黑龙江省龙东地区三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份黑龙江省龙东地区三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共42页。试卷主要包含了÷，其中a＝2cs30°+1，先化简，再求值，÷，其中a＝2tan45°+1，之间的函数图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省龙东地区三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．
2．（2021•黑龙江）先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．
3．（2021•黑龙江）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝2tan45°+1．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
三．一元一次不等式组的应用（共2小题）
5．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
6．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
四．一次函数的应用（共3小题）
7．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　 　km/h，乙车出发时速度是 　 　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．


8．（2021•黑龙江）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 　 　；轿车的速度是 　 　km/h；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

9．（2021•黑龙江）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB﹣BC﹣CD﹣DE，结合图象回答下列问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 　 　km；
（2）求两车的速度分别是多少km/h？
（3）求线段CD的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？

五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
10．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
11．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

七．二次函数综合题（共1小题）
12．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


九．四边形综合题（共2小题）
14．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一十．轨迹（共1小题）
16．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

一十一．作图-旋转变换（共2小题）
17．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

18．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

一十二．几何变换综合题（共1小题）
19．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

一十三．条形统计图（共2小题）
20．（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

21．（2021•黑龙江）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中共抽取 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•黑龙江）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝2cos30°+1．
【解答】解：（﹣1）÷
＝÷
＝×
＝，
当a＝2cos30°+1＝2×+1＝时，
原式＝＝﹣．
2．（2021•黑龙江）先化简，再求值：，其中a＝2cos60°+1．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2cos60°+1＝2×+1＝2时，
原式＝＝．
3．（2021•黑龙江）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝2tan45°+1．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝2tan45°+1＝2×1+1＝3时，原式＝＝．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得：，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝500．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是500元．
三．一元一次不等式组的应用（共2小题）
5．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．
根据题意得：，
解得：，
答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：4.8≤m≤7．
∵m为整数．
∴m可取5、6、7．
∴有三种方案：
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为w万元．
w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．
∵k＝1＞0，
∴w随着m的减少而减少，
∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）．
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，
由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，
其整数解：或，
∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
6．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，
依题意得：，
解得：．
答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元．
（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，
依题意得：，
解得：4.8≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．
（3）方案1所需资金为1.5×5+0.5×5＝10（万元）；
方案2所需资金为1.5×6+0.5×4＝11（万元）；
方案3所需资金为1.5×7+0.5×3＝12（万元）．
∵10＜11＜12，
∴购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．
四．一次函数的应用（共3小题）
7．（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　100　km/h，乙车出发时速度是 　60　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．


【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
（100+100）×（m﹣9）＝120，
解得m＝9.6；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.6小时，两车之间的距离是120km．
8．（2021•黑龙江）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 　5　；轿车的速度是 　120　km/h；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

【解答】解：（1）由图象得，m＝1+（3﹣1）×2＝5；
轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；
故答案为：5；120；
（2）①设yMN＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），
∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），
∴，
解得，
∴yMN＝﹣66x+240（0≤x＜2.5），
yNG＝75（2.5≤x＜3.5）；
②设yGH＝k2x+b2（k2≠0）（3.5≤x≤5），
∵图象经过点G（3.5，75）和点H（5，0），
∴，
解得，
∴yGH＝﹣50x+250，
∴；
（3）货车从A前往B地的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），
设轿车出发a小时与货车相距12km，
根据题意，得66（1+a）+120a＝240+12或66（1+a）+120a＝240﹣12，
解得a＝1或a＝，
答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或小时与货车相距12km．
9．（2021•黑龙江）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线AB﹣BC﹣CD﹣DE，结合图象回答下列问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 　180　km；
（2）求两车的速度分别是多少km/h？
（3）求线段CD的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km？

【解答】解：（1）由函数图象得，甲、乙两地之间的距离是180km，
故答案为：180；
（2）设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为（x+20）千米/小时，根据题意，得：
x+（x+20）＝180，
解得x＝80，
答：货车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米/小时；
（3）设点D的横坐标为x，则：
80（x﹣1.5）+100（x﹣1.5）＝144，
解得x＝2.3，
故点D的坐标为（2.3，144），
设线段CD的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则：
，
解得，
∴y＝180x﹣270；
当180x﹣270＝20时，解得x＝；
设AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则：
，
解得，
∴线段AB的解析式为：y＝﹣180x+180，
当﹣180x+180＝20时，解得x＝，
∴货车出发小时或小时，与轿车相距20km
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
10．（2022•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．
六．抛物线与x轴的交点（共1小题）
11．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
七．二次函数综合题（共1小题）
12．（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，y＝3，
∴OC＝OB＝3，即△OBC是等腰直角三角形，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣1，
∵EN∥y轴，
∴△BEN∽△BCO，
∴，
∴，
∴EN＝2，
①若△PQE∽△OBC，如图所示，过点P作PH⊥ED垂足为H，
∴∠PEH＝45°，
∴∠PHE＝90°，
∴∠HPE＝∠PEH＝45°，
∴PH＝HE，
∴设点P坐标（x，﹣x﹣1+2），
∴代入关系式得，﹣x﹣1+2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+x﹣2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝1（舍），
∴点P坐标为（﹣2，3），

②若△EPQ∽△OCB，如图所示，
设P（x，2），
代入关系式得，2＝﹣x2﹣2x+3，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得，（舍），
∴点P的坐标为（﹣1﹣，2），

综上所述点P的坐标为（﹣1﹣，2）或（﹣2，3）．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．


【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，

∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝90°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA；
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，

同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
九．四边形综合题（共2小题）
14．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OB），tan∠DAB＝，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC﹣CB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，△APC的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵OA＜OB，
∴OA＝3，OB＝4，
∵tan∠DAB＝＝，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝3+4＝7，DC∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
∴点C的坐标为（7，4）；

（2）：①当0≤t≤7时，
由题意得：PC＝7﹣t，
∴△APC的面积为S＝PC•OD＝（7﹣t）×4＝14﹣2t；
②当7＜t≤12时，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，

∵AD＝＝5，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，
∵S△ABC＝AB•OD＝CB•AF，
∴AB•OD＝CB•AF，
∴7×4＝5AF，
∴AF＝，
∴△APC的面积为S＝PC•AF＝（t﹣7）×＝t﹣；
综上，S＝；

（3）∵BC＝AD＝5，M为BC的中点，C（7，4），B（4，0），
∴CM＝，M（，2），
①当CM＝CP时，

∵CM＝，
∴CM＝CP＝，
∵CD＝7，
∴DP＝7﹣＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②当CM＝MP时，过点M作ME⊥CD于E，

∴PE＝CE，
∵M（，2），C（7，4），
∴E（，4），CE＝7﹣＝，
∴PE＝CE＝，
∴DP＝DE﹣PE＝﹣＝4，
∴点P的坐标为（4，4）；
③当CP＝MP时，过点P作PF⊥BC于F，

∴MF＝CF＝CM＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠DAB，
∴cos∠BCD＝cos∠DAB＝，
∴，即，
∴PC＝，
∴DP＝DC﹣PC＝7﹣＝，
∴点P的坐标为（，4）；
综上，点P的坐标为（4，4）或（，4）或（，4）．
15．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，
∵OA是方程的根，
∴OA＝5，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AB＝5，
∴BE＝4，AE＝3，
∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，
∴B（8，4）．

（2）如图1中，当点F落在OB上时，AM＝t，DM＝t．AD＝t，

∵FM∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．

如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，S＝•（AC+FM）•DM＝•（t+t﹣t）•t＝t2．

如图3中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH＝t2﹣××[﹣（5﹣t）]2＝﹣t2+t﹣．

综上所述，S＝．

（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：

∵点F落在OB上时，t＝，
∵DM＝FM＝，AD＝，AC＝，
∴PF＝PM﹣FM＝5﹣＝，OC＝5﹣＝，
∴F（，），M（，）．
∴P（，），P″（﹣，﹣），P′（，）．
一十．轨迹（共1小题）
16．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（﹣5，3）；
（2）如图，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标（2，4）；
（3）∵A1C1＝＝5，
∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长＝＝．

一十一．作图-旋转变换（共2小题）
17．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长＝＝π

18．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，B1（﹣4，﹣3）．

（2）如图，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．
（3）点B旋转到点B2所经过的路径长＝＝．
一十二．几何变换综合题（共1小题）
19．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC＝∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF＝CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【解答】（1）证明：如图①中，

∵EA＝ED，∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵BF＝FD，
∴EF＝DB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC＝∠AED＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴EF＝CD．
解

（2）解：如图②中，结论：EF＝CD．

理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．
∵∠CAD＝90°，CT＝DT，
∴AT＝CT＝DT，
∵EA＝ED，
∴ET垂直平分线段AD，
∴AO＝OD，
∵∠AED＝90°，
∴OE＝OA＝OD，
∵CT＝TD，BF＝DF，
∴BC∥FT，
∴∠ABC＝∠OFT＝45°，
∵∠TOF＝90°，
∴∠OTF＝∠OFT＝45°，
∴OT＝OF，
∴AF＝ET，
∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，
∴△AFT≌△ETF（SAS），
∴EF＝AT，
∴EF＝CD．
法二：如图，延长CA交DE的延长线于点G，连接BG．

证明EF＝BG，△CAD≌△BAG，推出CD＝BG，可得结论．

如图③中，结论：EF＝CD．

理由：取AD的中点O，连接OF，OE．
∵EA＝ED，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AO＝OD，
∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，
∴tan∠AEO＝＝，
∴＝，
∵∠ABC＝∠AED＝30°，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∵AO＝OD，BF＝FD，
∴OF＝AB，
∴＝，
∴＝，
∵OF∥AB，
∴∠DOF＝∠DAB，
∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠EOF＝∠DAC，
∴△EOF∽△DAC，
∴＝＝，
∴EF＝CD．
解法二：过点A作AG⊥AD交DE的延长线于点G．

证明EF＝BG，△CAD∽△BAG，相似比为1：可得结论．
一十三．条形统计图（共2小题）
20．（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8.5
B组：8.5≤x＜9
C组：9≤x＜9.5
D组：9.5≤x＜10
E组：x≥10
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

【解答】解：（1）20÷20%＝100（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：100×15%＝15（人），
选择A的学生有：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）360°×＝72°，
即D组所对应的扇形圆心角的度数是72°；
（4）1500×＝375（人），
答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．

21．（2021•黑龙江）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中共抽取 　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？
【解答】解：（1）26÷26%＝100（名），
故答案为：100；
（2）D等级所占的百分比为：10÷100×100%＝10%，
则B等级所占的百分比为：1﹣26%﹣20%﹣10%﹣4%＝40%，
故B、C等级的学生分别为：100×40%＝40（名），100×20%＝20（名），
补全条形图如下，

（3）B等级所对应的扇形圆心角的度数为：360°×40%＝144°；
（4）1200×＝792（名），
答：估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．