2021-2022学年湖北省武汉市青山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市青山区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个数：，其中最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列采用的调查方式中，合适的是(    )

A. 为了解东湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B. 某企业为了解某批次灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式
C. 红星中学给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D. 省教委为了解双减之后全省中小学生的作业量情况，采用金面调查的方式

3. 用加减法将方程组中的未知数消去后，得到的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，则下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，，平分，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知，点的坐标为，则点一定不会在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团人准备同时租用这三种客房共间，如果每个房间都住满，租房方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10. 已知关于的不等式只有两个正整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 的相反数是______．
12. 某中学为了了解名初三毕业生的视力情况，从中抽取了名学生进行检测．则这个抽样调查的样本容量是______．
13. 如图，是延长线上一点，请添加一个条件使直线，则该条件可以是______．

14. 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到一个如图所示，面积为的大正方形．点是对角线上一动点，连接，则的最小值为______．

15. 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走如果从甲地到乙地需分，从乙地到甲地需分，则甲地到乙地的全程是______ ．
16. 已知关于、的方程组，下列四个结论：当时，方程组的解是；无论为何值，方程组的解都是关于，的二元一次方程的解；方程组的解与可以同为负数；若方程组的解与都为正数，且，则的取值范围为其中正确的是______填写序号

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解方程组：
    ；
    ．
18. 解不等式组，并在数轴上表示解集：
    ；
    ．
19. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京开幕，某学校从七年级随机抽取了若干名学生组织奥运知识竞答活动，将他们的成绩进行整理，得到如下不完整的统计图表，请依据信息解答下列问题：
    随机抽取了______名学生，______，扇形圆心角的度数是______；
    请补全频数分布直方图；
    如果该校七年级有名学生参加此次比赛，分以上含分为优秀，请估计本次比赛优秀的学生大约有多少人？
     

20. 某次知识竞赛共有道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分，他至少要答对多少道题？
21. 小聪把一副三角尺，按如图的方式摆放，其中边，在同一条直线上，过点向右作射线．
    
    如图，求的度数；
    如图，点是线段上一点，若，求的度数．
22. 某商城决定购进、两种商品进行销售．若购进种商品件，种商品件，则需要元；若购进种商品件，种商品件，则需要元．
    求购进、两种商品每件各需多少元？
    若该商城决定拿出元全部用来购进这两种商品，考虑到市场需求，要求购进种商品的数量不少于种商品数量的倍，且不超过种商品数量的倍注：所购、两种商品均为整数件，则该商城共有几种进货方案？
    若销售每件种商品可获利元，每件种商品可获利元，在第问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
23. 已知，，点是直线，下方一点，连接，．
    
    如图，求证：；
    如图，若，分别平分和，、所在的直线相交于点，若，求的度数；用含的式子表示
    如图，若，分和为两部分，且，，直线，相交于点，则______用含和的式子表示
24. 已知，在平面直角坐标系中，点在轴上，，点，且、满足．
    
    则______；______；
    如图，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
    如图，将线段向左平移个单位，得到线段，其中点，点的对应点分别为点，点若点在射线上，连接，得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则的取值范围是______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
最小的数是．
故选：．
根据正数大于，负数小于，负数比较大小，绝对值大的反而小比较大小即可．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：为了解东湖的水质情况，适合使用抽样调查，因此选项A符合题意；
B.某企业为了解某批次灯泡的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.红星中学给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，适合使用全面调查，因此选项C不符合题意；
D.省教委为了解双减之后全省中小学生的作业量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
得：，即，
故选：．
方程组两方程相减消去即可得到结果．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是无理数，故选项正确；
B、，是有理数，故选项错误；
C、是有理数，故选项错误；
D、是有理数．故本选项错误
故选：．
A、、、分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，不等式的两边都减，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
选项，不等式的两边都乘，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
选项，不等式的两边都除以，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
选项，当，时，，故该选项符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质判断，，选项；通过举特例判断选项．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
．
平分，
．
，
．


．
故选：．
利用平行线和角平分线的性质先求出的度数，再利用平角求出．
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握“两直线平行，同旁内角互补”、垂线的性质及角的和差关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项，，
解得：，故该选项不符合题意；
选项，，不等式组无解，故该选项符合题意；
选项，，
解得：，故该选项不符合题意；
选项，，
解得：，故该选项不符合题意；
故选：．
根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组，解不等式组，不等式组无解的选项符合题意．
本题考查了点的坐标，根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据，是整数求解，注意分类讨论思想的应用，另外本题也可以列三元一次方程组．
先设未知数：设二人间间，三人间间，四人间根据“同时租用这三种客房共间”列式为间，根据要租住人可列二元一次方程，此方程的整数解就是结论．
【解答】
解：设二人间间，三人间间，四人间间，
根据题意得：，
，
当时，，，
当时，，，
所以有两种租房方案：租二人间间、三人间间、四人间间；
租二人间间，三人间间，四人间间；
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：关于的不等式只有两个正整数解，
，
不等式的解集为，
又关于的不等式只有两个正整数解，
，
解得，
故选：．
先求出关于的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定的取值范围．
本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
根据相反数的定义进行填空即可．
【解答】
解：的相反数是，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：某中学为了了解名初三毕业生的视力情况，从中抽取了名学生进行检测．则这个抽样调查的样本容量．
故答案为：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据平行线的判定即可求出答案．
本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用平行线的判定与性质，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图中，设交于点．

正方形的面积为，
，，，
，
，
当点与点重合时，的值最小，的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
如图中，设交于点根据垂线段最短解决问题即可．
本题考查图形的拼剪，正方形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】千米 

【解析】解：设从甲地到乙地的坡路长为，平路长为，
由题意得，，
解得：，
则从甲地到乙地全程为千米．
故答案为：千米．
去乙地时的路程和回来时是相同的，不过去时的上坡路和下坡路和回来时恰好相反，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，方程组为，解得，故正确；
，
得：，
，
无论为何值，方程组的解都是关于，的二元一次方程的解，故正确；
由得，
若，则不等式无解，
方程组的解与不能同为负数，故错误；
由，得，又方程组的解是，
，
方程组的解与都为正数，
，
解得，
，即，故正确，
故答案为：．
方程组为，可判断正确；由，可得，可判断正确；由得，而，则不等式无解，可判断错误；由，得，因得，即可得，判断正确．
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握将“二元“化为“一元“的方法和解不等式组的方法．
 

17.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

18.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：；．
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：名，
名，
扇形圆心角的度数为，
故答案为：，，；
补全统计图如下：

名，
答：该校七年级名学生中，比赛成绩为优秀的学生大约有名．
从两个统计图可知，“等级”的频数是人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
根据“等级”的人数即可补全统计图；
求出样本中“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再求出相应的人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图，掌握频率是正确计算的前提．
 

20.【答案】解：设应答对道，则：，
解得，
取整数，
最小为：，
答：他至少要答对道题． 

【解析】根据小明得分要超过分，就可以得到不等关系：小明的得分分，设应答对道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，，，
．
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
． 

【解析】根据平行线的性质可得即可求出．
根据平行线的性质可得，再根据已知关系列方程可求得．
本题考查平行线的性质，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
 

22.【答案】解：设购进每件种商品需元，每件种商品需元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件种商品需元，每件种商品需元．
设购进种商品件，则购进种商品件，
依题意得：，
解得：．
又，均为整数，
可以为，，，
该商城共有种进货方案，
方案：购进种商品件，种商品件；
方案：购进种商品件，种商品件；
方案：购进种商品件，种商品件．
选择进货方案可获利元；
选择进货方案可获利元；
选择进货方案可获利元．
，
在第问的各种进货方案中，购进种商品件，种商品件时获利最大，最大利润是元． 

【解析】设购进每件种商品需元，每件种商品需元，根据“购进种商品件，种商品件，则需要元；购进种商品件，种商品件，则需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种商品件，则购进种商品件，根据“要求购进种商品的数量不少于种商品数量的倍，且不超过种商品数量的倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可得出各进货方案；
利用总利润每件商品的销售利润销售数量进货数量，可求出选项各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；利用总利润每件商品的销售利润销售数量进货数量，求出中各进货方案可获得的利润．
 

23.【答案】． 

【解析】证明：过点作，

，
，
，，
，，
．
解：，分别平分和，
，，
，
，
四边形的内角和为，
．
解：由外角定理知：．
，，
，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质证明；
利用的结论和角平分线的定义，及四边形的内角和定理求解；
利用的结论进行推导．
本题考查了平行线的性质，结合了角平分线的定义及四边形的内角和定理，是有一道综合性较强的题．
 

24.【答案】    

【解析】解：，
又，，
，
，
故答案为：，；
延长交轴于点，
由得，，

，
设，
如图，当点在左侧时，
，
即，
解得，
当在右侧的位置时，
，
即，
解得，
综上所述，当或时，三角形的面积等于三角形面积的一半；
由平移可得，，

直线：，
，
，，
直线：，过点作轴交于点，
，
，
，
三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，
，
解得：．
故答案为：．
根据非负数的性质构建方程组，求出和的值即可；
设出点的坐标，分情况根据三角形的面积关系列出方程求解即可；
由题意可得出点，的坐标，进而求出直线的解析式，过点作轴于点，根据三角形的面积公式可表达的面积，根据所给范围求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．