八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题 (2)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（   C   ）

A．         B．          C．         D．

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是               

解：（1），，，，选C； 

（2），

（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是        。

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，

，，，平面，

，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， ，，

，，平面，

，，，，

平面，，

故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，

，即，

正三棱锥外接球的表面积是

（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（  D ）                   

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是    

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为              

解析：（4）在中，，

，的外接球直径为，

，，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则

，，，，，，，

（6），，

，

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，平面

解题步骤：

第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直    

径，连接，则必过球心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半

径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

），；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；

②

2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：，解出

方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2  一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为(  )C

A．     B．      C．      D．以上都不对 

解：选C，,, ,

,

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）

第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；

第二步：在中，可根据正弦定理，求出

2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）

3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：，解出

4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；

②

例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为      。

（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为             

解：（1）由正弦定理或找球心都可得，，

（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，

方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，

（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（     ）  

A．　         B.　         C. 4　         D.

解：选D，圆锥在以的圆上，

（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A

A．         B．       C．        D．

解：，，

类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为                  

解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，

底面积为，，，，

，球的体积为

（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于          。

解：，，，，

（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为           。

解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，

；法二：，，，，

（4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为          。

解析：，，，，

，

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；

第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；

第三步：解，算出，在中，勾股定理：

例5三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为            .

解析：，，，

，；

法二：，，，

，

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，

，

补充：

第三步：根据墙角模型，，

，，求出，

例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一

个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是            .

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点

在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（    ）

A．        B．         C．         D．

解：（1）截面为，面积是；

（2）高，底面外接圆的半径为，直径为，

设底面边长为，则，，，

三棱锥的体积为

（3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为           。

解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，

，，，

，，

（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为               .

解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，

【55；对称几何体；放到长方体中】

（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为           

解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，

，，

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接

，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

例7（1）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（      ）

A．         B．         C．          D．

解：（1），，，选C

（2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为                 ．

 解析：（2）的中点是球心，，；

类型八、锥体的内切球问题

1．题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。

第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；

第二步：求，，是侧面的高；

第三步：由相似于，建立等式：，解出

2．题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；

第二步：求，，是侧面的高；

第三步：由相似于，建立等式：，解出

3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为，建立等式：

第三步：解出

习题：

1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（    ）

A.      B.       C.      D.

解：【A】，

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

2．  三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于       .

解析：，，，，外接球体积

【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于       .

解析：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径，

或，，外接球体积，

4．三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为            .

解析：的外接圆是大圆，，，

5．  三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为            .

解析：，，，

，

6．  三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为            .

解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为