初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质精品练习题

12.3角的平分线的性质人教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，已知在中，是边上的高线，平分交于点，，，则的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，平分，，，，则下列结论：
   ；平分；；其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，，，，是的角平分线，，垂足为，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，的平分线与边相交于点，，垂足为，若的周长为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知线段，按如下步骤作图：
   过点作射线；
   作的平分线；
   以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
   过点作于点．
   则：是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是(    )

A.
B.
C. 与互余的角有个
D. 点是的中点

7. 如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点，；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线交边于点若的面积为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，、、分别平分、、，，的周长为，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

10. 如图，在中，、分别是边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明≌的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点；作射线交于点，过点作，垂足为若，则的周长等于______．

12. 如图，中，，平分，，，则的面积是___________．

13. 如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为点，，且，则线段的长为______．

14. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，已知平分，于，于，且．
    求证：≌；
    求证：．
     

16. 四边形中，，平分交于点，于点，已知，．
    求的度数；
    求证：．

17. 如图，已知，请用尺规作图法，在的边上找一点，使得点到、的距离相等保留作图痕迹，不写作法．

18. 如图，在中，点是的中点，，，且．
    求证：≌；
    连接，求证：平分．

19. 如图，在中，平分，于，于点，，
    求证：；
    判断的形状并证明．

20. 已知：如图，，，于点，于点，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查角平分线的性质定理和三角形面积公式，根据角平分线上一点，到这个角两边的距离相等，可知三角形中边上的高为长，进而根据三角形面积公式计算即可．
【解答】
解：作，垂足为，

是边上的高线，平分，交于点，
，
，
．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，，
，故正确；
，，平分，
，，，，
，，故正确；
平分，故正确；
，
，
，
而题目中不能得到，故错误；
故选：．
根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周长．
故选：．
利用角平分线的性质得到，从而，即可求得的周长．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明≌．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
设，
由勾股定理得：，
的周长为，
，
即，
解得：，
即，
的面积为，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质和判定求出，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据的周长为求出，再求出和，即可求出答案．
本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质和判定，能得出关于的方程是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
：：，
故选：．
由作图可知，平分，推出，由，推出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，分别是，平分线上的点，
，，
，
，故A选项结论正确；
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，故B选项结论正确；
与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误；
，
点是的中点，故D选项结论正确．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
由作法得平分，
而，，

的面积，
．
故选：．
作于，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质。过点分别作、的垂线、，垂足分别为、，已知、、分别平分、、，且，根据角平分线的性质可知，继而可列式子，根据三角形面积公式即可求解的的面积。
【解答】

过点分别作、的垂线、，垂足分别为、，
，分别平分和，
，
，
，
的周长为，即，
．
故答案选C．  

9.【答案】 

【解析】解：点是三条角平分线的交点，
和和的高相等，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，
，，
由的三边关系得：，
，
故选：．
根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：平分，
，
A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和角平分线的定义，注意：全等三角形的判定定理有，，，，．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，
，
，
，
由作图方法可得：平分，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案．
此题主要考查了作图基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用有关知识，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解决本题的关键．
过作于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】
解：过作于，

，平分，，
，
的面积．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，，，，
，，
，
，
故答案为：．
连接，根据，，求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理等知识点，能根据角平分线的性质求出是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，平分，，，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线的性质得出，再代入求出即可．
本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

15.【答案】证明：是角平分线，于，于，
，，
在和中，

≌；
解：于，于，
，
在和中，
，
≌，
，
≌，
，

． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌和≌是解题的关键．
根据角平分线的性质得到，利用即可得到结论；
由于，于，得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，由≌，得到，继而根据线段和差关系结合等量代换可得结论．
 

16.【答案】解：平分交于点，，
，
于点，
，
；
过点作，

，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线的定义可得，结合垂直的定义可求解的度数；
过点作，由平行线的性质可得，，即可求得，结合可得，利用平行线的性质求得，即可得，进而可证明结论．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的度数是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作的角平分线，交于点，点即为所求．
本题了考查作图复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：是的中点，
，
，，
，
在与中
，
≌，
证明：≌，

，，
，
平分． 

【解析】求出，，根据证出≌即可；
根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用．
 

19.【答案】证明：平分，于点，于点，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，
根据题意可得，，从而得出≌，进而得出，得，进而可以解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
 

20.【答案】证明：如图，连接，

在和中，，
≌，
，
又，，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 连接，利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．