，设，，则，

将线段绕点逆时针旋转交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
，
的最大值为．
过点作于，设，，则，证明∽，推出，推出，可得，由，可得，解得或舍去，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：平分交于点，，
，
于点，
，
；
过点作，

，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线的定义可得，结合垂直的定义可求解的度数；
过点作，由平行线的性质可得，，即可求得，结合可得，利用平行线的性质求得，即可得，进而可证明结论．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的度数是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：名，，
故答案为：，；
将名学生跳绳测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都在等级，因此中位数会落在等级，
故答案为：；
名，
答：该校还未获优秀的学生约在人．
求出“”所占的百分比，根据频数、频率、总数之间的关系即可求出调查人数，进而求出“”所占的百分比和相应的圆心角度数；
根据中位数的意义进行判断即可；
求出“、”所占整体的百分比即可求出相应的人数．
本题考查扇形统计图、条形统计图，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，

是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
或舍去，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
劣弧的长度，
劣弧的长度为 

【解析】连接，利用切线的性质可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可证平分，即可解答；
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可证∽，然后利用相似三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，弧长的计算，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图，取点，，连接，，，则，，设与交于点，

，，
∽，
，
，
，
解得，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，取格点，连接，

则∽，
，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，点即为所求．

取点，，连接，，，使，，设与交于点，可证∽，则，即，解得，，则，即，进而可得出答案．
取格点，连接，则∽，可得，由，可得，则，即可得出答案．
利用三角形相似的判定与性质找到点的位置即可．
本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】    十且为整数  且为整数 

【解析】解：雪糕销售单价为元，当时，其销量为盒，且每增加元，销量就会减少盒，
雪糕的实际销量为盒，
雪糕的实际销量为十盒，
故答案为：十；；
由题意，可得，
，
且为整数，
即卖出雪糕所获利润为十且为整数，
故答案为：十且为整数；
由题意，可得，
即卖出雪糕所获利润为且为整数，
故答案为：且为整数；
由题意可得：十，
整理得且为整数，
则是的二次函数，其对称轴为直线，
，
该函数图象的开口向下，
且为整数，
当时，有最大值，最大值为，
即当时，有最大值，最大值为元；
设捐款后的实际利润为元
则

整理得且为整数，
则是的二次函数，其对称轴为直线，
，
，
，
该函数图象的开口向下，
且为整数，
当时，有最大值，
即，
解得：，，
，
．
根据雪糕销售单价为元，当时，其销量为盒，且每增加元，销量就会减少盒，写出雪糕的销量，再根据，雪糕共盒，写出雪糕的销量；根据每盒雪糕的利润销量雪糕利润理出函数解析式并根据题意写出的取值范围；根据每盒雪糕的利润销量雪糕利润写出函数解析式即可；
根据雪糕店所获总利润，两种雪糕利润之和列出函数关系式，根据函数的性质求函数最值即可；
根据题意列出函数解析式，再根据总利润的最大值列出方程，求出的值．
本题考查了二次函数、一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解析式．
 

23.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：过点作于，于点，

，，
∽，
，
，
四边形为矩形，
，
在中，；
解：过点作，交于点，连接，

由可知，，
又，
，
∽，
，
设，则，
，，
，
，
又，，
∽，
，
，
，
又，，
，
．
故答案为：．
由直角三角形的性质证出，根据全等三角形的判定可证明≌；
过点作于，于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义可得出答案；
过点作，交于点，连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，则，，由勾股定理求出，证明∽，得出，证出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：令，则，
或，
，，
，
，
，
，
，
将点代入，解得，
；
过点作交于点，过点作轴交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得，
；
是定值，理由如下：
由题意可知，，
过点作轴的平行线，作点关于的对称点，
，
，
，
延长与的交点为，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
由，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
，，
，
是定值． 

【解析】求出点坐标，再将点代入，即可求解；
过点作交于点，过点作轴交于点，利用直角三角形的性质，求出点的坐标，从而求出直线的直线解析式，再求点坐标即可；
过点作轴的平行线，作点关于的对称点，延长与的交点为，由对称性求出坐标，可求直线的解析式，再求点坐标，从而能分别求出直线、的解析式，可确定、点坐标，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质是解题的关键．