2020-2021学年北京市海淀区清华志清中学高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区清华志清中学高二（下）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）

1．（4分）集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8

2．（4分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（4分）设函数f（x）＝，则f（f（3））＝（　　）

A． B．3 C． D．

4．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝logx D．y＝

5．（4分）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）

A． B． C． D．

6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（　　）

A． B． 

C． D．

7．（4分）已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a

8．（4分）若sinα＝，则cos2α＝（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

9．（4分）函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（　　）

A． B． C．π D．2π

10．（4分）函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）

11．（4分）命题p：“∀x≥0，都有ex≥﹣x+1”，则命题p的否定为　                　．

12．（4分）已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝　 　．

13．（4分）已知二次函数f（x）＝x2﹣ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为 　 　．

14．（4分）设x，y∈R且x+y＝5，则3x+3y的最小值是　             　．

15．（4分）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝　               　．

三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分．）

16．（10分）已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

17．（10分）已知在△ABC中，c＝2bcosB，．

（1）求B的大小；

（2）若，求BC边上的中线长度．

18．（10分）已知函数f（x）＝．

（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．

19．（10分）某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．

（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：

（2）求甲同学能晋级的概率．

2020-2021学年北京市海淀区清华志清中学高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）

1．（4分）集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8

【解答】解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，

∴集合A的子集个数为23＝8个，

故选：D．

2．（4分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；

反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．

故选：D．

3．（4分）设函数f（x）＝，则f（f（3））＝（　　）

A． B．3 C． D．

【解答】解：∵函数f（x）＝，

∴f（3）＝，

f（f（3））＝＝（）2+1＝．

故选：A．

4．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝logx D．y＝

【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．

故选：A．

5．（4分）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据正弦定理，，

则

故选：B．

6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度，

得到的图象的函数解析式为y＝cos（3x++）＝sin（3x+），

故选：D．

7．（4分）已知a＝0.31.5，b＝log1.50.3，c＝1.50.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a

【解答】解：∵0＜a＝0.31.5＜0.30＝1，

b＝log1.50.3＜log1.51＝0，

c＝1.50.3＞1.50＝1，

∴b＜a＜c．

故选：B．

8．（4分）若sinα＝，则cos2α＝（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵sinα＝，

∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．

故选：B．

9．（4分）函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（　　）

A． B． C．π D．2π

【解答】解：∵f（x）＝sin2（2x）＝﹣cos4x

即ω＝4

∴T＝＝＝

故选：B．

10．（4分）函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝0得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，函数的零点是x＝﹣3，

当x＞0时，由f（x）＝0得﹣2+lnx＝0，即lnx＝2，解得x＝e2．

所以函数f（x）的零点个数为2个．

故选：C．

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）

11．（4分）命题p：“∀x≥0，都有ex≥﹣x+1”，则命题p的否定为　∃x0≥0，使得e＜﹣x0+1　．

【解答】解：命题p：“∀x≥0，都有ex≥﹣x+1”，

则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有e＜﹣x0+1”．

故答案为：∃x0≥0，都有e＜﹣x0+1．

12．（4分）已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝　2　．

【解答】解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，

f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2

＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．

故答案为：2．

13．（4分）已知二次函数f（x）＝x2﹣ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为 　0　．

【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2﹣ax+4是偶函数，

∴f（﹣x）＝f（x），

即x2+ax+4＝x2﹣ax+4，

即a＝﹣a，

解得a＝0

故答案为：0．

14．（4分）设x，y∈R且x+y＝5，则3x+3y的最小值是　　．

【解答】解：由3x＞0，3y＞0，

∴3x+3y≥2 ＝18

所以3x+3y的最小值为18

故答案为：

15．（4分）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝　　．

【解答】解：sinα+cosβ＝1，

两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，

cosα+sinβ＝0，

两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，

由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，

∴2sin（α+β）＝﹣1．

∴sin（α+β）＝．

故答案为：．

三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分．）

16．（10分）已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，

＝sin2ωx+cos2ωx，

＝，

由于函数的最小正周期为π，

则：T＝，

解得：ω＝1．

（2）由（1）得：函数f（x）＝，

令（k∈Z），

解得：（k∈Z），

所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．

17．（10分）已知在△ABC中，c＝2bcosB，．

（1）求B的大小；

（2）若，求BC边上的中线长度．

【解答】解：（1）∵c＝2bcosB，

由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，即sinC＝sin2B，

∵

∴当C＝2B时，B＝，即C+B＝π，不符合题意，舍去，

∴C+2B＝π，

∴2B＝，即B＝．

（2）∵面积为，

∵A＝B＝，

∴a＝b，

∴S△ABC＝absinC＝a2×＝，解得a＝，

由题意，如图，设BC边上的中线为AD，则由余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos＝3++×＝，可得AD＝．

18．（10分）已知函数f（x）＝．

（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．

【解答】解：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝＝，

可得y＝f（x）在（1，1）处的切线的斜率为﹣4，

则y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x﹣1），

即为y＝﹣4x+5；

（2）f（x）＝的导数为f′（x）＝，

由题意可得f′（﹣1）＝0，即＝0，解得a＝4，

可得f（x）＝，

f′（x）＝，

当x＞4或x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣1＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）递减．

函数y＝f（x）的图象如右图，当x→﹣∞，y→0；x→+∞，y→0，

则f（x）在x＝﹣1处取得极大值1，且为最大值1；在x＝4处取得极小值﹣，且为最小值﹣．

所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间为（﹣1，4）；

f（x）的最大值为1，最小值为﹣．

19．（10分）某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．

（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：

（2）求甲同学能晋级的概率．

【解答】解：（1）甲同学答对题目的数量X的可能取值为0，1，2，3，

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

∴X的分布列为：

E（X）＝＝．

（2）甲同学能晋级的概率为：

P＝P（X＝2）+P（X＝3）＝＝．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/8/18 19:56:32；用户：数学；邮箱：ysjky4@xyh.com；学号：22387670