2022年广东省河源市紫金县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2022年广东省河源市紫金县中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省河源市紫金县中考数学二模试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30分）以下环保标志是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 我国的长征二号运载火箭将神舟十三号载人飞船送入太空，在此次发射任务中，若火箭静止时对发射台的压力，则此时压力用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 如图，和分别是天平上两边的砝码的质量，则的取值范围在数轴上可表示为(    )
 A.  B.
C.  D. 如图是一个正方体骰子的展开图，若该正方体相对的面所标注的数值互为相反数，则当投掷一次该骰子，朝上的数字是奇数的概率为(    )A.
B.
C.
D. 下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，若点坐标为，点坐标为，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 已知，是方程的两个实数根，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 如图，已知平行四边形，以为圆心，为半径作交于，然后以为圆心，为半径作交于，若，，，则阴影部分的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在正方形中，，点是对角线的中点，点是线段上的动点点不与点，重合，连接，并延长交边于点，过点作交于点，分别连接与，交对角线于点过点作交于点，连接有以下四个结论：；的周长为；线段的最小值为；其中正确结论的个数为(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共7小题，共28分）分解因式：______．如图，小江沿一个五边形的广场小道按一定方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是______．
请写出一个图象关于原点对称，且经过的函数解析式：______．技术大大促进了农业的发展，某智慧农业试验区内，一台无人机正在进行规模化自助施药作业．如图，已知无人机的飞行速度为，在地面的点测得处无人机的仰角为，经过后，无人机水平飞行至处，此时在点测得处无人机的仰角为，则无人机的飞行高度为______结果保留根号．
如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点，分别在边，上，连接，则的长为______．已知等腰的外心为点，，若其底边长是腰长的倍，则中劣弧的长为______．如图，已知，平面内点到点的距离为，连接，若且，连接，，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分）解方程：．促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容．为了解某区名学生感兴趣的运动项目情况，调研组在某校随机抽取了名学生进行调查，调查情况如表．项目乒乓球篮球足球羽毛球健美操人数此次调查的总体是______，样本容量是______；
根据如表绘制扇形统计图，则足球所对应的圆心角度数为______，估计该区对篮球感兴趣的学生的总人数为______；
若要从对篮球感兴趣的学生中选拔一名参加比赛，以下是其中两名学生的投篮数据，记录的是每次投篮命中的个数．
甲：，，，，；乙：，，，，．
以上两名学生你认为选择哪一名更合适？请选取至少两个统计量说明理由．如图，是的中线，为上一点，连接并延长至点，使，连接，，若求证：四边形是平行四边形．
端午节是中华民族的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子、赛龙舟．最常见的粽子口味主要是咸粽子和甜粽子，某商场咸粽子每个售价是甜粽子的倍，月份两种口味的粽子总计销售个，且甜粽子和咸粽子的销售量之比为：，甜粽子的销售额为元．
两种口味的粽子的售价分别是多少？
由于粽子供不应求，商场决定再进货个粽子回馈新老顾客，考虑到咸粽子较受欢迎，因此咸粽子的个数不少于甜粽子个数的，且不多于甜粽子的倍，其中咸粽子每个降价元销售，甜粽子售价不变，商场该如何进货使总销售额最大？在平面直角坐标系中，直线交双曲线于，两点，交轴于点．
求反比例函数的解析式；
若，求直线的解析式；如图，将绕点逆时针旋转得，其中点，点的对应点分别是点，点，点落在上，延长交于点，，交于点．
若是的中点，求证：是等腰三角形；
若，，求的长．
如图，的内接三角形中，，过点作的切线，交延长线于，过作的另一条切线，切点为，连接、、．
求证：∽；
判断与之间的数量关系，并给出证明；
探究：在长度的变化过程中，是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，点的坐标为，，点关于点的对称点刚好落在抛物线上，连接．

求点的坐标；
求抛物线的解析式；
过点作平行于轴交于点，若点为抛物线上的一点，点在轴上，连接，，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：由题意得：
．
故选：．
根据图示，可得不等式的解集，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，注意，不包括点，用空心点表示．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可得，
，，
解得，
展开图各个面的数字分别为：，，，，，，
当投掷一次该骰子，朝上的数字有种可能性，其中朝上的数字是奇数的可能性有种，
当投掷一次该骰子，朝上的数字是奇数的概率为，
故选：．
根据题意，可以得到的值，然后写出各个面上的数字，然后即可得到当投掷一次该骰子，朝上的数字是奇数的概率．
本题考查概率公式、正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
 5.【答案】 【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据积的乘方和单项式乘单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：由题意可知：线段与线段是位似图形，
点坐标为，点坐标为，
线段与线段的位似比为：，
，
，
故选：．
根据题意得到线段与线段是位似图形，求出线段与线段的位似比，根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，根据点、的坐标求出位似比是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，是方程的两个实数根，
，


．
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出的值，把代入计算后即可得到答案．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一交点为的坐标为，
．
故选：．
先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性得到点坐标，从而得到的长．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 9.【答案】 【解析】解：设，，
根据题意可得，
，
解得：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
设，，根据平行四边形的性质对边相等，可得，即可算出，的值，即可得出，的值，根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形的面积及平行四边形的性质，熟练掌握扇形面积的计算方法及平行四边形的性质进行求解是解决本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
．
故正确；
如图，延长至使，连接，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
的周长，故正确；
，
，
点在以为边的圆上运动，
如图，以为直径作圆，取的中点，连接，，
，
，
在中，，
当点在上时，有最小值为，故错误；
如图，连接，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
∽，
，
；故正确，
故选：．
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，，可证，故正确；
由“”可证≌，≌，可得，由线段的和差关系可得的周长为，故正确；
由题意可得点在以为边的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，故错误；
通过证明∽，可得；故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】度 【解析】解：多边形的外角和等于度，
他每跑完一圈，身体转过的角度之和是度．
故答案为：度．
根据多边形的外角和等于度即可求解．
此题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于度是解决此题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：由反比例函数的性质，函数的图象关于原点对称，
设函数的解析式为，
经过点，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数的性质以及待定系数法即可求得．
本题考查反比例函数的性质，关键是对反比例函数的图象关于原点对称的应用．
 14.【答案】 【解析】解：过点作于点．

由题意可得，，，
在中，设，则，
，
在中，
，
解得．
无人机的飞行高度为．
故答案为：．
过点作于点由题意可得，，，在中，设，则，，在中，，解方程即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，

四边形为菱形，，
，，
是等边三角形，
是中点，
，，，
，
，
，
由折叠可得，
，
，
．
故答案为：．
连接，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出答案．
本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．
 16.【答案】或 【解析】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为，
，
该三角形是钝角等腰三角形，
当为腰时，此时，，如图，

为等腰的外心，
，
，，
在中，，
，
，
为等边三角形，
，
中劣弧的长为：；
当为底边长时，如图，由上面可得：，，

在取一点，连接、，则，
，
中劣弧的长为：．
故答案为：或．
先根据三角形的三边关系判断出该三角形是钝角等腰三角形，再对边分类讨论：当边为腰时，由于是等腰的外心，所以可得，长，进而可用三角函数得出的度数，进而可得的度数，利用弧长公式计算即可得出答案；当边为底边长时，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得得度数，进而利用弧长公式计算即可得出答案；最后综上作答．
本题主要考查圆的有关性质、弧长公式计算、等腰三角形的分类讨论等，解题关键是对进行分类讨论．
 17.【答案】 【解析】解：如图所示，延长到使得，

，
，
又，
是等边三角形，
为的中点，
，即，
，
以为斜边在下方作，使得，连接，过点作于，
，
同理可得，
，
，
又，
∽，
，
点到点的距离为，即，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上，
连接交圆半径为于，
当、、三点共线时，即点在点的位置时，有最小值，
，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图所示，延长到使得，先证明是等边三角形，从而推出，，以为斜边在下方作，使得，连接，过点作于，解直角三角形得到，从而证明∽，得到，则，则点在以为圆心，以为半径的圆上，当、、三点共线时，即点在点的位置时，有最小值，据此求解即可．
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点在以为圆心，半径为的圆上运动．
 18.【答案】解：方程两边同乘得：
，
解得：，
检验：当时，，故此方程无实数根． 【解析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．
此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
 19.【答案】某区名学生感兴趣的运动项目情况      人 【解析】解：此次调查的总体是：某区名学生感兴趣的运动项目情况，样本容量是，
故答案为：某区名学生感兴趣的运动项目情况，；
足球所对应的圆心角度数为，
估计该区对篮球感兴趣的学生的总人数为人，
故答案为：，人；
选乙同学更合适，
甲同学命中的平均数为，乙同学命中的平均数为，
，
，
，
选乙同学更合适．
根据总体、个体、样本、样本容量的概念求解即可；
用乘以足球人数所占比例可得其对应圆心角度数，用总人数乘以样本中对篮球感兴趣的学生人数所占比例即可；
分别计算出甲、乙同学命中的平均数和方差，再根据其意义判断即可．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
为中线，
，
，
，
四边形是平行四边形． 【解析】证≌，得，再证，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
 21.【答案】解：设甜粽子的售价为元，则咸粽子的售价为元，
甜粽子的销售量为：个，
根据题意得：，
解得，
元，元，
甜粽子的售价为元，咸粽子的售价为元．
设甜粽子进货个，则咸粽子进货个，
根据题意，得，
解得，
设总销售额为元，
根据题意，得，
，
随着的增大而增大，
当时，．
故商场该甜粽子进货个，咸粽子进货个总销售额最大． 【解析】甜粽子的售价为元，则咸粽子的售价为元，根据甜粽子的销售额为元列出方程计算即可求解；
设甜粽子进货个，则咸粽子进货个，根据咸粽子的个数不少于甜粽子个数的，且不多于甜粽子的倍，列出不等式组可求，设总销售额为元，可得，再根据函数的增减性即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的实际应用，涉及一元一次方程，一次函数等相关知识，理解题意并根据题意列出关系式是解题的关键，本题难度较大．
 22.【答案】解：双曲线过点，
，
反比例函数的解析式为；
当时，如图，

作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
，
，
的纵坐标为，
把代入求得，，
，
直线经过、两点，
，解得，
此时直线的解析式为；
当时，如图，

同理求得，
直线经过、两点，
，解得，
此时直线的解析式为；
综上，直线的解析式为或． 【解析】把的坐标代入中，求得的值即可；
根据题意求得的坐标，然后利用待定系数法求得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键．
 23.【答案】证明：将绕点逆时针旋转得，
，，，，，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：如图，过点作于，

将绕点逆时针旋转得，
，，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可得，由中点的性质可得，可求，即可求解；
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质和锐角三角函数可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 24.【答案】证明：如图，

作直径，连接，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
∽；
解：，理由如下：
由得，
∽，
，
同理可得，
，
和是的切线，
，
，
，
；
解：如图，

作直径，连接，，作于，
是的切线，
，
，
点、、、共圆，
，
和是的切线，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 【解析】作直径，连接，可得，，从而，进而证得∽；
∽，，同理可得，，结合，进一步得出结果；
作直径，连接，，作于，证明∽，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，切线性质，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 25.【答案】解：点的坐标为，
，
，
，，
，，
设，
点与点关于点对称，
，
解得：，
点的坐标为；
设抛物线的解析式为，把，，代入，
得：，
解得：，
该抛物线的解析式为；
存在．设，
过点作平行于轴交于点，交轴于点，
，，，
，，，，
，，
，，
，，
，，
当点与点重合，即时，如图，
若，则∽，
此时点与点关于轴对称，；
若，则∽，
，即，，，
，
，
解得：，
；
当点在轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图，设，
，
，
解得：舍去或，
，
若，则∽，
此时点与点关于直线对称，；
若，则∽，
，即，，，
，
，
解得：，
；
当点与点重合，即时，如图，
点在点的右侧，则，
若，则∽，
，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或或或或． 【解析】先求出点、的坐标，再根据点与点关于点对称，得出；
利用待定系数法把点、、的坐标代入，解方程组即可得出答案；
设，过点作平行于轴交于点，交轴于点，先解直角三角形得出：，，再根据与相似分类讨论即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，中心对称、轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题关键是要分类讨论，避免漏解．